А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов, страница 5

Из полученного нами свойства процесса гвг легко вывести, что он обладает неограниченной вариацией на любом отрезке. Займемся теперь нахождением конечномерных распределений винеровского процесса. До сих пор мы говорили о винеровском процессе, как будто существует только один вииеровский про- цесс, т. е. как будто аксиомы 1 — !11 задают этот ма- тематический объект в каком-то смысле однозначно. Но это не так даже при одном и том же временнбм промежутке Т (а его можно выбирать по-разному).

Легко видеть, что если сдвинуть все значения вине- ровского процесса на одну и ту же случайную вели- чину ь(ю): Йг = юг+ ь, — то это тоже будет вине- ровский процесс; конечномерные распределения у него будут, вообще говоря, другие. В связи с этим введем определение. Винвровским прис(вссом, выхо- дящим из точки хо е= гс' (начинающимся в хо), назы- вается винеровский процесс агь определенный при 20 1ен 10, оо) и такой, что геа =ха с вероятностью 1. Такой процесс уже будет задаваться однозначно с точностью до конечномерных распределений.

Выпишем эти распределения. Для 0 <1, < 1, « ... ул рассмотрим случайный вектор Лги=(шг, — ыг,, ич,— тв1е ..., ш~„— теч,), где ус=О. Он имеет плотность распределения рд (х,, ..., х„)= л л хт =Пи.а,—,,п "' » ( — 2; „,.*',, ~ г-1 г=1 Совместное РаспРеделение ине ..., ш1 также бУдет иметь плотность. Выпишем ее, пользуясь формулой, выражающей плотность распределения вектора, получаемого из вектора $ невырожденным линейным преобразованием А: рл,(х)=! г(е1А ~ 'р (А 'х). Здесь в качестве б, Ас берутся векторы Лгп, (ю~„... ..., ш~ ); имеем: (ш~е ..., ю~„)=(ха+(пн, — ш~,), ха + (ши — шь) + (шо — гпп),, ха + (ши — ши) + ... + (ш~„— ш~„,)) (помиим, что гви =- шс = хо); матрица преобразования треугольная, с единицами на диагонали и под ией, определитель равен 1; обратное преобразование дается формулой А 'х=(х,— х„ хз — хь ..., х„— х„,) (здесь хь ..., хл — координаты вектора х, а ха — константа).

Получаем: р ч...,„, (хь ..., х)= л г ! т=! Итак, конечномерные распределения винеровского процесса, начинающегося из точки ха,— гауссовские. 3 а д а ч а 3. Пусть конечномериые распределения случайного процесса ю~ задаются формулой (2), юа — — хм докажите, что тогда для юо 1) О, ныполняются требования 1, 1! определения вннеровсного процесса. 3. Многомерный винеровский процесс — случайный процесс со~ со значениями в (Я', Я'), удовлетворяющий условиям 1 и 111 п. 2 и условию 21 П'. Случайный вектор шг — таю з ( 1, имеет нормальное распределение с математическим ожиданием О и матрицей ковариаций (1 — э)Е (Š— единичная матрица порядка г).

3 а д а ч а 4. Пусть юг — — (ю)г, ..., югг), Г сн !О, еа), — г-мернмй винеровский процесс, шь = хм Локажите, что любое событие 1 из а-алгебры У', порожденной случайными величинами юг, ) '-х О, любое событие ич а-алгебры У ', порожденной случайными величинами иь ..., и любое событие из определенной ана- ,2 логичным образом а-алгебры Я ' независимы (т.

е. г-мерный винеровский процесс — зто г независнлгых друг от друга одномерных винеровских працесгов). 3 а д а ч а 5. Локажите, чта, когда максимальный отрезок разбиения а = М ( г'г < .. ( ~„= Ь отрезка от а до Ь стре- л ! мится к О, г !ю — ш ) (ы — и ) — и 0 в среднем квад- з х 1 гг, "'гс)1 гг, гс) г-а ратнческом. 4. Прог(егсолс Коши называется случайный процесс йь удовлетворяющий условию ! п. 2 и условию 1!". Приращение йььа — сг имеет распределение с плотностью р(х) = и-'6/(Йз + х') (распределение Коши). 3 ад а ч а б.

Вьшишите конечномерные распределения процесса Коши $ь .' ) О, начинаюгцегася из точки х, (т. е, !ь = хо). 5. Пусть сь ..., $„, ... — независимые случайные величины с одной и той же непрерывной функпией распределения Г(х). Обозначим через Е„'(х), — сю ( ( х ( оа, эмпирическую функцию распределения, вычисленную по наблюдениям $,, ..., с„: Е'„(х) = числа Д,(х, 1<г "ч) Так как 5,. случайны, то ясно, что Р*„(х), х ен )!' будет случайной функцией. Что это будет за случайная функцияз Прежде всего оказывается, что случайная функция )г (1)=Е„'(Р '(Г)) — К г ен [О, 1) (где гг-'— обратная к Е фу.нкция, т. е.

Е(Š— '(1)) = 1), имеет одни и те же конечномерные распределения для любой непрерывной функции Е. Траектория этой случайной функции имеет такой вид (рис. 3): оиа делает п скачков величины 1/и вверх, а в промежут- ках между ними убывает с угловым коэффициентом — 1. ясно, что у„(() при и-» оо стремится к нулю со скоростью порядка [г)~/и, так как это разность частоты и соответствующей вероятности. Имеет место следующий интересный результат. 3 ад а ч а 7. Прн гг-ь ос все конечномерные распределения случайной функции З/и Ув (т), т ь— : [О, !], сходятся к гауссовсним распределениям. Оказывается, зти предельные распределения являются конечиомерпыми распределениями некоторой случайной функции 2(!), ! ~ [О, !].

с непрерывными реализациями. Зто показывает путь, на котором можно найти агкмптотические распределения различных функционалов от змонрической функции распредслсняя, используемых в матемапысской статистике; например, статистики КолмогоровазГг вор ~ л„(х) — Г (х) ~ = зпр ~ "ьугь ул (т) ~ <к< о<!<! Вывод аспмптотнческого распределения разбивается на две части: доказательство того, что Р ( зпр ] З(л уа(!)[ > х) -ь о<!<! — э Р ( внр [ д (!) [ > х), и нахождение последней вероятности.

о<!<! 6. До сих пор мы рассматривали случайные функции лишь с числовым параметром й Т с= ]('! читатель легко придумает примеры, где Т с: — ]тз и т. п. Рассмотрим пример случайной функции с более «экзотической» областью определения. Пусть на измеримом пространстве (Х, уо') задана мера лт. Случайная функция п(А) = п(А, цз), А ~ вп, называется пуассонавской случайной мерой со среднилт лт, если 1. Для любых непересекающихся множеств Аь ..., А„е= У' значения п(А,), ..., п(А„) независимы. П. Для любого А е=-Я случайная величина п(А) имеет распределение Пуассона с параметром т(А). П!.

Реализации и(, ы) — целочисленные меры. Пуассоновскис меры служат математическими моделями многих случайных распределений точек в некотором множестве, встречающихся при изучении явлений реального мира, таких, как распределение звезд (галактик) в Я', распределение на оси времени моментов вызовов, приходяьцих на телефонную станцию, и т. п. В этих моделях в качестве п(А) берется число точек, попавших в то или иное подмножество'А ~ Х.

Установим существование пуассоновской меры. 23 Т е о р е м а. Если т — конечная мера на (Х, сс!), то существует пуассоновская мера л со средним т. До к а з а тел ь ст во. Рассмотрим последовательность независимых случайных величин из которых т — числовая, имеющая распределение Пуассона с параметром т(Х); а я!— принимающие значения в (Х, Хс'), с распределением т(.)/гн(Х). И..рассмотрим случайную меру л, сосредо.точенную по 1-.в точках $!, ..., $, (это можно записать в виде формулы: л= ~ 6;!). Докажем для этой 1=! случайной меры пп. 1, П (П! доказывать нечего — это очевидно по построению).

Для непересекающихся Ль ..., А, Р (- (Л ) =- ',, (Л») =- '.) =-- = ~, Р (т=й) . Р (л(А,)=сь ..., л (Л„)=-г„(т=я) = т (г)ч» -т(х! ° Р (из (г случайных величин !, попали в А,, ..., !„— в А„, й — !', —... — !'„— в Х '~(А, ()... () А„) от=к).

Пользуясь независимостью ~!, ..., $ь от я, зачеркиваем условие т = й. Вероятность длинного события задается формулой полиномиального распределения; получаем, что это выражение равно т(Х) е ( ) ГН Х гн ч!!...!»((ь — !, — ... — !»)! Х !!+ "'+!» ХГ ') ( л") Х Х ( т (Х) — т (Ад — ... — !» (А,) )» !! '"' !» т (Х) ! т (А!) ' т (А„) !»! х~ ч ( (х) — (л,) — ... — (л„))( (-о т(л ) 'е =П » ! Это — произведение вероятностей соответствующих значений в пуассоновском распределении, что доказывает одновременно и независимость, и пуассоновость случайных величин п(Л,). Для случая меры т, могущей принимать бесконечные зпа. чеиия, нужно условиться, что значит пуассоповское распределевие с параметром +со. Условимся говорить, что случавиая величина, принимающая зиачеиия иа расширенной числовой прямой, имеет распределение Пуассона с параметром +со, если опа с вероятностью 1 ранна +со.

3 а д а ч а 8. Докажите. что если т — о-копечвая мера, то существует пуассоиовская мера тс со средиич ш. Большую часть теории случайных процессов можно развивать на основе уже приведенных примеров, строя, исходя из нихц целые важные классы случайных процессов. Следующие несколько примеров строятся, исходя из пуассоновской случайной меры.

7. Пусть п--пуассоновская мера на (О, оо) (т. с. на борелевских подмножествах этой полупрямой) со средним а.гпез, где гпез — одномерная мера Лебега, а а ) Π— константа. Пуассоновский процесс с параметром а, начинающийся из точки О, определяется по мере и формулой с. = п(0, 1] (т.

е. $~ служит функ- циен распределения этои случайной меры). Запишем аксиомы пуассоновского процесса и таком же духе, как для винероиского: Лля 10 < г! « ' ' 1в приращения йь — йь, зов 3 зависимы. П. Случайная величина й~ — с, прн з < 1 имеет распределение Пуассона с параметром а(1 — 5). П1. Реализации 9~ — непрерывные справа функции. Реализации выглядят таким образом (рис. 4). Здесь ть тз, ...

— точки, в которых сосредоточена пуассоновская мера. 3 а д а ч а 9. Докажите, что пуассоиовский процесс возрастает только скачками величины 1. 8. Произведем независимое от пуассоновского процесса йт бросание монеты и определим новый случайный процесс т(т следующим образом: если монета 25 выпадет гербом, положим«и=( — 1) ~, а если решкой $ т1, =( — 1)1~+'. траектории процесса т1~ имеют следующий вид (на рис. 5 изображен случай, когда монета выпадает решкой). Рис. 5 3 а д а ч а 10.

Найдите иаиечнонернме распределения процесса Ч~ 9. Пусть ги — мера на правой полуплоскости (О, оо) Х Р'. Переменное-абсциссу будем интерпретировать как время и соответствующим образом обо. значать; ординату будем обозначать и. Пусть и— пуассоновская мера со средним пк Определим случайный процесс 1ь 1 = О, формулой ~ 1(з, и) п(ейнци). (а,пд Если мера и сосредоточена по единице в точках (ть сч), (тм ча), ...