Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу

"'""" ВБНРНИК ЗАИАЧ МАТЕМАТИЧ(СКОМУ АНАНЙЗУ ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ФУНКЦИИ ПОЙ РЕДАКЦНЕЙ И. ф. БОКШТЕЙНА опущено инистерством просвещения СССР в качестве учебного пособия для студентов физико-математических Факультетов педагогических институтов МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1 ББК 22,16 0-94 Рецензенты: кафедра математического анализа МГЗПИ (зав. кафедрой кандидат физико-математических наук Мардконич А. Г.), доктор физико-математических наук, профессор Бавртгн И. И. (МОПИ им. Крупской) Очан Ю. С. 0-94 Сборник задач по математическому анализу: Общая теория множеств и фуг(кпи(п Учеб. пособие для студентов физ.- мат.

фак. пед. ин-тов /Под ред. М. Ф. Бокштейна — М.: Просвещение, 1981.— 271 с. Сборник состоит из двух частей; теория множеств и теория функний. В нем пред. ставлены тексты задач, а также унззания к ич решению и ответы; кроме того, перед каждым разделом приводится необходимый теорстичесний мзтериал. 60602 — 862 Π— 26 — 81 4309020400 103(03) — 81 ф Издательство ПРЕДИСЛОВИЕ Уже давно ощущается настоятельная необходимость появления хорошего сборника задач потеории множеств и функций, предназначенного для наших педагогических институтов.

Длительное время заслуженной популярностью пользовался задачник по теории функций действительной переменной, выпущенный издательством «Просвещение» в 1965 г*. Изменения в программах пединститутов, связанные с прогрессом науки и изменением взгляда на положение теории функций действительной переменной внутри математического анализа, привели к необходимости создании нового задачника, более современного.

Настоящий сборник является результатом предпринятой автором коренной переработки названной выше книги, в которой после его смерти принимали участие его друзья-математики, а также его дочь Н. Ю. Очан. Многие задачи и примеры, помещенные в настоящем пособии, носят учебный характер. Однако наряду с элементарными задачами сборник содержит также ряд задач повышенной трудности; решение таких задач требует от учащегося известной изобретательности и некоторых навыков математического исследования. Эти более труд. ные задачи (или циклы задач, объединенные общей темой) могут служить материалом для спецсеминаров и кружков; их можно предлагать также в качестве тем для курсовых работ.

Несколько слов о построении книги. Ввиду того что в различных учебниках употребляется различная терминология и различные обозначения, перед каждой главой автор дает сводку основных определений и обозначений, а также формулировку тех теорем, которые предполагаются известными и на которые следует опираться при решении задач. Книга разбита на две части. Вся теория множеств, начиная с общей теории (операции над множествами, вопросы взаимно однозначного соответствия и мощности) и кончая теорией меры Лебега, заключена в первой части.

Вторая часть посвящена теории функций, начиная с общих вопросов, связанных с отображениями множеств, и кончая теорией интеграла Лебега в евклидовом пространстве. М, ф. Бокштейн * О ч а н Ю. С. Сборник задач и теорем по теории функций действительного переменного. М., Просвещенно, 196б. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ Глава!. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ Если а является элещентом множества А (нли а входит в А, принадлежит А), то пишут а Е А, а если а не является элементом множества А, то а Е А (или а т А).

Элементы множества А мы будем иногда называть точками этого множества. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается Я. Если все элементы множества А являются также элементами множества В, то говорят, что А включается и В нли А содсржшпся в В; говорят также, что В включает нли содержит А. Это рбозиачают так: А с: В илн В:ь А. Если А~ В и Вс: А, то говорят, что А равно В илн А совпадает с В, пишут; А = В. Если А не равно В, то пишут; А ~ В.

Если А~В, то говорят, что А является подмножеством множества В. Если при этом А = В, то говорят, что А является собственным яодмножесгявом множества В. Действия над множествами Е Обьвдинвнивм множеств А н В называется множество, составленное из тех и только тех элементов, которые входят хотя бы в одно из данных множеств.

Объединение множеств А и В обозначается А В В. Объединением семейства множеств (Аа),А (где индекс а пробегает некоторое непустое множество индексов А) называется множество, составленное из всех элементов, входящих хотя бы в одно нз множеств Аа (а Е А). Объединение семейства множеств (Аа )„,А обозначается О Аа. аЕА 2. Пересечением (нли общей частью) множеств А н В называется множество, составленное нз всех тех элементов, которые входят как в А, так и в В. Пересечеаие множеств А и В обозначается А () В.

Два множества называются непересекающимися, если их пересечение пусто. Лересвчением (илн общей частью) семейства множеств (А )аея называется множество, составленное нз всех элементов, входящих одновременно во все множества Аа(а Е А). Пересечение множеств Аа обозначается П Аа. аЕА )(ля объединения и пересечения справедливы переместительный и сочета. тельный законы: А Ц В = В () А, А П В = В П А; А () (В () С) = (А () В) () С, А П (В П С) = (А () В) П С, Кроме того, справедливы распределительные законы: А П (0Ва) = 0 (А П Ва), А () (ПВа) = П(А () Ва) атА аЕА ася а:А (распределнтельность пересечения относительно объединения и объединения относителыю пересечения). З, Разностью множеств А и В называется множество, элементами ноторого являются те и только те элементы множества А, которые не входят в В.

Разность множеств А и В обозначается А Х, В 4. Симлсвтричвскал разность А Ь В множеств А и В определяется равенством А Ь В = (А Х. В) () (В '~ А). Ясно, чтоА ЛВ=ВЬА. б. Произведением множеств А и В называется множество всевозможных пар (х, у) таких, что х Е А, у Е В. Произведение множеств А и В обозначается АХ В. Если, в частности, А — множество чисел на оси Ох, а  — на оси Оу, то А Х В вЂ” множество всевозможных пар чисел (х, у), где х Е А, у Е В. Так как пару чисел можно рассматривать как точку на плоскости Оху, то А Х В можно считать множеством всех точен (х, у) плоскости Оху таких, что х Е А, у Е В.

По аналогии с произведением двух множеств можно говорить о произведе. нии трех и большего числа множеств. В частности, если А — множество на осн Ох,  — на оси Оу, С вЂ” на оси Ог, то А Х В Х С вЂ” множество всех таких точек (х, у, г) пространства Охуг, что х Е А, у Е В, г Е С. 6. Верхним пределом последовательности множеств Ег, Ег,... называется множество 1пп Е„, определяемое равенством +» + 1ппЕ„= П У Ет.

л=1 т=л Нижним пределом этой последовательности называется множество 1пп Е, оп еделяемое равенством р +сс +с 1ппЕ„= 11 П Е л=! т=л У. Пространство. Если все множества, фигурирующие в некоторой за. даче, являются подмножествами некоторого множества Х, то Х называется лроалралством. Разность Х ч, Е (где Е с: Х) называется дополнением л множеству Е (относительно пространства Х) и обозначается СхЕ или, короче, СЕ: СЕ Х чс Е. 8. Закон двойственности. Для любого семейства множеств (А„) „ каждое из которых является подмножеством пространства Х, справедливы следусощне равенства: С ( () Асс) П САа, С (П Асс) = () САа ° аГА сс:Л аЕА агл В частности, для двух множеств А и В законы двойственности запишутся так! с (А (1 в) = сА П св, с (А П в) = сА () св.

Задачи 1. Доказать равносильность следующих трех соотношений: А с: В, А П В = А, А () В = В (т. е. доказать, что из выполнения любого из них вытекает спра. ведливость остальных двух). 2. Доказать, что А '~ В = А Д СВ. 3. Доказать включения: а) (А Д С) О (В П Р) ~ (А () В) П (С () Р); б) (В 'х С) Х (В ' ч А) с: А ч~ С; в) А 'х С с (А Х; В) () (В "~ С). 4.

Доказать равенства: а) А ~ (В ~ С) = (А '~ В) 0 (А П С); б) (А~В)~С =(А~С)~,(В~С); в) (А ~ В) 0 (В ~, С) 0 (С ~ А) 0 (А П В П С) = А 0 ОВОС; г) (А ~, В) П С = (А П С) ~ (В П С) = (А П С) ~ В' д) (А 0 В) ~ С = (А ~ С) 0 (В ~, С); е) (А П В) ~ С = (А ~ С) П (В ~ С). 5. Вытекает ли из А ", В = С, что А = В 0 С? 6. Вытекает ли из А = В 0 С, что А ~ В = С? 7. Верны ли равенства: а) А '~ (В 0 С) = (А ', В) '~, С; б) А 0 (В ", С) = (А 0 В) ", С; в) (А ~, В) 0 С= (А 0 С) '~ В? Если нет, то в какую сторону имеет место включение? 8.

Доказать равносильность включений А ', В ~ С и АсВ0 С. 9. Доказать, что равенство А ', (В ' С) = (А ~ В) 0 С верно, если А ~ С, и неверно, если С '~, А чь И. 1О. Доказать включение 0А ",0Вьс 0 (Аь",В„). Показать на примере, что в общем случае здесь нет равенства. и +О +ю 11. Доказать, что: а) если В„= 0 Аь то 0 А„= 0 В„; с=! =~ и=~ л + +а б) если С„= П А» то П А, = П Сл и=~ 12.

Доказать, что АЬВ = (А 0 В) ~, (А П В). 13. Пусть А — заданное множество. Доказать, что множество Х пусто тогда и только тогда, когда АЬХ = А. 14. Доказать равенства: а) АЬ(ВЬР) =(АЬВ) ЬР; б) АП П (ВЬР) =(А П В) Ь (А П Р); в) АЬА = Ы. 15. Доказать включения: а) АЬВ с: (АЬС) 0 (ВЬС); б) (А 0 0 В) ЬЕ с= (АЬЕ) 0 (ВЬЕ); в) (А 0 В) Ь (С 0 Р) с: (АЬС) 0 0 (ВЬР).

Показать на примере, что в общем случае здесь нет равенства. 16. Доказать равенства: а) С (А'~В) = СА 0 В; б) С (С (СА 0 0 В) 0 (А 0 СВ)) = В ~, А; в) (А П В) 0 (А П СВ) 0 (СА П ПВ)=А0В. 17. Используя закон двойственности, упростить выражение С (С (Х 0 )') П (СХ 0 СУ)). 18. Доказать, что 1)щ Е„состоит из тех и только тех точек, которые входят во все множества последовательности множеств (Е„), начиная с некоторого номера. Доказать, что!пп Е„состоит нз тех н только тех точек, которые входят в бесконечное число членов зтой последовательности.

19. Доказать, что если последовательность множеств (Е„) монотонно убывает (т. е. Е„~ Е„+х при любом и) или монотонно возрастает (т. е. Е„с: Е +г при любом а), то 1!пг Е„= !гпт Е„. 2(). Доказать, что для любой последовательности множеств имеют место включения П Е„с )пп Е„с !!пт Е„с Ц Е„. Пол ч строить пример такой последовательности множеств, для которой ни один из этих знаков включения не может быть заменен знаком равенства. 21.

Доказать, что для любых множеств Е, Р, 6 справедливы равенства: а) Е х(Р 0 6) =(Е х Р) () (Е х 6); б) (Р () 6) х Е =(Р х Е) () (6 х Е); в) Ех(Р!) 6)=(ЕхР) П(Ех6); г) (РП 6)хЕ=(РхЕ) П(6ХЕ) 22. Справедливы ли равенства: а) (А х В) Г) (С х О) = (А П С) х (В П О); б) (А х В) О (С х О) = (А О С) х (В () О)? 23. Доказать, что (А ", В) х С = (А х С) 'Х (В х С). 24. Доказать, что (Р Х Я) '~, (А Х В) = ((Р Х, А) Х Я) () () (Р х Я~,В)). 25.

Г!усть множества А и С непусты. Доказать, что, для того чтобы Л ~ В, С с: О, необходимо и достаточно, чтобы было А х х С с: В х О. Остается ли в силе это утверждение, если А илн С пусто? 26. Доказать, что если Л с: Р, В с 6, то А х В =(А х ()) Г) (В х Р). Глава В. ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНОЕ СООТВЕТСТВИЕ Если каждому элементу а множества А по некоторому закону поставлен в соответствие один и только один элемент Ь множества В, причем различным элементам множества А отвечают различные элементы множества В, и если при этом соответствий использованы все элементы множества В, то говорят, что между множествами А и В установлено взаимно однозначное соответствие.

Так, например, можно установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех рациональных чисел и множеством всех натуральных чисел. Если между некоторым множеством Е и множеством )У всех натуральных чисел установлено взаимно однозначное соответствие, то говорят, что элементы множества Е занумерованы с помощью натуральных чисел. Целью задач настоящей главы является установление взаимно однозначного соответствия между двумя заданными ыножествами (т. е. построение функции, определенной на одном из заданных множеств и взаимно однозначно отображаю- и(ей это множество на другое заданное множество). Среди множеств, с которыми мы будем иметь дело, особенно важными являются числовые множества, т. е. множества, элементами которых являются действительные числа.