А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов, страница 10

Как опрев делить ~ йгс((? Если случайный процесс непрерывен а в смысле выбранного вида сходимости, интеграл естественно определить как предел интегральных сумм л- ! Х й, Рг„— (,.) при измельчении разбиения а = (е ( (! ( ... ( (, ! «. 1„= Ь в смысле соответствующей сходимости, где з; — произвольная (не случайная!) точка между (г и ( ы. Оказывается, как и в случае дифференцирования, здесь все хорошо в случае сходимости в среднем (р = !) и плохо для сходимости по вероятности, что показывают следующие две задачи. 3 а д а ч а 16.

Докажите, что если процесс йг нее пРеРывен в сРеднем на (а, Ь), то сУществУет ~ $гЖ а в смысле сходимости в среднем. 3 ада ч а 17. Пусть Т = !О, 1), т — случайная величина, равномерно распределенная на этом отрезке; К!=0 при ((и и $г=1/(( — т) при (> и. Докажите, что этот процесс стохастически непрерывен на ! отрезке 10. 1], а ~ в!г(1 в смысле сходимости по вео роятности не существует. При решении задачи 16 можно повторять доказательство интегрируемости числовой функции, используя равномерную непрерывность (см.

задачу 6); только нужно выбрать доказательстно, не использующее верхних и нижних сумм, а состоящее в непосредственной проверке выполнения условия фундаментальности. Соответствующая микротеорема справедлива в любом банаховом пространстве, Разумеется, можно определять несобственные интегралы в среднем как пределы соответствующих интегралов по меньшим отрезкам; теория здесь совершенно аналогична той части теории римановых интегралов, которая не использует понятий, связанных с неравенствами между числами (а только между абсолютными величинами, чему в банаховом пространстве соответствуют нормы). Например, если функция ~~ непрерывна в р-среднем на интервале (О, оо) и (М) Е,)') ~п ( оо, то существует несобственный ино тсграл ~ й, Ш в смысле сходимости в среднем в сте- 0 пенн р. Выполнены такмсе теоремы о дифференцировании интеграла от непрерывной функции по верхнему преь делу или о дифференцировании интеграла ~Г(1, з)$,с(з и по 1 и т.

п.; имеет место формула Ньютона — Лейбница. Пользуясь этим, мы можем получить новые примеры дифференцнруемых в среднем случайных функций; например, если $~ — пуассоновский процесс, то с для ~, = ~ 5,дз имеем й,'=Ц. о Определение интеграла в среднем никак не связано со свойствами реализаций случайной фунйции: реализации интегрируемой в среднем случайной функции могут быть неинтегрируемы, Если все (или почти все) реализации интегрируемы, то все равно мы должны различать, с одной стороны, интеграл в среднем— ь обозначим его (а.л) ~ йг Ш вЂ” случайную величину, определяемую а как предел в среднем интегральных сумм, с другой стороны, функцию, ставящую в соответствие элементарному событию ю ь значение интеграла вдоль траектории ~ вг(ы)б! (мы не можем, л вообще говоря, утверждать, что это случайная величина).

Будет ь ь ли (Х л) ~ $! М с веРоЯтностью 1 совпадать с интегРалом ~ Вг б(, а Р вычисленным отдельно вдоль каждой реализации) Если все реализации интегрируемы по Риману, ответ на этот вопрос положителен. действительно, йюинтеграл является пределом интегральных сумм в среднем, а стало быть, и по вероятности; с другой стороны, интеграл вдоль каждой реализации— предел тех же самых сумм, причем зто выполнено для любого элементарного события. Из сходимости всюду также вытекает сходнмость по вероятности, и совпадение почти наверное обоих интеграл в следует из единственности предела 'по вероятности (точнее, почти.единственности). В случае интегрируемости по Рнману интеграл, вычисленный вдоль каждой реализации, оказывается случайной величиной (т.е.

измеримой функцией от ы) как предел последовательности интегральных сумм. В частности, рассмотренный выше интеграл от пуассонов- ского процесса можно понимать как интеграл вдоль каждой реализации. Заметим, что траектории процесса й не дифференцируемы, а лишь кусочно диффереицируемы, хотя й дифференцнруемо в среднем в любой степени.

Если реализации р не интегрируемы по Риману, они все же могут быть интегрируемы по Лебегу, и перед нами стоит вопрос о совпадении римаиовского интеграла в среднем с лебеговским интегралом вдоль каждой реализации. 3 ад а ч а 18. пусть случайная функция $ь г ~ [а, ь), измерима и непрерывна в среднем н степени р ) 1. Тогда почти на- верное где слева стоит интеграл в среднем, а справа — интеграл,'определенный отдельно для каждой реализации. В гл. 2„4 рассматриваются только интегралы в среднем, в последующих главах — интегралы вдоль каждой реализации. В силу задачи 18 для измеримых случайных функций это ие приведет ни к каким недоразумениям. Зная все конечномерные распределения случайного процесса ь вь мы можем в принципе найти распределение ~ КгЛ или сова местное распределение этой случайной величины с величинами г ТОГО жв РОДа, ЗпаЧЕНИЯМИ Кп Эг И т.

Пх НО НИЧЕГО таКОГО жв простого, как с произнодными, здесь нет. Нахождение распределения интеграла от случайной функции сводится к нахождению предельного распределения сумм возрастающего числа случайных величин т, - Л«г, причем нн о какой независимости илв ослаблении зависимости между ними нет и речи. Находить такие распределения иногда удается обходными путями (см. для марковских процессов б !0.3, и. 4).

ь В отличие от задачи нахождения распределений интегралов от случайных функций, задача нахождения их первых и вторых моментов достаточно проста. й1 и к р о т е о р е м а 3. Пусть $(«) — непрерывная в среднем квадратическом случайная функция, М ! й («) !' ( оо. Тогда ь ь М ~ Ц«) д« == ~ М~ («) д«, а а ь ь сот (~ ~ («) г««, ~ (з) ~ = ~ К, («, з) с««, (3) а l а ь л ь и сот(1Б(«)г««, ~ Б(з)г«з1= — ~ ~ К («, з)с««г«з. (4) Ча с сс а с (2) (5) До каза тел ь ство. Прежде всего, если равенство (2) доказано, формулы (3), (4) равносильны таким: ь ь М ~ Ь(«)г««Ь(з)= ~ МЬ(«Д(з)с««, а а ь л ь л М ~ 5(«)г«« ~ ес(з) с«з= — ~ ~ МЬ(«)В(з)г««г«з. (6) а с а с Формулы (2), (5) легко получаем из непрерывности скалярного произведения по первому аргументу; например, (2): ь М ~ ~(«) с««= М1.

г. гп. ~~' в (зг) . («;,, — «;) = а =(!.!.гп. ~'~(з,) («г„— «г), 1) = =!пп (~~ $(зг) ° («,с,— «;), 1) = =!пп ~ Мв (з;) («; ы — «г) = ~ М$ («) г««. а Формула (6) получается применением того же прйема к (5), с использованием непрерывности скалярного произведения по второму аргументу.

Формулы (2) — (6) остаются справедлнвы и для несобственных интегралов; доказательство состоит в том же использовании непрерывности скалярного произведения в применении к предельному переходу от собственных интегралов к несобственным. Совершенно так же доказывается формула ь 1(1н1(асс (с()с( м )— ха с ь л = ~ ~ 1(1) у(з) К,„(1, з) д1 дз. (У) а с Пусть теперь Л вЂ” линейный интегральный оператор: ь А1 (Г) = ~ А (1, з) 1 (з) дз.

(8) Рассмотрим соответствующий интегральный оператор, применяемый к случайным функциям: А~(1)= ~ А(1, з)~(з)дз, а МА~ (1) = АМ5 (1), Клх ль(1, з)=А,А,КЬЬ(1, в). (9) (10) 49 где интеграл понимается в среднеквадратическом смысле. Из формул (2), (7) вытекает следующее правило преобразования среднего н корреляционной функции при интегральном преобразовании случайной функции: Математическое ожидание Ась(1) получается применением оператора Л к фуньи1ии Мь( ° ), а корреляционная функция — применением к корреляционной функции КЬЬ(ч -) оператора А как к функции от 1 при фиксированном в и оператора А, комплексно-сопряженного к А, по з при фиксированном 1; Здесь индексы у А н Х означают переменные, по которым применяется оператор.

Комплексно'-сопряженный оператор определяется формулой А) (() = ~ А (К з) ) (з) с(з. а Если применить оператор А к Кйй(У, з) лишь по первому аргументу, получается взаимная корреляционная функция случайных функций Ай( ) и и( ): Кл ((, з) = АгКм ((, з); (! 1) это вытекает из формулы (3). То же самое правило было получено нами и для дифференцирования; легко получить, что оно годится и для линейных операторов, содержащих любые комбинации производныхи интегралов, например: Ай(() = г =ц(а(())+Ь(()9'(()+с(()йл((()+ ~ В((, з)Г(з) с(з. 6. 3 а д а ч а ) 9.

Найдите совместное распределение пь и 1 °- ю, оз, Г ~~ 0 (юг — винеровский процесс). о 3 ад а ч а 20. Пусть юь Г ) О, — винеровский процесс. Докажите, что Сг = ~ (е ' — 2ет' ')) ю, г(з существует как ин! теграл в среднем квадратическолч и найдите математическое ожидание и корреляционную функцию процесса зь Г ~ >О. 3 а д а ч а 2!. Пусть $, — стационарный процесс с Мз = 0 ц г з корреляционной функцией К(т).

Выразите М ~ е ~~йг о) через о К(т). Установите характер предельного поведения этого математического ожидания при Т-ч-оо для случая абсолютно интегрируемой от — со до +оз функции К(т). 3 ад а ч а 22». Докажитц что винеровский пропесс ю~ представляется прн 0 ( Г ( и/2 рядом Фурье ю = ~~ Х з)п((2л— г з н й! — )) Г), где Х,— независимые случайные величины. Найдите МХ„, ()Х„. ' 7. У читателя может возникнуть вопрос; справедливо ливра. вило, сформулированное в п. 5, для линейных операторов, не представляющихся в виде комбинации дифференцирований, умно- жений ва функции и интегральных операторов? Оставим этот вопрос без ответа, укажем только, что на него и нельзя ответить прежде, чем будет уточнена его формулировка.

Дело в том, что ь г( — или ~ А((, з) й(т) г(з — не просто применение к случаеиг а ной функции оператора дифференцирования нли оператора, задаваемого формулой (а). Здесь существенным элементом валяется перенесение определения дифференцирования (интегрирования) на случайные функции, с заменой входящих в определения пределов пределами в среднем квадратическом. Поэтому здесь возникает много предварительных вопросов, которые нужно разрешить или обойтв как для линейного оператора построить его аналог «в среднем квадратическом», который можно будет применять к интегрируемым в квадрате случайным функциям? длк каких операторов зто можно сделать? и т.

и. 5 2.2. Стохастические интегралы от неслучайных функций В связи с интересом теории вероятностей к зависимости и независимости естественно стремление представить случайные величины в виде суммы независимых, в крайнем случае некоррелированных слагаемых. Если речь идет о «сумме бесконечного числа бесконечно малых слагаемых», говорят об интегрировании. Это — идея, лежащая в основе различных понятий стохастического интеграла. Разумеется, только что сказанное — вовсе не математическое определение, а что-то смутное, чему можно придавать строгую математическую форму, и даже не одним способом. Сейчас мы введем одно понятие стохастического интеграла, относящееся к случаю, когда интегрируется неслучайная функция.

В 2 12.1 мы вернемся к стохастическим интегралам опять и посмотрим, как можно интегрировать случайные функции (далеко не все!). В отношении класса функций, которые можно интегрировать, теория расширится, зато в каком-то другом отношении ее придется сузить. 1. Начнем с понятия случайной (или стохастической) меры. Пусть Х вЂ” произвольное множество; лб — полукольцо его подмножеств (по-видимому, нет смысла рассматривать меры на системах множеств, у которых меньше хороших свойств, чем у полукольца). '-)исловая случайная функция й(А) = $(А, ш), А ян ~ .~Ф, называется Ез-случайной мерой (префикс дамы будем часто для краткости опускать), если 1) случайные величины $(Л) интегрируемы в квадрате; 2) для любых непересекающихся множеств Ль Лы ..., Л„, ...