А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов, страница 6

(точки занумерованы в порядке возрастания первой координаты), то процесс ч~ начинается в точке $о = О, в точке т1 делает скачок величины 1(ть сч), в точке та — величины 1(та, и,) и т. д.; а между скачками процесс остается постоянным. Это — обобщение пуассоновского процесса. 3 ад ач а ! 1. Докажите, что $ь — ~п, би — ~О, ... ..., 5~ — 5~, независимы при 1о < 1~ < ... < Найдите характеристическую функцию приращения КС вЂ” $а. 10. Приведем еще пример случайной функции с «экзотической» областью определения. Пусть на вероятностном пространстве (Ро У, Р) задана случайная величина и, причем М!б!< ео. Обозначим через 5 множество всех под-о-алгебр о-алгебры У .

Для любой о-алгебры .пК е= У (т. е.,М е= 5) определено условное математическое ожидание М(б ~о»), причем определено, вообще говоря, не единственным спосо- 2б бом (хотя любые два варианта М(«|з») равны друг другу с вероятностью !). Поставим в соответствие каждому,я7 ~ 5 случайную величину $л — произвольный вариант МЯ~.~Ф). Тогда ям, л»«=5, — случайная функция. 3 а д а ч а 12. Докажите., что система случайных величин $.~,,я» ев Я, равномерно интегрируема. й 1.3. Обзор методов теории случайных процессов Можно классифицировать разделы теории случайных процессов по применяемым методам и соответственно по тому, какие именно стороны в изучаемых процессах являются объектом нашего внимания.

1. Случайный процесс является функцией от 1~ Т со значениями в множестве всех случайных величин, Для него можно изучать те же вопросы и теми же методами, что и в теории функций, в математическом анализе. Так, раздел книги М. Лозва «Теория вероятностей» (Мз ИЛ, 1962), посвяшенный случайным процессам, носит название «Элементы случайного анализа». Пожалуй, зто название следует отнести только к части теории, где изучаются понятия сходи- мости, непрерывности случайных функций, производной, интегралов и т. п.

Некоторое отличие от обычной теории состоит в том, что здесь нет фиксированного одного естественного понятия сходимости, а рассматриваются различные виды сходимости, соответственно непрерывности, производной и т. и. Из пространств случайных величин, рассматриваемых в таких аналитических задачах, для нас важнейшим является евклидово пространство интегрируемых в квадрате случайных величин х,т(ьз, 9, Р).

Скалярное произведение определяется в нем так: Если случайная функция $~ при любом ! ~ Т интегрнруема в квадрате, то определено скалярное произведение (~,, и=м~д,. Эта функция от днух переменных задает ~ь 1~ Т, однозначно с точностью до изометрического линейного преобразования пространства Т.'. 27 По-видимому, не имеет смысла рассматривать только моменты второго порядка М$Д„не рассматривая момента первого порядка; поэтому в качестве характеристик интегрируемой в квадрате случайной функции вводятся математическое ожидание М$, и корреляционная функция'К(г, я) (или Кй(г, з), или Кгг(1, з)), которая определяется как ковариация случайных величин сг и й„ г, х е= Т: К ((„я) = соя (с„й,).

Значение К(1, х) при з =1 — это не что иное, как дисперсия $г. Корреляционная функция очень простым образом связана с начальными моментами: К((, з)=МсД,— МйгМБ, или, через скалярные произведения: К ((, х) =6г, 1з) — (йг, 1) (1, ь,). Математическое ожидание и корреляционная функция задают случайную функцию однозначно с точностью до изометрического линейного преобразования Т.Я, оставляющего на месте вектор 1. 3 а д а ч а 1. Докажите, что любая корреляционная функция обладает свойством неотрицательной определенности: для любых комплексных сг и любых (( ен Т сумма ~„с;сьК ((н (ь) действительна и неотье рицательча. Легко вывести такнс свойства корреляционных функций, как (К(г,з)((чУК(г,г)К(з,з), К(з,()=К(г,а) н т.

дл но все подобные свойства являются следствиями свойства неотрицательной определенностн (оно, как мы увидим в дальнейшем, необходимо н достаточно для того, чтобы функция могла быть коррелгпгионной). Если имеются две случайные функции 5ь Г ы Т, н Чь ( <и Т', можно рассмотреть ах взаимную корреляционную функцшо К (Г, а) = соч (5г, т),).

Совместная корреляционная функция йг н чо ( ы Т, определяется как матричная функция („" ';, ) К (й з) КВч(й з) ч) чч(' ) Легко понять, как определяется совместная корреляционная функ. цня более чем двух случайных функций. Раздел нашей теории, занимающийся только моментами первых двух порядков, — корреляционная теория случайных функций — зто самый простой раздел.

Случайные процессы здесь рассматриваются, в сущности, как кривые в гильбертовом пространстве. В рамках корреляционной теории можно рассматрнм вать только линейные функции от случайных неличин (или линейные преобразования случайных функций), потому что, например, зная Мй и 01, мы еше не знаем М зш". Для многих понятий теории случайных процессов существуют их упрощенныс аналоги, касающиеся только первых двух моментов. Обычно такие понятия обозначают тем же термином, но с добавлением слов «в широком смысле»; так, независимость «н широком смысле» вЂ” это некоррслированность и т.

п. !(омплекснгяе случайные величины мы рассматриваем здесь вовсе не из-за стремления к предельной общности. Дело в том, что наибольшие достижения корреляционной теории относятся к стационарным случайным процессам (см. $4 этой главы н гл 4). Этому объекту случайного анализа в обычном анализе отвечают, скорее всего, периодические функции, а разложение периодических функции в ряд Фурье значительно лучше выглядит в комплексной форме.

3 ад а ч а 2. Найдите математические ожидания и корреляционные функции для случайных функций примеров !, 2, 4, 5, 7, 8 5 2. 3 а д а ч а 3. Найдите корреляционную функцию для случайной функции нида $г = )ч(~(Г) +... + у„(,()), где (о ..., ),— произвольные числовые функции от Г га Т, а ун ..., т„— - некоррелироаанные случайные величины с дисперсиями Ло, сГ,. Методы, упомянутые в этом пункте, мы будем рассматривать в гл. 2 — 4. 2. С другой стороны, сг(ш) можно рассматривать как функцию от ш, принимающую значения в пространстве функций, и изучать зту функцию ш- с,(ш) теми же методами н с тех же точек зрения, что и в теории обычных случайных величин или случайных векторов. Двумя основными группами понятий здесь являются понятия, касающиеся а) распределений и б) независимости и зависимости а) Для случайной функции можно рассматривать вероятности вида Р (9.

~ А), где А — множество в бесконечномерном функциональном пространстве. Частный случай таких вероятностей — конечномерные распределения. (В частности, вероятность вида Р((Ьо . йг„) ~ Г| Х... ХГ„) — зто вероятность 29 того, что траектория 5, пройдет через ряд вертикальных «воротцев>; рис. 6.) Некоторые разделы теории имеют дело только с конечномерными распределениями не выше определенного порядка (с не более чем двумерными распределениями имеет дело корреляционная теория, а также довольно значительная часть теории марковских про- 4~ цессов, связанная с теог рней полугрупп).

! Что касается собственно бесконечномерных распределений, то ! здесь есть несколько групп задач. ~г ~а . 1, 6 а~) Коиечномерные распределения случайной функции играют по отношению к бесконечиомерным ту же роль, что функции распределения по отношению к распределнию в 1?". Мы знаем, что в п-мерном случае вероятности Р (Е ен А), Л е:- Я", однозначно определяются заданием функции распределения.

Будут ли вероятности Р (в, ек А), где А — множество в бесконечномерном пространстве, однозначно определяться конечномерными распределениями? Далее, мы знаем, какими свойствами должна обладать функция, чтобы она была функцией распределения; аналогично возникает вопрос: какими свойствами должна обладать система конечиомериых распределений, чтобы она была системой конечномерных распределений какой-либо случайной функции? Эти вопросы будут рассматриваться в $ 5А. а,) Для распределений в конечномерном пространстве бывает, что случайная величина (вектор) почти наверное принимает значения из какого-то множества А, не совпадающего со всем ??' (??").

Так, для вырожденного нормального распределения в )?" в качестве А можно взять линейное многообразие иеньшего числа измерений; для показательного распределения А = (О, оо). В конечномерном случае обычно легко узнать, будет ли Р (5 е= А) =1 или нет. В бесконечномерном случае речь идет о том, чтобы зыяснить, обладают ли почти все реализации случайного процесса с данными конечномериыми распредечениями какими-то определенными свойствами.

Задача более проста в случае счетного Т; и, например, утверждения типа усиленного закона больших чисел (связанные с принадлежностью с вероятностью 1 реализации случайной последовательности множеству последовательностей со сходящимися средними арифметическими) можно переформулировать на языке конечномерных распределений. Для несчетного Т ситуация сложнее; решать задачу о свойствах с вероятностью 1 в той постановке, которая приведена выше, нельзя, — Об этом будет идти рсчь в ~ 5.2.