Г.И. Баренблатт - Анализ размерностей. Учебное пособие, страница 9

Действующие на конструкцию нагрузки в зависимости от способа их прилокения представляют собой либо силы, либо натяке( .р щ~ рй ), б ( ° .,;. -. - °,М. р... ~,,.....в, об определении на геометрически подобной модели величины сил 5~, натякений б или напряжений с„у , отвечающих разрувению конструкции, Эти величины определяются размером конструкции ь * От и специфической характеристикой хрупкого (или квазихрупкого) разрушения, трешиностойкостью (моэулем сцепле- 1) ния) л ь с) , а такие безразмерным коэффициентом Пуассона щ ы ек суй 5, ь~,; -4~~.К; ') (3.16) размерности определяемых величин в классе .Ес Р 7 составляют соответственно ~ 5 ~ 'T [ЗЛ 3 7 Ь ГСу~ 2 7 7 ~~ 1ъ , ' Трещиностойкость представляет собой в настоящее время паспортнуа характеристику материала. Как уже говорилось во второй главе, трещиностойкость с точностью до безразиерного иноаителя представляет собой произведение максимального напряжения сил сцепления, действующих в головке трещины, на квадратный корень из размера этой головки, "т-т и-а/г так что [~3 .

г ~ ~ (размерность напрякения составляет '3 ° Я Г 1 ). Таким обраэои, ю - ~ м т и динзмичесиий параметр подобия в данном случае один - коэ4$ициент Пуассона М лау . Применяя анализ размерностей, находим сразило пересчета разрушающих нагрузок с модели на натуру при хрупком (3.17) ~)Ь1 т'сг (3.18) (трещиностойкость модельной конструкции может отличаться от трещиностойкости натурной конструкции, важно, чтобы материал модели также был хрупким нли квазихрупким). Если пластические деформации при разрушении не сосредотоцены вблизи трещины, в занимают заметную часть конструкции (в этом случае разрушение несколько неудачно называют вязким), то появляется новый определяюшнй параметр размерности напряжения: предел текучести ~~ ш С)+ .

Следовательно, появляется новый у ть определяющий параметр подобия который предложено назвать параметром или числом Иювина в честь американского исследователя Дж.Ирвина, внесшего фундаментальный вклад в исследование механики разрушения. Ирвином ( 1960) было впервые установлено определяющее влияние параметра, эквивалентного Х , на характеристики вязкого разрушения и переход от кввэихрупкого разрушения к вязкому. Необходимость соблюдения условия подобия -равенства пара- метра подобия Ирвина для модельной и натурной конструкций-создает определенные трудности при моделировании. Действительно, параметр Ирвина представляет собой по физическому смыслу квад- ратный корень нз отношения размера конструкции к внутреннему ~~2/ З структурному параметру материала Х~ / О ) , Равному -о порядку величины размеру пластической эоны вблизи края трещины.

Поэтому испытания нв модели конструкции нз того же матери- ала при тех же внешних условиях в пластичных материалах прово- ~)9У тР-) тДй) дить нельзя . Если условия подобия У ~ ы выполнены, пересчет разрупвющей нагрузки с модели на натуру можно производить по тем же формулам (3. 1т) — (3.19). 1) Р.В.Гольдштейном и В.М.Вайншельбаумон (1978) было пред- ложено проводить моделирование путем испытания модели нз того же материала, но при других температурах: внутренний масштаб материала .К / (у сильно зависит от темпеРатуРы, увеличиваясь с ее возрастанием. Это предложение покоится на сильной гипотезе о том, что при изменении температуры все безразмерные характеристики материала остаются неизменными.

- Б9- 4. моделируется тепловая конвекция 'в горизонтальном слое жидкости. Слой ограничен гладкими твердыми изотермяческими плоскостями, На нижней плоскости поддерживается температура, превьппасщзл температуру 7 поддерживаемую на г пхней плоскос- О ' ти,на величяну ог' 7" . Еак известно, явление конвекции свя- вано с тем, что при нагревании плотность жидкости уменьшается, и если зто уменьшение достаточно значительно, то менее плотная жидкость снизу всплывает вверх. Вавискмость плотности жидкости от температура| при малых перепадах температуры можно считать линейной: ~ = кз ~у+ а'~ Т вЂ” 7 ) у , где кз — плотность з О '70 жидкости при температуре 7 ', а С.у — коэррициент линейного расширения.

Изменение плотности кидкости при подогреве мало, поэтому изменение плотности можно учитывать только твм, где оно связано с действием силы тяжести. Это приближение было предло- кено Французским ученым Буссинеском и носит его имя. Возможность принятия приближения Буссинеска связана с тем, что все ускоре- ния в конвективном течении считаются малыми сравнительно с ус- коренкем силы тяжести. Для сильно развитой конвекции зто не так, и криблккение Буссинеска перестает быть применимым.

Если принять приближение Буссинеска, то, очевидно, коэффициент линейного расширения жидкости Ф и ускорение свободного гвдения входят в рассмотрение не по отдельности, а только в произведении. Произведение бйд называется парзме;ром плавучести. Перейдем теперь к рассмотрению определяющих параметров явления тепловой конвекции в слое. Характеристики явления должны, очевиднс, зависеть от параметра плавучести С~я м б? , высоты слоя ,К сз , динамических характеристик жгз1кости: ее вязкости м =.су и плотности д ~ а при температуре ~г О + О - 70- удельной теплоемкости жидкости С Об., избыточной температуры нижнего слоя Е .Г" стб,а также теплопроэодности жидкости Х ~ сто , Изменением с температурой вязкости, удельной теплоемкости и теплопрозодностк жкдкости мм пренебрегаем, имея в веду моделирование только основного процесса — конвекцик.

Далее, в принципе следует учитывать вклад вязкой дисскпацки энергии конввктизного дэмжения з тепловой баланс жидкости, При этом следует учитывать еще один царвметр: механический эквивалент тепла ~~ ~ ЯЫ Рассмотрим размерности определяющих параметров. Удельная теплоемкость с представляет собой, согласно определению, количество тепла, необходямое для поэыження температуры единицы массы жидкости на единицу температуры. Поэтому размерность теп- лоемкостк составляет ~с/ ° Я МВ Здесь Й -размерность тепловой энергия, Ю - размерность темпе)х туры, которые мы буде" считать незввксиыымк. Теплопроводность жидкости Ъ , согласно основному закону теплопроводности (за-' кону Фурье ),представляет собой коэ4фицкент пропорциональности з выражения теплового потока ~ в нвподвижной жидкости через перепад температуры В 7 и толщину слоя Ю Но тепловой поток равен, согласно определению, количеству твпла, проходящему через единицу площади плоской границы слоя за едн1мцт времени, так что /'~~1 Я1., '2" .

Отсюда и ыз предыдущей $срмулы живем делировании же конвекции з земной мантии параметр и л имеет порядок единицы,и его влиянием пренебрегать нельзя. Отметим также существенное обстоятельство, вытекакщее из соотношений (3.22) для параметров подобия: если пренебречь вкладом диссипации энергии конзективного движейяя з тепловой баланс, то оказывается, что величины Ъ и с входят в рас- смотрение не по отдельности, а только з отношении.

Параметр хл называется числом Грасгофа. В литературе часто используются следуюзгле комбинации параметров (3.22): Параметр Ра — число Релея - назван в честь великого английского физика, впервые исследовавшего теоретически возник- новение конвенции з горизонтальном слое. При достижении крити- ческого значения этого параметра 7Ра= гРа — б5Р~ (3.24) которое не зависит от второго параметра, числа Ппандтля Ръ , состояние покоя жидкости з горизонтальном слое стано- зится неустойчивым и уступает место так называемому валиковому режиму конвенции, В этом режиме слой распадается на вращающиеся в противоположных направлениях жидкие велики (рис. 3.2). До достижения числом Релея критического значения равновесие жид- 1)- одесь приведено критическое значение, вычисленное з предположении, что касательнье напряжения на границах слоя равны нулю.

- 73- кого слоя устойчиво, Дальнейшие изменения режимов конвективнмк движений в горизонтальном слое также связаны с переходом чиола Релея через определенныв критические значения. Параметры подобия (3.23) показывают, что если проводить моделирование в слов той же жидкости и в таком вв поле тяжес- ти,что н для натурного движения, то для температуры подогрева гтъ6ч) модели 8 л должно выполняться условие ~)й) з (3.25) обеспечивающее подобие модельного конвективного движения натурному. Далее, для определяемой величины - теплового потока $, - безразмернмй параметр Л имеет, как нетрудно показать, (3.26) Поэтому при моделировании в слое той же жидкости, что и для натурного движения,правило пересчета теплового потопа с модели на натуру принимает следуищуш форму; (3.27) так что отношение тепловых потоков в натуре и модели обратно пропорционально четвертой степени масштаба моделяровання.

Для толстил слоев, как уие упоминалось, влияние параметра подобия П становится сущестееннын. Поскольку этот параметр представляет собой отношение карвктерного линейного размера - 74- иидкости Л 'в ~с/с~у к толщине слоя Н, моделирование явлвния в слое той ие кидкости при тех ие условиях становится, строго говоря, невозмоиным (ср.