А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов, страница 9

Теперь займемся понятиями непрерывности. О непрерывности в смысле сходимости почти всюду, так же, как далее в атом параграфе о дифференцировании и интегрированци в смысле сходимости почти всюду, мы не будем здесь говорит(и зто связано со свойствами реализаций с вероятностью 1, которые будут рассматриваться в гл. 5.

Непрерывность в смысле сходимости по вероятности называется сгохвстической непрерывностью; это самый слабый из рассматриваемых видов непрерывности. Случайная функция ь(, 1 ~ Т, называется стоха- (Р( сгически непрерывной в точке 1о е= Т, если при 1 — и1е. Стохастическая непрерывность случайной функции, как легко понять, относится к свойствам, однозначно определяемым ее двумерными распределениями; конкретные примеры процессов, которые мы приводили, являются стохастически непрерывными (если имеет смысл об этом говорить), несмотря на то, что их реализации могут быть разрывными,— например, пуассоновский процесс.

Это происходит потому, что разрывы на каждой реализации находятся в своих точках, и вероятность того, что разрыв будет именно в данной точке 1, равна О. Следующая задача делает понятным то, что, рассматривая прецессы с ~(сзавигиыычи приращениями, мы не рассматриваем процессов с независимыми значениями. 3 а д а ч а 4. пусть аь ( ен [О, 1), — случайный процесс такой, что все й~ независимы друг от друга и имеют одинаковую плотность распределения р. Докажите, что этот процесс не стохастнчески непрерывен ни в какой точке.

Ясно, как определяется непрерывность в среднем. Предлагается доказать следующие микротеоремы (данные в виде задач), из которых первые обобщают известные свойства непрерывных функций, а последние две дают критерии непрерывности в терминах двумерных распределений. 3 а д а ч а 5, Если случайная функция й( стохастически непрерывна на компактном множестве А ~ Т, то она равномерно стохастически непрерывно на этом множестве, т. е. для любого е ~ О и любого т) ) О существует 6 ) О такое, что Р (~~г — 5,|~)а) < Ч для г, з~ А, р(г, г) (6. 3 а д а ч а 6. Если случайная функция ~, непрерывна в среднем в степени р ) 1 на компактном А, то она равномерно непрерывна в среднем в степени р на этом множестве.

(Мы не даем определения равномерной непрерывности случайной функции в среднем, но указываем только, что эта равномерная непрерывность определяется, как для любой функции, принимающей значения в нормированном пространстве.) 3 а д а ч а ?. Если случайная функция ~~ непрерывна в среднем в степени р ) 1 на компакте А, то существует константа С со такая, что М~$,|г(С при 1еи А. Задача 8. Для того чтобы случайная функция ~~ была стохастически непрерывна на множестве Т, необходимо и достаточно, чтобы распределение р ч 1ы было слабо непрерывно по паре (г,з) на множестве ТХТ. 3 а д а ч а 9. Для того чтобы случайная функция ~~ была непрерывна в среднем квадратическом на множестве Т, необходимо и достаточно, чтобы была непрерывна по (г, з) на Т К Т функция М$Д„нли же чтобы М$~ было непрерывно по 1, а корреляционная функция К(1, з) — по паре своих аргументов.

Микротеоремы задач 6, 7 сохраняются для функций в произвольном банаховом, а задачи 9 — в произвольном евклидовом пространстве; доказательство можно провести точно так жс, как для числовых функций. 3. Ясно, что производная случайного процесса определяется как предел (5ил — ~~)/й прн Ь вЂ” ~- О в смысле соответствующей сходимостн. Естественно, из дифференцируемости в среднем (по вероятности) вытекает соответствующая непрерывность. Условия дифференцирусмости по вероятности и в среднем квадратическом нам дают микротеоремы и.

1; так как при применении этих микротеорем должна идти речь о совместных распределениях ($„ь — 5~)//г и ($,, „. — $,)//г', то днфференцируемость по вероятности — свойство, определяемое конечномерными распределениями процесса не выше чем третьего порядка (дифференцируемость в среднем квадратическом, как и все свойства, относящиеся к корреляционной теории, определяется распределениями не выше чем второго порядка). Рассмотрим примеры дифференцирования в различных смыслах. Винеровский процесс пе дифференцируем даже в смысле сходимости по вероятности. Действительно, будь он дифференцируем в какой-то точке й существовал бы слабый предел распределения (в~+а — ш~)/Ь при Ь вЂ” ~0, а это — нормальное распределение со средним 0 и дисперсией )Ь)-' -~ с~, и оно при Ь -«-0 уходит на † и оо, Процесс примера 1 З 1.2 дифференцируем по вероятности (это само собой разумеется, раз он обладает дифферснцируемыми траекториями), а также в среднем в степени р, если М (А.

з1)~ < оэ. Пуассоновский процесс дифференцируем по вероятности, но нс дифференцируем в смысле сходимости в среднем пи в какой степени р ~ 1. Действительно, легко видеть, что !пп (Р)Яь,а — ~,)/6=0, ибо с вез-+О роятностью ! эта дробь равна 0 при всех достаточно малых Ь. Значит, предел в среднем, если он существует, тоже должен быть нулевым почти наверное. Но математическое ожидание р-й степени модуля отношения приращений не меньше 1Ь~ Р 6с~а ч~ Вг) а1/г1' ' 0 при Ь- О.

Этот пример показывает, что нет большого смысла строить наш «случайный анализ», основываясь на понятии дифференцирования по вероятности: ведь для того, чтобы можно было развивать сколько-нибудь далеко идущие теории, нужно, чтобы функция однозначно с точностью до константы определялась своей производной (это нужно, в частности, для вывода формулы Ньютона — Лейбница), а этой однозначности здесь нет. Напротив, для сходимости в среднем такая однозначность имеет место: 3 а д а ч а 10. Пусть /~ — функция на числовой прямой или какой-либо ее части, принимающая значения в банаховом пространстве.

Если для всех / ~ ~ (а, Ь) существует производная этой функции = 1пп (/, „— /,)/Ь в мысле сходимости по норме л-э о в этом пространстве и /,'=0 на отрезке (а, Ь), то /, = — /, при (ев (а, Ь). Посмотрим на дифференцирование случайных процессов с точки зрения корреляционной теории. 3 ад а ч а 11. Докажите следую1цую микротеорему: для того чтобы случайный процесс 5г был непрерывно дифференцируем в среднем квадратическом на интервале (а, Ь), необходимо и достаточно, чтобы функция М5гйз обладала на множестве (а, Ь) Х (а, Ь) непрерывной смешанной производной второго порядка по / и з (или чтобы Мйг было непрерывно дифференцируемо по / и существовала непрерывная смешанная производная дхК((, л)/д/дз от корреляционной функции). Из доказательства автоматичсски получается, что дхК((, з)/д( дз — корреляционная функция процесса $;.

Более того, легко находится совместная корреляционная функция процесса и его производной: ( ,',',.,",;.'. )-( "„' „". ) Кйй(Г, з) Кх,(Г, з) ~ (' К,1(Г, з) дк11(Г, з)/аэ К ° (Г, з) К °,(б з) / ) дК „(й з)/д1 дхК (й з)/дГ дз ) ' Аналогично можно выписать совместную корреляционную функцию процесса и его производных до второго порядка, если й," существует, и т. д, 3 ад а ч а 12.

Пусть $~ — стационарный (в широком смысле) процесс с корреляционной функцией К(г) = (1+ ) т (+тх/3) е' (т1, Сколько раз он днфференцируем в среднем кэадратнческомт 3 а д а ч а 13. Пусть вь — со ( /.С оз, — случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функ.

цией К(й з) = е". Установите, что он бесконечно дифференцируем в среднем квадратическом, и найдитс матрицу ковариаций г д случайных величин 2 н 5 н в н $с, вс г Что касается конечномерных распределений $о то найти совместное распределение $~, ..., сг можно, зная совместные 1 в распределения Хг, $г „ь, ..., Вг, $г +ь при малых йн ..., й, д з пз ч н ''' в' т.е. 2п.мерные распределения самого процесса. При этом можно г найти также совмествое распределение ьг, ~~ ьг ° ° . Хг как слабый предел распределений (Вг, (Вгг+и~ Вгг)/"г (= 1,..., и).

Точно так же можно найти совмествые распределения м значений $о вн $~ в и точках, но только здесь не обойтись 2п-мерными распределениями процесса $~ (вопрос к читателю: достаточно ли Зп-мерных распределений?). Итак, все такие задачи разрешимы, иа могут быть довольно громоздки. Задача 14*. Пусть двумерные распределения иы случайного процесса йь О ( 1 ( 1, задаются при з чь 1 плот- вестью р,(х, у) = (и)! — х)) г/(у ! — х'Ъ~! — у'), если )х), ) у) < ! ° ) агсв!п х + агснп у ~ > и — ) ! — х )' (йп ! ! а ! ) '/(П/1 — х'~/! — ух), если ! х !, ) у( < 1 ) агса!и х+ агсмп у 1«л — ! г — а !.

(агсмп х — агсмп у ) ( ! ! — х 1: О в остальных случаях. Докажите, что этот процесс диффереицируем в среднем квадратическом Найдите распределение $г. 3 ад а ч а 15. Пусть $г — гауссовский стационарный процесс с корреляционной функцией К(т) = 1/(! + т'), Мв = О; он дифференцируем в среднем квадратическом. Найдите совместное рас. пределеиие 4. Теперь обратимся к интегрированию.