А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов, страница 7

Со «свойствамн с вероятностью !» связана группа теорем, известных под названием законов нуля или еднниньг (законов Π— !). Теоремы этой группы утверждакзт, что прн такнх-то условиях (связанных с характером взаимной заваснмосгн значений случайной функции) все события нз такой-то а-алгебры нмеюг либо вероятность О, лнбо !. Те о-алгебры, о которых пдст речь в законах Π— (, обычно получаются предельным переходом нз очюпебр, порожденных случайным процессом (см, $ 3.!); доказательстно теорем такого рода может состоять в установлении того, что любое событие нз рассматрнваемой о-алгебры не зависит само от себя.

аз) Заметное отличие теории бесконечномерных распределений от конечномерных состоит в том, что, тогда как важным классом конечномерных распределений являются распределения, имеющие плотность, в бесконсчномерном случае такого класса нет. Дело в том, что в конечномериом случае есть мера Лебега — особая мера; н частности, инвариантная относительно сдвигов и вращений н преобразующаяся простым образом при аффинных преобразованиях. В бесконечномерном случае такой привилегированной меры нет. Можно рассматривать плотности, но одних распределений относительно других.

Не то, чтобы это сильно усложняло теорию, но придает ей непривычный вид. Конкретные результаты в атой области (уставовленне абсолютной непрерывностн нлн сннгулярностн одного распределения относительно другого, нахождение плотности) могут получаться предельным переходом от конечпомерного случая (см. 5 5.3, а также 5 тй). а«) Мы можем рассматривать вопрос о сходимости распределений в бесконечпомерных пространствах — о таком важном для теории вероятностей виде сходимости, как слабая сходимость. В атой книге Я 5.4) будут затронуты только простейшие вопросы развитой здесь содержательной и плодотворной теории; в частности, нам не удастся разобрать пример, связанный с задачей 7 й 1.2.

б) Для исследования зависимости в теории случайных процессов развит специальный аппарат. Этот аппарат в его тсоретико-множественной части связан с о-алгебрами, в собственно теоретико-вероятностной части — с условными вероятностями и еще более с условными математическими ожиданиями относительно о-алгебр. Г)режде всего, это различные семейства а-алгебр, связанные со случайным процессом (см. $3.(). Для случайных процессов существенна завнсимосю между бддущи.и и арощльт — некоторые из вводимых а-алгебр конкретизируют неопределенио-интуитивное понятие будущего, другие — прошлого, что позволяет датЬ то шые формулировки задач о зависимости между ними Далее, оказывается, что характер зависимости будущего от прошлого, имеющий месю, если под насголщалг понимать произвольный фиксировэнпын момент времени, может измениться, если настали(сг- -случайный момщп иремеиш В связи с этим вводится класс слччаиных моментов времени, называемых марковскими моментамп Теореппсо-множественная (еще не связанная с вераэтпостямн) часть аппарата для учета зависньгости от прошлого развита в гл.

6 Более сложная и содержательная чагть этого аппарата состоит в использовании при исследовании случайного процесса различных вспомогательных случайных функций; причем сии ныбираются так, чтобы они прг1падлсжали специальным классалг случайных функций — маргингалам (или срб-, илн срагрмартингалам) Здесь имеется также специальный аппарат, позволяющий немного подправлять случайные функции, чтобы превратить их н мартингалы; это — аппарач комагнсигоров — Об этом речь пойдетвгл 7 3. Можно изучать ььг(ог), ( е— : Т, оз е— : (ю как любую функцию двух переменных.

К функциям двух переменных относится, в сущности, только одна общая теорема — теорема Фубини; однако она составляет обоснование приема замены математического ожидания интеграла интегралом от математического ожидания, который позволяет получить большое число серьезных результатов. Этот прием — в более простом варианте замены математического ожидания суммы суммой математических ожиданий — с успехом применяется н элементарной теории вероятностей; так, в применении к математическому ожиданию биномиальпого распределения он дает л (О д+ ) Р) иместо более сложного Х )г.

Сэ ь и-а лр гl 32 Важным понятием, относящимся к этой области, является измеримость случайной функции. Пусть на Т задана и-алгебра У; случайная функция ~~ называется измеримой, если функция $~ (ы) измерима по парс ((, ги) относительно о-алгебры У Р', У. Если Т счетно, то любая случайная функция автоматически измерима (в качестве У берется и-алгебра всех подмножеств Т), При несчетном Т для измернмости случайной функции недостаточно, чтобы р(~и) при любом фиксированном ( было У-измеримо (это выполняется автоматически), а при любом фиксированном оз У -измеримо по г (хотя это и необходимо).

Достаточное условие измеримости дает следующая задача. 3 а да ч а 4. Пусть Т вЂ” отрезок числовой прямой (или интервал, или полуинтервал), У = Ят — система борелевских подмножеств Т. Пусть Х вЂ” метрическое пространство, зо' = Ях — и-алгебра его борелевских подмножеств, ~ь ( е= Т, — случайный процесс со значениями в (Х, Ях). Докажите, что для измеримости процесса достаточно, чтобы все выборочные функции были при всех ( непрерывны справа (или слева).

Следующая микротеорема — приспособление к случайным функциям теоремы Фубиии и в доказательстве не нуждается. Микротеорема. Пусть $ь (~ Т,— измеримая (относительно и-алгебры У на Т) случайная функция; р -- мера на (Т, У ). Пусть хотя бы один из интегралов ~ М, 'сг)р(д() или М ~ !Ь,)(ь(д() конечен.

Тогда т т М ~ Б~р(д()=~ МмкФ). рассматривать свойство измеримосги случайных функций прихолится яе только в связи с теоремой Фубиии 3 а ца ч а 5. Пусть $ь )~ы Т, случайная функция; иа миожестве Т зацаиа и-алгебра У, и случайная функция $~ измерима. Пусть т(<з) случайиый злсмеит (Т, У ). Докажите, что =- йз Ыа (ы) — случайная величииа. Для неизмеримого случайного процесса его зиачеиие в случайный момент времени вовсе ие обязано быть случайной величиной. 4. Разумеется, можно изучать случайные процессы, комбинируя методы пп. 1 — 3, или применять 33 2 А д.

Веитцель методы, специально выдуманные для какого-либо узкого класса процессов, но об этом мы будем говор и ть н е здесь. 5 1.4. Важнейшие классы случайных процессов В теории случайных процессов выделяются различные широкие классы случайных функций; эти классы, вообще говоря, пересекающиеся. 1. Случайная функция йг, 1~ Т, принимающая значения в (Х, гв) = ()с', Я') — или Я", зн"), — называется гауссовской, если все ее конечномерные распределения — нормальные (гауссовские), т. е. случайный вектор (йго ..., йгь) имеет нормальное распредсленпе при лзобых (ь ..., )а е= Т. Примеры, приведенные в 9 2, — не гауссовские случайные функции, за исключением примеров, связанных с винеровским процессом (см.

формулу (2) 2 2), и примера 1. 3 ад а ч а 1*. Выясните, при каких условиях на случайные величины А, Ч процесс й~ примера 1 $2 — гауссовский. Многомерная центральная предельная теорема является основанием того, что гауссовские случайные функции иногда оказываются в каком-то смысле предсльнь1ми для сумм возрастающего числа независимых случайных функций.

Таков пример 5 5 2 (выясните, какие случайные функции нужно складывать, чтобы получить Г„(х)). 2. Мы говорим, что числовой (или векторный) случайный процесс ~ь 1е Т =)г',— процесс с независимыми приращениями, если его приращения на неперекрывающихся отрезках не зависят друг от друга: для гв (11 "- ... ( йю й е= Т, случайные величины чг, — сгы 2~, — йа„..., Ег„— "йг, независимы. Рассмотренные в $ 1.2 пуассоновскнй процесс, вииеровский процесс, процесс Коши, процесс из примера 9 — процесоы с независимыми приращениями (зто входит в их определение — требование 1). Другой класс примеров относится не к произвольному Т ш Р', а к Т = Лт = (О, 1, 2, ...): последовательность $ с независимыми приращениями, 3а = О, — вто нс что нное, как последовательность сумм нсзависииых случайных величин =". — йм Ь вЂ” "вь ". 2', Соответствующее понятие «в широком смысле»: случайный процесс йг, М(тг 1з «.