Ипатов В. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов (2007) (1151883), страница 8
Текст из файла (страница 8)
В оценках первого приближения, однако, этот факт можно игнорировать. Для того чтобы охватить и случай радиосигналов, обратимся к общей их модели в(1) = Я(1) сов[2я~в1+ у(д)1, (2.24) в которой Я(8) — действительная огибающая сигнала (закон амплитудной модуляции), .~(1) — закон фазовой модуляции, а ув — несущая частота. Используя тригонометрическое тождество для косинуса суммы углов, (2.24) можно представить в виде в(~) = Яс(1) сов2я~в1 — Яс~вш2я~о~, (2.25) где Яу(8) = $(д) сов'у(д) и Яц(й) = Я(д) вшу(д) — квадратиурньье компонвнтпьь сигнала.
Поскольку и Я(д), и у(д';) являются видеосигналами, таковыми же являются Яу(1), Яд(~). Последнее означает, что при переносе на несущую частоту любой радиосигнал исчерпывающе описывается двумя независимыми низкочастотными квадратурными компонентами. Следовательно, при синтезе радиосигналов доступно удвоенное число независимых координат (отсчетов) по сравнению с видеосигналами при одинаковых значениях частотно-временного произведения и, значит, и, = 2И'сТд. Теперь в общем виде задача синтеза ансамбля сигналов может быть сформулирована следующим образом: в пространстве заданной размерности и, построить созвездие из М точек или векторов, удовлетворяющее энергетическим ограничениям и обладающее максимально возможным минимумом расстояния между точками Н д„= шах. Данная задача может быть переформулирована в дуэльную: в пространстве заданной размерности п, построить созвездие из М точек или векторов с гарантированным (««««.» «р минимальным расстоянием д «ви обеспечив минимизацию энергетических затрат в терминах либо средней энергии Е = ппп (объемная упаковка), либо равной для всех сигналов энергии индивидуального сигнала Е = шш (сферическая упаковка).
Опяп = )4Е~5 О~м= )2ЕI5 Опяп = Д2 '/2)Е е 0,77«ГЕ Рис. 2.6. Одно- в двумерные созвездие: а) — 4-АМ; 6) — 16-КАМ: е) — аФМ Простейшая версия этой задачи (и, = 1) отвечает случаю амплитудной (АМ) модуляции (простейший вариант которой с М = 2 — бинарная АМ вЂ” был упомянут в 8 2.2). Альтернативным наименованием АМ служит импульсно-кодовая модуляция (ИКМ)). При этом все сигнальные точки располагаются на одной прямой, и при М ) 2 речь может идти только об «объемнойв упаковке. Не составляет труда убедиться, что при заданном с) «в оптимальное созвездие, минимизирующее среднюю энергию, получается при равномерном и симметричном расположении сигнальных точек с расстоянием между соседними, в точности равным дп««в (см. рис. 2.6, а для случая М = 4). При и, = 2 зада за нахождения оптимального созвездия с объемной упаковкой становится более трудной и может даже привести к ассиметричным моделям, тогда как сферическая упаковка осуществляется тривиальным образом и реализуется равномерным размещением М точек на окружности радиуса и«Е.
Широко используемая в современной цифровой связи М-ичная квадратурная амплитудная модуляция (КАМ) служит примером двумерного, симметричного объемно-упакованного созвездия, которое, не являясь оптимальным теоретически, удобно в плане аппаратной реализации (рис. 2.6, б). С другой стороны, традиционная М-ичная фазовая манипуляция (сРМ) отвечает созвездиям с равномерно расположенными на окружностями точками, оптимальным с точки зрения сферической упаковки (рис. 2.6, в).
д.дМ. Рд:д д д 43) Задача оптимальной упаковки в пространствах ббльшей размерности (и, > 2) является чрезвычайно сложной и до сих пор не получила общего математического решения. Много полезных, но частных результатов содержится в целом ряде книг и статей (см., например, библиографию в [1Ц и веб-сайт (12)). Попытаемся теперь определить верхний предел минимума расстояния в отсутствие предварительного ограничения на размерность сигнального пространства п„а также минимальное значение п„которое обеспечит его достижение. Ограничиваясь только случаем сферической упаковки (Е~ = Е, й = 1, 2,..., М), шл шслим умму жы Мг возможных квадратов расстояний, включая и тривиальные (т.е. расстояния сигналов от них самих).
Тогда на основании теоремы косинусов (2.16) М М г(яюв~) =2МгŠ— 2Е ~~' рмд (2.26) дд2=1 ь2 =1 где ры коэффициент корреляции между дд-м и 1-м сигналами. Для оценки суммы всех коэффициентов корреляции воспользуемся определением (2.14) для рм, поменяем порядок интегрирования и суммирования и учтем, что индексы Й и 1 двойной суммы под знаком интеграла разделяются, а значит, ее можно заменить произведением двух идентичных сумм: М т д м г л Г, д = 1 г,' и (дд (д) дд = 1 ~ а (д) дд. а о Поскольку интеграл от квадрата всегда неотрицателен, из (2.26) вытекает, что м ~,1г(в в ) < 2МгЕ йг=1 В то же время приведенная выше сумма не меньше, чем М(М вЂ” 1)Ы~;„.
Объединение обоих неравенств приводит к следующей верхней границе минимального расстояния (2.27) Если существуют М сигналов, лежащих на этой границе, их справедливо назвать оптимальными по критерию минимума расстояния. Для доказательства существования подобного множества сигналов рассмотрим М векторов цю Й = 1,2,...,М, имеющих попарно нулевое скалярное произведение и единичную длину: (пюпд) = бм, Й,1 = 1,2,...,М, где дм = О, л ~ 1, Бм = 1, й = 1 — дельта-функция Кронекера. Такие векторы, называемые ортпоиормированнььни, существуют в любом векторном ь44 Г Й.к ....
д р к у'= 1, к,1 = 1, 2,..., М, пространстве, размерность которого не меньше, чем М. Сформируем теперь М новых векторов чы а = 1,2,..., М, каждый из которых получен вычитанием из пь суммы и = ~ ь ~ пю взвешенной коэффициентом 1/М: М' кь = пь — и/М. Скалярное произведение чь и ~ ~ 1 1 1 1 (кюти~) = (пып~) — — (пып) — — (п,п~)+ — (п,п) = бы — —, (2.28) где при вычислении принята во внимание ортогонэльность векторов пь и линейность скалярного произведения. Изменим теперь длину вектор у . у ~'мл7СЯ:С «у ученные векторы в качестве сигнальных: ) МЕ вь = )~ яь, к = 1, 2,..., М.
(2.29) Тогда, согласно теореме косинусов (2.16) и соотношению (2.29), квадрат расстояния между двумя сигналами д (вы в~) = д ~мыл~) = 2 МЕ 2 М вЂ” 1 МЕ з з 2МЕ Ц)чь)! + )(ъ~() — 2 чючЯ, =, й ф 1, (2,30) что совпадает с правой частью соотношения (2.27). Следовательно, сигналы, достигающие границы (2.27), действительно существуют. Более того, расстояние между любой их парой одинаково, поэтому они попадают в категорию эквидисшаншных. Построенный ансамбль широко известен под специальным наименованием множества симплексных сигналов. Непосредственно из его определения следует, что М М Кь= Гмюдм — сК, =/м111м — с( — ) =о, я.=1 я=1 означающее, что в отличие от исходных ортогонзльных векторов иь симплексные сигналы линейно зависимы. Легко убедиться, что размерность пространства и„= М вЂ” 1, т.
е. на единицу меньшая числа сигналов, необходима и достаточна для построения М симплексных сигналов. Эквидистантность симплексных сигналов означает и равенство коэффициентов корреляции ры для любой их пары. Вычисление ры с помощью (2.14), (2.29) и (2.28) приводит к результату (чю м~) 1 !)кя9 ((ч~9 М вЂ” 1' демонстрирующему, что углы между любыми двумя симплексными сигналами равны и превышают я/2.
Для простейших множеств М = 2, 3,4 симплексных сигналов, представленных на рис. 2.7, величина коэффициента корреляции принимает значения, равные — 1 (противоположные сиг- «.т. м. р.д: д р ю» 4«л нвлы), — 1/2 и — 1/3 соответственно, что в свою очередь отвечает углам в 180', 120' и примерно 110'. При М = 4 симплексные векторы образуют простейший правильный многогранник (тетраэдр), что и объясняет наименование сигналов: «симплекс« — от латинского «простой». В любом созвездии эквидистантных сигналов д(вь,в~) = «1;„для любой пары различных векторов, так что в (2.23) и„„„= М(М вЂ” 1), совпадая с числом слагаемых в (2.22). Подстановка этого значения совместно с (2.30) в (2.23) да- ГЯ1 2Е «ео««««(М 1)««)( (2.32) Сравнение (2.32) с (2.31) показывает, что для уравнивания вероятностей ошибок в обоих случаях энергия ортогональных сигналов должна быть увеличена в М/(М вЂ” 1) раз по сравнению с симплексными, т.е.
энергетические потери у первых относительно вторых у = М/(М вЂ” 1). При М » 1 эти потери пренебрежимо малы и ортогональные сигналы могут рассматриваться как оптимальные. Например, при М = 64 7 = 64/63, что соответствует увеличению энергии ортогональных сигналов по сравнению с симплексными менее чем на 0,07 дБ (или 2 %). Подобный проигрыш, конечно, практически незаметен и, если М достаточно велико, ортогонзльные н симплексные сигналы эквивалентны по поме- ет оценку асимптотическои вероятности Рис.
2.7. Лрвмеры свмплексных ошибки для симплексных сигналов, ко- сягяа«о торая одновременно служит и верхней границей для точного значения вероятности ошибки .««поп ~~ (М 1)««« ~ >> 1 ° (2.31) МЕ 2Е Поскольку симплексные сигналы оптимальны по критерию минимума расстояния, то правая часть последнего выражения служит оценкой минимально возможной асимптотической вероятности ошибки для случая М сигналов с фиксированными и равными Е энергиями. Рртоговальнь«е сигналы, являющиеся еще одним примером эквидистантньгх, практически столь же эффективны, как и симплексные, при достаточно большом значении М. Действительно, коэффициент корреляции для ортогональных сигналов равен нулю, а расстояние между любой их парой д(вы в~) = д„я, = «/2Е.
Используя это в (2.23), получим оценку асимптотической вероятности ошибки для М ортогональных сигналов, ограничивающей точное значение вероятности ошибки сверху: ь«< Г й.к «р хоустойчивости, так что предпочтение одного ансамбля другому может основываться на реализационных или других соображениях. Говоря об М-ичной ори«огональной передаче (в литературе используются также термины ортогональная нодуллння или ортогональное нодироаанне) вспомним, что максимальное число ортогональных сигналов в точности совпадает с размерностью сигнального пространства, т.е.
М = и». Поэтому в пределах общей полосы И'< и длительности Т» могут быть расположены «»'»Т«ортогональных видео- или 2»<~«Т» радиосигналов. Дополнительное физическое обоснование удвоения числа ортогонзльных радиосигналов в сравнении с видеосигналами непосредственно следует из соотношений (2.24) и (2.25): построение и, ортогональных сигналов вида (2.24) допускает добавление к ним еще п, сигналов, получаемых за счет сдвига фазы несущей частоты на угол я/2. Эта возможность осуществима на практике только в случае, когда все сигналы детерминированы (ногерентпны), т.е. начальные фазы несущей для всех сигналов фиксированы и могут быть использованы для идентификации сообщений. В реальности, однако, подобные условия нередко не выполняются, поскольку либо сам передатчик, либо канал могут разрушать когерентность сигналов, в результате чего их фазы становятся случайными и, как следствие, не могут использоваться в распознавании сообщений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
