А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов, страница 3

Н, э 5). Семейство функций (Г (х)) на измеримом пространстве с мерой и называется равномерно интегрируемым, если для л<обого з ) О существует положительное К такое, что длв всех функций 11 яз семейства ( У (х) ) П (Нх) < в. Рм )1,1х1)>К) Если последовательность 1„(х) сходится почти всюду к функции 1(х) и семейство (1 (х)) равномерно интегрируемо, го функция 1 интегриругма, и ~ )н д!с -ь ~ )й)с при п -эоо.

Пространства ХР(Х, Ж, р), р ) 1 (сокращенные обозначе- : ЕР, ЕР(Х)г ЕР(ю), Е (р) И (йр); . К оп мотор н Ф о м и н, 1968, гл. Ч! 1) . Произведение о-алгебр м! и "ссг (обозначение: Я' Х аУ); произведение мер (обозначенне: РХч; интеграл относитеяьно рХч записывается так: ~ ~ 1 (х, у) р (дх) ч (ду) ); теорема Фубинн (К о л м о г о р о в н Ф о м и н, 1968, гл. Ч, й 6). Абсолютная непрерывность счетно-адднтивной функция множества ч относительно меры р на измеримом пространстве (Х, сю'); плотность ч отвоснтельна М ( по опрепеленню это — га-измеримая функция у такая, что ч (Л) = ~ у (х) р(дх) для всех А сю Яс; обозначения: А ч (дх) с(ч у(х) = Н (дх) др нлн — (х) ); сингулярность мер р, ч по отношению друг к другу. М н к р о теор ем а: если мера ч имеет плотность относительно р, то для любой измеримой функции 1 7 (х) т Ых) = ~ 1 (х) — (х) р (йх).

с1)с А А Теорема Радона — Николима (К о т м о г о р о в н Ф о м и н, !968, гл. Ч1, Ц 6). Слабая сходи. ность мер: последовательность мер р, на а-алгебре Ях борелсвских подмножеств метрического пространстна Х слабо сходится к мере р на Ях, если для любой непрерывной ограниченной функции 1 на Х 1 (х) р„(дх) — > ~ ) (х) р (дх). Далее, предполагается, что читатель изучил курс теории вероятностей и знает такие понятия, как независимост1ь слУчайнаЯ величина, фУнкциЯ РаспРеделення„ закон больших чисел, характеристическая функция н т.

п. (см. Гнеденко, !988; Феллер, 1967, т. 1). Предполагается также, что он знаком с аксиоматнческим построением теории вероятностей и некоторыми более специальными вопросами, которые (вместе с объяснением обозначений) будут кратко изложены ниже. 12 Вероятностное пространство — тройка ((), У, Р), где ()— пространство элементарных собьзтий — произвольное миоясество (его элементы †элементарн события — мы будем обычно обо- значать буквой со); У' — и-алгебра его подмножеств, элементы которой называются (случайными) событиями; Р— вероят- ность — мера на (П, У ) такан, что Р (11) = 1 (вообще мера р на (Х, Я') называется вероятностной, если р(Х) = 1). Выраже- ние «почти всюду относительно меры Р» заменпется выражением «почти наверное» (п.

н.). Предполагается, что читатель знает леммы Бореля — Кантел- ли (см. Ф е л л е р, 1967, т. 1, гл. НП1, 5 3). Случайная вели шна в широком смысле — измеримое отобра- жеине пространства (Рп У ) в измеримое пространство (Х, ЯГ). (с(ругай термин — случайный элемент (Х, ы ).) От пространства (Х, га ) л)ы будеьз требовать только, чтобы зсе одноточечные мно- жества были измеримы; (х) ш го длн любого х. Случайные ве- личины мы будем обозначать большев частью греческими бук- вами.

й=з(со), )1,", п(А) и т. п. Случайные величины й и з) эквивалентны, если Р (и Ф з)) = =О Под а-алгеброй, порожденной системой случайных вели- чин ~„со значениями в (Х, У' ), мы будем понимать а-алгебру, порожденную всевозможными событиями вида (4„зш Г), Г ьп ш Ж . а (й ) = а Цз ен Г), Г ~ Ж ). Распределение случайной величины З вЂ” мера Р на (Х, га'), задаваемая соотношением р (А) = Р (з св А) (короткая запись 1 для Р ((ы: З (чз) )и А))). Совместное распределение случайных величин с, ть ... Ь, принимающих значения в пространствах (Х.

гь) (у, аг'), , (7, .а), — это распределение случайного вектора (а, з),..., Ь): р „ (А) =- Р ((1, т), ..., ',)ш А), зш®Хат'Х ... Хж. Случайные величины („ть .... т независимы, если роя." = Р Х Р Х .. Х р . Случайные величины из бесконечного семейства (в 1 независимы, если зо, ..., й независимы для о) любого конечного числа отличных друг от друга аь ..., анб а-алгебры У а= У независимы, если независимы любые события а А, ы У „, „А аа У „. Ясно, как определяется независимость а, случайных величин от и-алгебр и т.

п. Для случайных величин, принимающих значения в метри- ческом пространстве Х (га = Ю ), определяется сходимосго ло Х ' вероятности: ~„— м с (и — » оо), или 1)гп (Р) с„= в, если н-» 1пп Р (р (зн, ») ) е) = О для любого и > О. (Так же определяется Л.+' и 1пп (Р) '„, и т. п.) Предел по вероятности определяется одно)-+), значно с точностью до эквивалентности. Для непреросвной 1 иэ )Р) (Р) йн †» В вытекает 1 (йн) — з. )(й]. Из сходимости почти навеР- ное вытекает сходимость по вероятности; из последовательности, сходящейся по вероятности, можно выделить подпоследователь- ность, сходящуюся почти наверное. 13 Иа « — ь «вытекает р -ьр в смысле слабой сходимости.

!н! н йн В Для числовых случайных величин определяются: математиче- ское ожидание (или среднее) М« = ~ «(в) Р(йв), и дисперсия Р« = М ) « — М«)т (для вещественных случайных величин это то же, что М(« — М«)а), ковариания сов(«, ц) = М (« — М«) (ц — Мт)) г)ебышевское неравенство для любой случайной величины « со значениями в (Х, !й,'), любой неотрицательной Я'-измеримой фуннции 1, любого в ) 0 Р («щ Аг) ( М) («)/е, где А, = — (х: ! (х) ) е).

Из сходимасти в среднем а степени р — сходнмостн в про- странстве ь (ь), У, Р) — вытекает сходимость по вероятности Р (следует из чебышевского неравенства). Предел в смысле сходи- мостн в среднем квадратическом (при р = 2) обозначается !,!.гп. Условное мигел атичсског ожидание М (ь ) зч) сяучайной ве- личины «(чнслоной) относительно а-алгебры,У ~ У вЂ” это слу- чайная величина М («(зэ) (в) = ц (в) такая, что, во-первых, она зэ-изьгерима и во-вторых, ~ т) (в) Р (йьз) = ~ «(в) Р (йв) для любого Л гм.У. Из существования М«(конечного) вытекают существование М («(лс) и его единствегщость с точностью до эквивалентности. Свойства условных математических ожиданий: линейность монотонность(нз «( з) вытекает М («),Ф)~(М (з) )зв)); М («з) ) в) = «М (Ч ) лс) для лс-измеримой «, если толька Мт), М«з) сувтествуют (или если М ) ц ), М ( ( «( М () ц ) (йг)) < оз); если ФаЯаУ, то М(М(«)Я))зв)=М(«)лс).

Все эти свойства выполнены с оговоркой: почти наверное. Пусть ц — случайная величина, не обязательно числовая, а со значениями н (Х, Я'). Тогда по определению условное математическое ожидание числовой случайной величины « относительно т), М («(т)) — это не по иное, как М («(а(т)Ц (события из и-алгебры о(ц) имеют вид (ц щ Г), Г я гв). Эта случайная величина представляется в виде в(ц), где в(х) — га-измеримая Функция на Х. Функция Ф(х) обозначается М («) т) =х) и называется условным математическим ожиданием «лри условии т) = х (при условии, что з) приняло значение х). Условная вероятность события Л вЂ” это условное среднее его индикатора )(л = ул(са). Если «и ц — случайные векторы, имеющие совместную плотность распределения р (х, у), то можно ввести условную йч плотность распределения р (х ) т) = у) = р (х, уу р (у) Прв $ йч ' ч этом для любой измеримой числовой функции М (! («, з)) (з) = у )= ~ т (х, у) р (х ) т) = у) йх.

14 Подробнее об этом можно прочесть в книге Ф е л л е р в (!967, т. 2, гл. 1тг) или И т о (1960, гл. 1; !963, з 32, 33). Для чтения гл. 11, 13 нужно иметь понятие о дифференциальных уравнениях в частных производных эллиптического и параболического типа, хотя материал, на который мы постоянно опираемся, совсем не велик: в основном постановка задачи Коши и краевых задач.

В качестве источника необходимых сведений указываются книги М и р а яды (1957) и грр идм а н а (1968). Иекотороге общие обозначения, Минимум из двух чисел а и Ь обозначается а Л Ь, максимум — а' ' Ь. Объединение двух множеств мы будем обозначать А () В, пересечение — А П В или АВ, разность— А'~В, симметрическую разность (т.

е. (А'чВ) Ц () (В'чА)) — АЛВ. Знак с: употребляется в смысле строгого включения множеств, знак ~ — для включения, допускающего совпадение. Для произвольного множества А его индикатор (характеристическая функция) )(л (х) определяется как функция, принимающая значение 1 для х е= А и О для х ф А. Если А — событие, аргумент ы в ул будет обычно опускаться. Единичную меру, сосредоточенную в точке х, мы будем обозначать б: по определению б„(Г) = = Кг (х). Обозначение !(х) двусмысленно: оно применяется и для значения функции 7" в точке х, и для самой функции. В случае, ко~да мы хотим подчеркнуть, что речь идет именно о функции, а не о ес значении в какой-то точке, мы будем пользоваться обозначением )'().

Если аргумент пишется не в скобках, а в виде индекса: („то обозначением самой функции будет(.. Особенно удобно обозначение с точкой для функций нескольких аргументов, например, 1 (, ) — функция ! > от четыРех аРгУментов; 7"'(ь оэ) — фУнкциЯ от двУх аргументов, получающаяся из нес фиксированием значений остальных двух; )~„'(7, .) — функция от одного аргумента; 1~„"~((„оэ) — значение функции при фиксированных значениях всех аргументов. Дальнейшие обозначения даны в конце книги в виде списка. Глава ! ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 5 1.!.