А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов, страница 8

оо, называется процессом с некоррелированными приращениями, если его приращения на неперекрываюшихся отрез- 34 ках некоррелированы, т. е. для (а ( сс ~ (г ~ сз имеем соч (Ь, — $са Ь. — ~с,) = О. Достаточно потребовать только некоррелированности йс, — йс„яс, — зс, для любых сь ( (с (~ (г. Действительно, в этом случае соч (Бс, — Ь„Ес. — зс,) =соч (зс» — йс», йс, — йс,)— — соч(ьгс, — Вса зс,— зс,)=О.

Если математические ожидания всех рассматриваемых случайных величин равны нулю, то некоррелированность совпадает с орсаьоиальиасгью относительно скалярного произведения (ь, П) = Мйп, так что в этом случае говорят о процессах с артогональными приращениями. Это — кривые в гильбертовом пространстве, обладасощие таким свойством: части кривой, отвечасощие значениям параметра, меньшим или равным какого-то С, и большим илн равным С, лежат в ортоганальных друг другу линевных»тогаабразиях.

В конечномерных пространствах таких кривых (непрерывных] нет. Если йс — процесс с независимыми приращениями, М) "с(г <, то он также является и процессом с некоррелированными приращениями; если йс — гауссовский процесс с некоррелнрованиыми приращениями, то зто также и процесс с независимыми приращениями. Такое соотношение между понятиями «в узком смысле» и «в широком смысле» типично; см. далее.

3. Стационарные процессы. сЧы говорим, что случайный процесс «с, ( я Т ы яс, является стпционарныж, если для любого действительного й его конечно- мерные распределения не меняются при сдвиге на йс Рс, ", с„=Руста, ", с„+а, если только („..., гю (с+ й, ..., („+й ни Т. В той мере, в какой теория случайных процессов отражает какие-то явления реального мира, понятие стацнонарности случайного процесса отражает идею неизменности условий, в косорых протекает процесс.

Математическими моделями многих практически важных процессов, содержащих в себе элементы неопределенности, с разумной степенью приближения могут служить стационарные процессы. Так, это понятие может быть полезным, если речь идет о колебаниях движущегося с постоянной скоростью экипажа (но ие того же экипажа при торможенви) или о последовательности знаков (букв) какого-либо текста. Конечно, понятие стаппепарного процесса важно и с чисто математической тачка зрения. 35 В качестве множества Т значений временного параметра чаще всего рассматривают Й' или 1с+ —— = (б, оо), или множество х' всех целых чисел, или ль = (О, 1, 2, ...), илн натуральный ряд (1, 2, ...) (в последних трех случаях говорят о стационарных последовательностях) .

Из примеров, рассмотренных в ~ 1.2, стационарными являются процессы примеров 1, 8. 3'. Числовой случайный процесс $г называется стационарным и гиироком смысле, если у него существуют первые и вторые моменты и они не меняются при сдвиге: М~г„а=Мх„, К(1+ й, а+ й)=К(К .т). (2) Легко видеть, что условия (2) равносильны тому, что Мйг ие зависит от 1, а корреляционная функция зависит только от разности 1 — зт МагаЂ = т, К(К з)=К(1 — з). Здесь вторая функция, которая также обозначена буквой К, называется корреляционной функцией стационарного процесса: К (т) = соч (йа „, й,). В корреляционной функции стационарного процесса аргумент т имеет смысл разности двух моментов времени.

Еспи стационарный процесс имеет два первых момента, то он, как легко понять, будет стационарным и в широком смысле; для гауссовских процессов оба понятия совпадают. Стационарные процессы мы будем иногда называть стационарными процессами в узком смысле (если нужно будет подчеркнуть их отличие от стационарных в широком смысле).

3 ад а ч а х. Пусть юь г' ) О, — винеровскнй процесс, выходЯщнй иэ нУлЯ. Положим йг — — е ю ж, — со ( Г < со Докажите, что $~ — стационарный процесс; найдите его корреляционную функцию. Стационарные процессы в широком смысле допускают интересную интерпретацию в терминах геометрии гильбертова пространства: это почти то же самое, что винтовые липин в гильбертовом пространстве интегрируемых в квадрате случайных величин. Винтовая линия — это такая линия, которую можно двигать саму по себе, совмещая любую точку с любой; для этого необходимо и достаточно, чтобы при опрелеленном выборе параметра на кривой скалярные произведения (йг, — ьгг вг, — вг,) НЕ МЕаЯЛнСь прн любоы сдвиге йь (», Гг, Г«. Для стационарных процессов это, конечно, выполнена, так что все стационарные процессы а шираком смысле — винтовые линии, но не все винтовыс линии в гильбертовом пространстве †стационарн в широком смысле процессы.

Легко проверить, что стационарные в широком смысле процессы — это те и только те винтовые линии в гнльбертовом пространстве, которые лежат на поверхности сферы вида (х: (х, х) = а' + га', (х, 1) = т). 3". Обобщения стационарных процессов. Однородное (илн стационарное) случайное иоле — случайная функция на множестве Т = )с", удовлетворяющая условию (!) для произвольного вектора )ь Однородное изогролног поле †-зто таное, для которого конечномерные распределения не меняются не только при сдвиге, но н пря вращении вокруг любой точки.

Вообще можно рассматриват~ случайные функции, конечномерные распределения которых инвариантны относительно той нлн иной группы преобразований множества Т. Более Сложно понятие однородного изагропного не«тарного поля: это — случайная функция $(1) на Т = Т(" со значенияыи в (1«, л)"), удовлетворяющая условию (1) и такая, что для любого нращсния йг ствместное распределение л — Я(юг), ..., ц-'$(гц„) совпадает с совместным распределением $(1,), ... ..., $((,). Разумеется, можно рассматривать однородные изогропные тгнзорные ноля (постарайтесь дать определение, если вы знакомы с тензорамн) и дальнейшие обобщения в этом направлении. Случайный процесс $~ называется процессом со стационарны.чи лрираи1гнилми, если у него не меняются при сдвиге Гю, (ь ., („на Ь совместные распределения приращений « о' ь — ь, .... ег — я .

Процессами со стационарными прира. гг га л гг шениями являются, конечно, все стационарные процессы, процессы в примерах 2 — 4, 7 Э 1.2 (но не все пропессы с ий'«виси- мыми приращениями) и, например, такой процесс: В =Асов(т)1+ ф) + от+ р, где ф не зависит от (А, ть а, ()) и имеет равномерное распределение на (О, 2п). Можно дать определение ауоцегга со стационарными приращениями второго порядка, под которое подойдет, в частности, тат же процесс с добавкой случайной параболы н т.

д. Понятие стапионарности приращений, как в понятие стационарности, отражает представление о неизменности условий протекания процесса, но по-друголгу. Процессы (и поля) со стлционарными приращениями, не являющееся стационарными, возни. кают при построении математической модели таких физических явлений, как, например, турбулентность. Так, хорошей моделью поля скоростей турбулентного потока оказывается изотролное векторное случайное ЛОЛЕ со стационарными приращениями. Ясно, каковы соответствующие понятия «в широком смысле». В частности, процессы со стационарными в широком смысле приращениями — это в точности винтовые линии в гильбертовом пространстве.

4. Другой чрезвычайно важный (и с точки зрения теории, и для возможных приложений) класс случайных процессов — класс марковских процессов, Это — такие процессы, в которых будущее зависит от прошлого только через настоящее. Эту общую идею можно превратить в точное математическое определение, причем даже не одним способом. Определения будут даны в гл. 8. Мы униднм, что процессы примеров 2, 3, 4, 7.

9 $1.2 епроцессы с независимыми прнрашениями) окажутся марковскими процессами; также примеры 5, 8, во не 1. У классов стационарных и марковских процессов есть довольно широкое и интересное пересечение; об этом слп 5 аб. Глава 2 ЭЛЕМЕНТЫ СЛУЧАЙНОГО АНАЛИЗА 9 2.1. Сходимости, непрерывности, производные, интегралы 1. Для случайных неличин, как уже говорилось, рассматривают не один какой-то вид сходимости, а много различных видов.

В соответствии с этим мы рассматриваем различные виды непрерывности, производной и т. п. Однако сначала мы дадим некоторые критерии сходимости в терминах коиечномерных распределений. Микротеорема 1. Пусть М~$~)'(оо при всех!. Для того чтобы существовал 1Л,т. $~ при ! — +. -+-!а (или при 1-а- оо), необходимо и достаточно, чтоб!ч существовал конечный предел М~~Д, при 1, в — ~!а !или А в- оо). Заметим, что это условие можно заменить на условис существования конечных пределов Мчс при 1-ч- !я и корреляционной функции К11, з) при С з — ~- !а. Д о к а з а тел ь с т в о. Необходимость — тривиальное следствие непрерывности скалярного произведения по паре аргументов.

При этом !пн М9Д,= = М )1д,ш. ~,) !соответственно !пп М$, = М1.1.гп. 4а т.+а 1-> а ~ -+ и а 1!т К!1, в) — дисперсия этой случайной величины). и а-+а Для доказательства достаточности проверим выполнение условия Коши: 1пп М ! 9, — З, !а= 5.+ ! Р4! Бг ! Мэсч — Мч,чт+ М)ь, !'!=б. ь 5-+8 Задача 1. Докажите, что ряд ~ й„иа какоррелкроааакых и ! 39 случайных величин сходится в среднем квадратическом тогда и только тогда, когда сходятся ряды ~ Мйь, ~~' 0$„.

л=! ь=! М и к р о т е о р е м а 2. Для того чтобы сугцество- вал предел чг в смысле сходилгости по вероятности при г' — го (или при (- со), необходимо и достаточ- но, чтобьг суи(ествовал предел при й в — (е (или при (, в -ь- со) двулгерных распределений иь, в смьнле (г' 45 слабой сходимости, Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть ~гч ич $, — т)((- ге); тогда случайный вектор Яг, $,) — (г), т)) при й х — ь-(е.

Но из сходимости по вероятности вы- текает слабая сходимость распределений, значит, р„, — ьи„„. Достаточность. Заметим, что если г, ь — +-(е, то з может совпадать с й Так как распределение (Оь Ог) сосредоточено на биссектрисе первого и третьего ко- ординатных углов, то и предельное распределение сосредоточено на этом множестве (доказать!), Рас- смотрим неотрицательную непрерывную функцию действительного аргумента )е, равную 1 вне е-окрест- ности нуля и О в нуле.

Имеем (по неравенству Че- бышева) Р ( ! сг зз ~ ~~ и) ~ ~))ггГ е (Сг Зз) = ~ ~ !',(х — у))ь ., (г(хггу). я-' Но ),(х — у) — непрерывная функция двух перемен- ных, причем ограниченная; поэтому при г, в-ь(о ин- теграл справа стремится к ~ ~ ),(х — у)р(г(хс(у), где д' р — предельное двумерное распределение. Так как оно было сосредоточено на множестве (х = у), то интег- рал равен нулю, и выполняется условие фундамен- тальности по вероятности.

3 а д а ч а 2. Пусть йь ..., $„, ...— независимые случайные величины, имеющие одинаковое распределение с Маг = О, ь)ь» = оз ) О. Известно, что существует предельное распределе- ние для ь„ = (ьг + ... + ь„))'(о Зlп) (стандартиое нормальное распределение). Существует ли Пго (Р) йн? ЯО 3 ад ач а 3. Докажите, что если $~ — стационарный процесс, то 1нп (Р) и не существует, за исключением случая, когда про(-+« цесс р эквивалентен постоянному по 1: Р(5( й() =1. 2.