А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов, страница 70

1. То, что данная формула задает предсказуемую случайную функцию, ясно. Нужно доказать, что гн — Ч~ — мартннгал, для чего достаточно пРовеРить, что М(з)гт, — нч ) У ) =- з1 +, — т1к 2. Любая неслучайная функция, имеющая неограниченную вариацию на конечном отрезке. 3. юз = 3ю г(з (+ сопз1) Локазательство можно провести, о пользуясь формулами М (1(юг) ) У,) = н(ю,), ф (х) = Е .

1а -ар/2 Π— Ю) (у) ду ЧУ2 (1 — з) .1 с' м() и з ~~ з=-~н,), м д(х) = ~ е '" "'( Ю з~('(у) Ау~ Ыи, 1. Ч(2п (и — з) а можно получить, применяя формулу Ито (см. 3 12.3). 1. Для функции ), принимающей конечное число значений, утверждение непосредственно следует из уравнения Чепмена— Колмогорова; лубую ограниченную измеримую функцию можно приблизить измеримыми функциями, принимающими конечное число значений, сколь угодно точно в смысле равномерной сходимости; далее пользуемся тем, что интеграл от равномерного предела равен пределу интегралов.

392 10.2 1. Пусть ) ~ы С„„. Для произвольного е ~ О выбираем б л О так, чтобы () (у) — ) (х) ( < е/2 при р (х, р) < б Имеем: ) Р9 (х) — ) (х) ) ( (~ ~ ))(р) — !'(х))Р(с,х,бр)+ ~ ))(р) — ((х](Р(бх цу) па !х! Первый интеграл не превосходит е/2, второй — 2З)за (1); при а достаточно малых 1 это также меньше в/2, а вся разность меньше е сразу для всех х. и 1 1.2 1. Пусть й(х) — дважды непрерывно дифференпируемая функция иа числовой прямой, равная 1 при х < О. О при х в 1 и лежащая между О и 1 всюду. Полагаем 1,(х) =!(х).Ь()х( — и).

Это — последовательность гладких финитных функций, для них ы Езж А)„(х) = Е)„(х), Доказывается, что !"„(х) )(х) Ц„(х) -ь Ц(х) равномерно по х. Пользуясь замкнутостью инфинитезимального оператора, получаем ) я 0ж А) щ Ц. СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ '- — следует -~- — общий знак для различных видов схацимости, в там числе слабой схадимасти мер (Р) — сходимасть по вероятности г — а) монотонно стремится снизу (в том числе и о неубывающей последовательности множеств); б) вид сходимости, введенный в % 5.3 4 — монотонно стремится сверху Черта над выражением означает: а) комплексно-сопряженное; б) замыкание ) — а) целая часть; б) просто скобки (!г, )) = ~ !г (г(к) ( (к) х +, — — употребляются, когда речь идет о пре елах справа, слева; например:) (1 — ) = 1нп 1(х) к -ь!— 1пп — общее обозначение для предела в различных смыслах !нп (Р) — предел па вероятности 1.!.гп — предел в среднем квадратическом глез — мера Лебега гв! — винеровский процесс (определение см.

в в 1.2) р(х, у) — расстояние между точками х и у в метрическом пространстве (г! — действительная прямая у+ = (О, аа) ды — и-мерное евклидова пространство Х> †пространст всех функций на множестве Т (произвольном) со значениями в Х; в частности, )гг = (й!)г — пространство всех вещественназначных функций Х! — множество всех целых чисел (положительных, отрицательных и О) Х+ = ( гы Х'. л > О) к 1 ) ~ е учзуу — функция Лапласа цlйп )гг г — и-мерное распределение значений случайной н функции в точках (г, ..., (, (см, 4 1.1) Рукописными буквами обозначаются различные системы множеств, чаще всего о-алгебры.

394 Я' — а-алгебра одномерных борелевских множеств Я" — и-алгебра и-мерных борелевскнх множеств Я» — о-алгебра борелевскнх подмножеств Х, т. е. наименьшая о-алгебра, содержащая все открытые подмножества метрического пространства Х Жг(Х) — наименьшая о-алгебра в пространстве Х функций на множестве Т, содержащая все цилиндрические множества (см. 5 5.1) Яг(Х) — частный случай этого обозначения, когда о-алгебра Ф вЂ” и-аагебра борелевских множеств Яг, Я" — частный случай этих обозначений, когда Х= Хг Полулеирным шрифтом обозначаются различные функциональные пространства, например: В(Х, Я), Вм Сф1 Нм 1Г.

Рубленым шрифтом обозначаются: Р— вероятность М вЂ” математическое ожидание 0 — дисперсия Р» » — вероятностная мера, соответствующая марковскому процессу из данного семейства, начинающемуся в момент з в точке х (см. % 8.1) Р» — вероятностная мера, соответствующая марковскому процессу из дднородного марковского семейства, начинающемуся в момент 0 в точке х (см. $8.4) Ме, ̄— соответствующне математические ожиданин СПИСОК ЛИТЕРАТУРЪ| Б ил ли н гс ли П. Сходимость вероятностных мер.— Мл Наука, 1977.

Гихмав И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. — Мс Наука, !965. Г не де н к а Б. В. Курс теории вероятностей.- — Мл Наука, 1988. Д у б Дж. Л. Вероятностные процессы. — Мл ИЛ, 1956 Д ы н к и н Е. Б. Основания теории марковских процессов.— Мс Физматгиз, 1959.

Д ы н к и н Е Б. Марковские процессы. — Мс Фнзматгиз, ! 963. И то К. Вероятностные процессы. Вып. 1. — Мл ИЛ, 1960. И то К. Вероятностные процессы. Вып. 2. — Мс Мир, 1963. И то К., Макки н Г. Диффузионные процессы и нх траектории. — Мл Мир, 1968. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 6 изд. — Мс Наука, !989. Л ил це р Р. Ш., Ш ир я ее А.

Н. Теория мартингалов— Мл Наука, !986. Ми р а н д а К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. — Мл ИЛ, 1957. Р о з а н о в Ю. А. Стационарные случайные процессы.— 2 изд. — М. Наука. 1990. Ф е л л е р В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2 т. — Мл Мир, 1984 — Т. !. — 528 сс Т. 2. — 752 с. Ф р и д м а н А. Уравнения с частными производными параболического типа.

— М: Мир, 1968. Х ал м о ш П. Теория меры. — Мл ИЛ, 1953. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Диффузия 264 Измеримость 152 прогрессивная 397 Бесконечномерные распределения 30, 108 — —, плотности 131 Бикомпевсатор 169 Броуновское движение 19, 187, 267 Вероятностный процесс 16 Выборочная функция 16 — 17 ... в широком смысле 29 Гильбертов кирпич 114 Задача Дирихле 328 — интерполяции 78 — Коши 259, 322 — линейного прогнозирования 80, 98 — фильтрации 77 — экстраполнции !прогнозирования) 77 Задачи наилучшей оценки 74 Закон повторного логарифма для винеровского процесса !76, 341 Законы больших чисел для стационарных процессов 87 — нуля нли единицы 31, 67, 238 Измеримость случайной функции 33 Инвариантная мера 229 Инфинитезимальный оператор 240 Кнадратичный 170 Компенсатор случайной функции 167 Корреляционная теория случайных функций 29 — функция 28 — — взаимная 28 — — совместная 28 — — стационарного процесса 36 Марковский момент 32, 147 — процесс 38, 185 Марковское свойство 185 †1, 219 — семейство 189, 197 — — однородное 213 Мартиигал 161 Мартингалы и супермартингалы, существование пределов 178 Мера с независимыми, некоррелированными значениями см.

Случайная мера Микротеорема 6 Моиент достижения множества !49 р-система 191 Неатрицательно определенные функции 28, 89 Непрерывность в среднем 41 Неравенство Колмогорова 174 Неубывающее семейство и-алгебр 147 Оператор замкнутый 250 — локальный 253 Операторы, связанные с марковским семейством 203 — сдвига 68, 226 Переходная плотность 184 — функция !83 — — однородная 213 Полугруппа операторов 214 Предсказуемость 152 Принцип максимума 245 Пространства случайных величин, линейно порожденные случайной функцией 64 — — —, порожденные случайной функцией 63 Процесс винеровский 18 — — многомерный 21 — —, непрерывность реа.чиза.

ций !8, 126 — — остановленный 224 — —, предел суммы квадратов приращений 19 — — с отражением 187 — —, существование 119 — Коши 22 — Маркова см. Марковский процесс — пуассоновскнй 25 — с независимыми приращениями 34 — с некоррелированными (ортогональными) приращениями 34, 59 — со стационарными приращениями 37 — стационарный 35 — — в широком смысле 36 — — марковский 229 Равномерная нитегрнруемость 1! — непрерывность в среднем 42 — стохастическая непрерывность 41, 234 398 Распределения конечномерные 17, 108 Реализация 16 Регулярная точка границы 336 Регулярность линейная случайного процесса 80 — случайного процесса 78 Резольвента полугруппы 247 Сепарабельность случайвого процесса 129 Сильная непрерывность полу- группы 244 Сингулярная точка границы 336 Сингулярность линейная случайного процесса 80 — случайного процесса 78 Случайная мера 51 — — пуассоиовская 23 — — с независимыми значениими 52 — — с некоррелнрованными значекиями 52 — последовательность 16 — функция 16 — — гауссовская 34 — †,согласованная с семейством о.-алгебр 153 Случайное ноле, нзотропиое векторное со стационарными приращениями 37 — — однородное (стационарное) 37 — — — изотропное 37 Случайный процесс 16 Согласованности условия 111 Спектральная мера 89 — плотность 89 Спектральное представление90 Стационарное распределение марковского семейства 230 Стохастическая матрица 184 — непрерывность 41 — эививалентность 17 Стохастический дифференциал 295 — интеграл 55, 277 — процесс 16 Стохастическое уравнение 306 Строго марковское свойство 221, 236 Субмартнигал !61 Супермартингал 161 Траектория 17 о-алгебры, порожденные случайной функцией 63 о-алгебры «хвостов» 66 Уравнения Чепмена — Колмогорова 183 Уравнения Колмогорова 272— 276 Феллеровские марковские семейства 208 Формула Иго (замены переменных в стохастическом интеграле) 296 †3 Фундаментальное решение уравнения параболического типа 275 цепь Маркова 186 Цилиндрические мкожества 108 Эмпирическая функция распре.

деления 22 .