Ипатов В. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов (2007), страница 12

Тогда версия. такого сигнала на видеочастоте запишется как В1-1 зь(1) = ~~', аьдзо(1 — зэ), (2.50) 1=0 где зв(с) отвечает прямоугольному чипу длительности Ь. Вычислим теперь скалярное произведение или корреляцию (2.5) й-го н 1-го сигналов. После изменения порядка суммирования и интегрирования 1Ч-1 1Š— 1 т (выв1) =,~ ~, айда10 / зо(1 — 1Ь)зо(1 —,1Ь)сй (251) 1=в 1=в в ». «. «р .р - ° р ° ° ° ° ~«1) ортогональных кодовых последовательностей автоматически формируют М ортогональных сигналов типа 12.ЬО). При М <»«' существует множество способов конструирования подобных последовательностей, поскольку речь попросту идет об отыскании М ( Х ортогональных векторов размерности Х. В нашем примере упомянутые векторы являются бинарными, т.е.

их компоненты принимают значения из множества ~1. При М = Х ортогональные бинарные векторы, используемые как строки, образуют квадратную матрицу, называемую матрицей Адамара. Не составляет труда убедиться (рекомендуем читателю попытатыя зто сделать; см. задачу 7.14), в возможности существования матриц Адамара лишь размера М ) 2, кратного четырем, т.е. М = 0 шо«1 4, где символ сравнения а = Ь шо«1 с отвечает равенству остатков от деления целых чисел а, Ь на целое с. Вопрос о достаточности этого необходимого условия пока не получил ответа. Известен ряд алгоритмов построения матриц Адамара специальных (не произвольных) размеров. Одним из них является популярное правило Сильвестра, позволяющее рекурсивно удваивать размер матрицы. Для пояснения его сути предположим, что каким-либо образом найдена матрица Адамара Нм размерности М.

Тогда матрицу Адамара удвоенного размера Нэм можно построить четырехкратным повторением Н««в качестве блоков Нэ««, изменив знак одного из них: Нзм = Н вЂ” — Э Нм, (2.53) где второе равенство выражает правило через кронекеровское произведение матриц.

Ортогональность строк Нэм очевидна: две строки, номера которых отличаются на любое целое, кроме М, обладают нулевым скалярным произведением, поскольку их М-мерные половины являются разными строками (с возможным изменением знака) Нм. Если же номера строк Нз««отличаются на М, то их первые М элементов совпадают, тогда как остальные противоположны, что вновь гарантирует равенство скалярного произведения нулю. Можно начать выполнение алгоритма Сильвестра с простейшей матрицы Адамара построив матрицу Н4 1в которой ниже для краткости знаки «+» и « — » заменяют элементы «+1» и « — 1»), затем от Н4 перейдя к На и т. д.: (~~~62 Глава г.

Классические задачи ириезла и синтез сигналов Н Таким способом можно построить матрицу Адамара любого размера М = 2т = 2,4,8, 16, 32,.... Строки матрицы Адамара, построенной подобным образом, известны как функции Уолта. Рис. 2.1л. Функции Уолта длины 8 вг(() вз(() вл(() 55(б 5-,(() 55(() На рис. 2.12 представлены ортогональные бинарные фазоманипулированные видеосигналы (2.50) — функции Уолша, построенные на основе матрицы Адамара Нв. 2.7. Пр р .

р ««. 63) Рис. 2.13 иллюстрирует тот факт, что при данном варианте построения ортогонального ансамбля дробления общего ресурса между сигналами нет: каждый из них эксплуатирует весь доступный ресурс, так что все сигналы полностью перекрываются и во временнбй, и в частотной областях. Действительно, полоса, занимаемая каждым сигналом, может быть оценена как И' = 1/сл, тогда как длительность Т = ЛХЬ, откуда И'Т = М = Ъ7~Ть Ортогональность же при этом достигается не за счет фрагментации временнбго интервала или полосы, а соответствующим выбором законов модуляции сигналов. Рис.

2.13. Использование ресурса широкополосными ортогональными сигналами Т,=Т Касаясь достоинств ортогональных широкополосных сигналов, можно отметить, что методы формирования и обработки сигналов типа (2.50) хорошо сопрягаются с элементной базой современной цифровой микроэлектроники (БИС, программируемая логика, микропроцессоры и др.). Наиболее существенно, однако, автоматическое обретение тех преимуществ широкополосной технологии, которые в ходе обсуждения классических задач приема пока не проявились., но, как будет видно, многочисленны и весьма ценны в практических приложениях (см. гл, 3).

Это и дает ключ к объяснению повсеместного применения широкополосных ортогональных сигналов в продвинутых беспроводных телекоммуникационных системах (сс1шаОпе, ЪЧС11МА, сйпа2000, см. гл. 11). Можно дать следующее резюме к содержанию параграфов 3 2.5-2.7. Как можно видеть, теоретически классическая задача ЛХ-ичной передачи не ориентирует на безоговорочное использование технологии расширения спектра и, в принципе, оптимальный М-ичный ансамбль можно составить из простых сигналов.

С другой стороны, существуют стимулы реализаци- ~~( 64 Глава г. Классические задачи приема и синтез сигналов онного порядка, подкрепленные стремлением к утилизации преимуществ расширенного спектра вне классической постановки задачи приема.

Поскольку такая возможность потенциально присутствует всякий раз, когда полный частотно-временнбй ресурс и'~Т~ >> 1 принципиально необходим, предпочтение разработчиком широкополосных сигналов простым в подобных обстоятельствах может оказаться вполне оправданным. 2.8. Оценка паранетров сигнала 2.8.1. Формулировка задачи и правила оценки Практически в любой радиосистеме мы встречаем задачу измерения (или оценки) параметрое сигнала.

Она характерна для любой ситуации, когда информация, интересующая наблюдателя, содержится в текущем значении некоторого сигнального параметра (например, амплитуды, частоты, начальной фазы, запаздывания и др.). Тем самым, чтобы извлечь необходимую информацию из принятого колебания, наблюдатель должен измерить или оценить соответствующий параметр. Обратимся к некоторым простым примерам. В обычном АМ или ЧМ радиовещании зависимость амплитуды (или частоты) во времени содержит передаваемую аудиоинформацию: громкость и звуковой тон. Для восстановления звукового сообщения и восприятия его слушателем необходимо измерить мгновенные значения амплитуды (частоты) и воспроизвести их в виде колебания, непрерывного во времени. Другим примером может служить массовое аналоговое телевидение, в котором как амплитуда, так и частота используются для передачи информации.

Для восстановления на приемной стороне видеоизображения объекта необходимо выполнить измерения амплитуды, поскольку яркостный сигнал и цветовые компоненты передаются с помощью амплитудной модуляции. В то же время передача аудиоинформации осуществляется с помощью угловой модуляции, в силу чего любой телевизионный приемник должен осуществлять и измерение частоты.

Как еще один пример оценки параметров можно вспомнить задачу синхронизации, в которой частотно-временнбе рассогласование между принятым сигналом и локальным эталоном измеряется с целью последующего введения последнего в синхронизм с системным стандартом времени. Подобная процедура типична для множества современных систем— от каналов горизонтальной и вертикальной развертки в телевидении до пилотных каналов систем мобильной связи второго и третьего поколений. Принципиальной задачей локации и навигации также является измерение параметров: оценивание запаздывания и направления прихода 6.8.0 р р . Д сигнала требуется для определения относительных дальности и угловых координат между приемником и объектом. Когда к тому же необходимо знание скорости цели и параметров ее траектории, выполняется измерение доплеровского сдвига частоты и т. д.

Перечень подобных примеров может быть без труда продолжен, поскольку измерительные процедуры являются неотъемлемым атрибутом практически любой системы, имеющей отношение к передаче, извлечению и обработке информации. В терминах, наиболее удобных в нашем контексте, задача оценки параметров может быть сформулирована следующим образом. Пусть наблюдение у(1) наряду с шумом содержит сигнал з(1; Л), являющийся детерминированным, за исключением неизвестного значения постоянного параметра Л. Параметр Л может быть скалярным либо векторным в зависимости от конкретного содержания задачи. Наблюдатель, основываясь на анализе у(1), должен принять решение о том, какое конкретное значение из диапазона возможных принял параметр сигнала Л.

Наряду с самой задачей это решение принято называть оценкой и обозначать Л. Поскольку в принятом наблюдении у(1) всегда присутствует шум, то в каждом сеансе приема оценка Л отличается от неизвестного истинного значения параметра Л. Поэтому естественным является вопрос: какое правило решения является оптимальным, т.е. гарантирующим наименьший ущерб от отклонений Л от Л. Простейший подход к этой проблеме основывается на понимании того факта, что задача оценки не является чем-то принципиально новым по отношению к задаче различения М сигналов, обсуждавшейся в З 2.1 и 2.3. В самом деле, предположим вначале, что измеряемый параметр Л дискретен и принимает одно из М конкурирующих значений Лм Лз,..., Лм.

Тогда решение о том, какое из возможных значений принял параметр сигнала в данном конкретном наблюдении, есть не что иное как проверка М гипотез о том, какой из М конкурирующих сигналов з~ (Ф), лз(1),..., зм($) фактически принят, причем все распознаваемые сигналы являются копиями сигнала л(г; Л), отличающимися друг от друга только значением параметра Л, т.е. зь(8) = з(~;Ль). Для того, чтобы охватить подобной постановкой и случай непрерывного параметра Л, требуется лишь устремить число его возможных значений М, т. е.

различаемых сигналов, к бесконечности (вплоть до несчетной). Из приведенных рассуждений следует, что уже известная оптимальная стратегия решения — правило МП вЂ” применима и в оценке параметров. Это означает, что среди всех конкурирующих значений Л в качестве оценки Л следует выбирать то, которое максимизирует вероятность трансформации каналом сигнала з(Ф; Л) в наблюдаемое колебание у(~). Для АБГШ ~~~66 Глава в.

Классические задачи приема и синтез сигналов канала это правило эквивалентно правилу минимума расстояния, которое с использованием введенной символики представляется в виде «(в)лоу) = ш)п«(вл,у) =ь Л, (2.54) л где вл — векторное обозначение сигнала в(1;Л). Это правило формирует максимально правдоподобную оценку Л, находя такое значение Л, при котором сигнал з(1; Л) наиболее близок к наблюдению у(1) в смысле евклидова расстояния, что иллюстрируется рис. 2.14. Сигнал в(1; Л) можно отождествить с вектором ял,который перемещается в пространстве с изменением параметра Л. Конец вектора описывает некоторую траекторию, точки которой соответствуют различным значениям параметра Л (рис.