Л.Л. Гольдин, Г.И. Новикова - Квантовая физика. Вводный курс, страница 7

13 внфункция, описывающая распределение частицы по координате, как и всякая другая функция, по теореме Фурье может быть представлена в виде интеграла: ф(л) =-. / В(й)е'~*гГА'. (1.25) Состояние частицы в начальный момент времени определяется, таким образом, наложением большого числа монохроматических волн, каждая из которых движется со своей скоростью. Такое наложение волн, имеющее один резко выраженный максимум, называется обычно в о л н ов ы м п а к е т о м . Во всякий другой момент времени положение частицы описывается, грубо говоря, местоположением максимума л'-функции. Выясним теперь, какие волны слем(х) дует сопоставлять частицам, наблюдаемым в обычных, классически поставленных опытах.

Классические опыты всегда начинаются с того, что мы определяем положение частицы в некоторый момент времени Зо. Пусть измелз-Ьл л рение координаты проделано с точностью Ью, т.е. мы определили, что частица находится Рис, !3. Волновой пакет.

между юо и мо —,Ьм, С точки зрения волновой (квантовой) теории это означает, что волновая функция частицы равна нулю во всем пространстве, кроме участка, заключенного междУ ло и ло + Ахм (Рис, 13). Ясно, что такаЯ фУнкциЯ не является одной монохроматической волной типа (!.!9). Однако она может быть представлена в виде совокупности таких волн. Поскольку мы исследуем сейчас волновую функцию частиц в момент времени зо, зависимость воли от времени является пока несущественной. Запишем отдельную волну в виде з4 Принцип пеопрвдвлнн!!Ости Из оптики известно, что скорость движения волнового пакета равна г р у и и о в о й скорости волны и вычисляется по формуле (1.26) и„, = г!ьр/гИ С помощью 11.1) и (1.15) для волнового пакета получим (1.27) !,р — — гй ~ у!)й = г)Е/!1Р.

Вычислим с помощью 11,27) групповую скорость фотонов и нереляти- вистских частиц. Для фотонов имеем ДЕ гг!,Рг) ггР ггр (1,28) чего н следовало ожидать. Для нерелятнвнстских частиц найдем с1Е и!Р /2п!) Р пгн — — О. (1.29) т гп Таким образом, групповая скорость плоской волны действительно равна скорости частицы. Если скорости частиц велики, то групповую скорость проще всего найти, дифференцируя соотношение Ез = раса .; гласа; !1Е Рс мг — — — ' -— " — -— - и, г)Р Е 2ЕдЕ =- 2рсздр, Вычисление фазовой скорости плоской волны по релятивистским формулам приводит к результату, сильно отличающемуся от П.22). Фазовая скорость волны оказывается больше с, и при уменьшении скорости частиц она не уменьшается, а увеличивается, поскольку, как оказывается, 3 Оч,оф = с При медленно движущихся 1нерелятивистских) частицах зто отличие, однако, не приводит ни к каким новым физическим результатам.

ф 4. Принцип неопределенности Мы уже убедились в том, что классические представления во многих случаях оказываются неприменимыми к микрообъектам. В частности, движущимся микрочастицам нельзя приписать определенных траекторий, т.е. определенных значений координат в следующие один за другим моменты времени, ГЛАВА 1 Посмотрим, к чему приводит попытка точного определения координат у электронов. Рассмотрим электроны, проходяшие через щель в экране Э и попадающие затем на фотопластинку Ф (рис.

14). Мы уже знаем, что на фотопластинке будет наблюдаться дифракционная картина. Пусть до прохождения через щель электроны обладают вполне определенным импульсом ро (Р, = О, Ря — — ро., р„— -- О). Такие электроны описываются плоской волной с 1со = рог'й. Так как плоская волна распределена по всему пространству, то и каждый электрон так же размазан. Электроны, прошедшие через щель, я уже не описываются плоской волной. Соответствующая волна является расходящейся, причем интенсивность волны сложным образом зависит ат направления.

Как видно из рисунка, распространение расходяшейся волны происходит в разных направлениях, так что волна не имеет определенного волнового вектора 1с и, следовательно, электроны, прошедшие через шель, больше не обладают импульсом ро. При прохождении через щель у электронов наиоолее заметно меняется проекция импульса ря на ось, параллельную ширине щели. Рис. 14.

Распределение ин- Оцепим по порядку величины разброс тенсивности электронов по- в величине Ри Обозначим через тЛт ширисле прохождения пучка че- ну щели. Рассмотрим какой-либо электрон, рез шель. прошедший через щель. Указать заранее, в какое место фотопластинки попадет электрон, невозможно. Однако вероятность его попадания в разные места фотопластинки определяется дифракционной картиной, изображенной на рисунке. Приблизительно в половине случаев электрон попадает в центральную область главного максимума, размер которой можно положить равным ширине этого максимума, измеренной на уровне половины высоты (размер ! на рис.

!4). Этот размер может быть заменен расстоянием от максимума до первого минимума дифракционпой картины. Угловое расстояние от максимума до первого минимума примем за меру расходимости волны, описывающей движение электрона, прошедшего через шел ь. Направление на первый минимум определяется из условия (1.30) т'.хт сбп д = Л. $4 Игинцип псопнвдвлкиности 33 Отсюда Л!Ьх = з!и д = 1«д, (1,3Ц Но ьйд = Р.,/Рю пРичем вместо Р, следУет писать ЬР„так как эта величина определяет разброс в импульсе: (1.32) Из (1,31) и (1.32) имеем «хр «хх = Лрю Учитывая, что Л вЂ”..

2«г/й = 2яЬ/рю получим окончательно (1,33) Ьр.,„Ьх = 2яй. Соотношение (1.33), выведенное нами для случая дифракции на щели, имеет всеобщую применимость и носит название с о о т н о ш е н и я неопределенностей Гейзенберга. Чем точнее мы определяем координату электрона (уменьшаем ширину щели Ьх), тем более неопределенным становится соответствующая проекция импульса электрона.

Неопределенности в координате и в импульсе, которые входят в формулу (1.33), происходят не от несовершенства наших знаний, а от того, что волновая функция электрона действительно «размазана» по соответствующей области Ьри и Ьх. Распределение по координате в рассмотренном случае определяется шириной щели. Распределение по импульсам можно измерить не только по виду дифракционной картины, но и непосредственно. Для этого вместо фотопластинки нужно установить прибор, измеряющий импульс частиц (например, по отражению от кристалла).

Рассмотрим еше один мысленный опыт. Определим положение электрона с помощью микроскопа, как это показано на рис, 15, Здесь !в объектив микроскопа, 2 — пучок света, направленный вдоль оси микроскопа и освещающий электрон, 3 — электрон и 4 — его изображение Точность измерения координаты зависит от разрешающей силы микроскопа. В оптике показывается, что разрешение «Лх микроскопа определяется в основном свойствами объектива и равно (1.34) «ах= Лузшд, где Л вЂ” длина волны света, а вшд — апертура линзы. Из (!.34) видно, что определить положение электрона с хорошей точностью можно лишь в том случае, если апертура объектива достаточно велика.

ГЛАВА 1 д Чтобы «увидеть» электрон, нужно, чтобы на нем испытал рассеяние хотя бы один фотон. Рассеянный фотон проходит через точку, являющуюся изображением электрона. Координата этой точки может быть определена. После этого с точностью (1.34) определяется положение электрона. Испытав соударение с электроном, фотон изменяет направление движения, а электрон получает отдачу. Микроскоп не дает возможности определить, в какую сторону отклонился рассеянный фотон, известно лишь, что после рассеяния он проходит через объектив. Импульс отдачи электрона поэтому тоже остается неизвестным. Обозначим начальный импульс фотона через рв.

Рис. 15. Измерение У всякого фотона, проходящего сквозь объектив, координаты влек- ~р« ~ ( рэ 1д д, Так как знак р при рассеянии мотрона с помощью жет быть любым, а величина лежит в указанных света. пределах, это неравенство определяет на самом де- ле неопределенность проекции импульса фотона на ось т. Импульс отдачи, полученный электроном, равен изменению импульса фотона. Пренебрегая различием между синусом и тангенсом, найдем, что неопределенность в импульсе электрона равна Ьр =-р 1й.д =р з!яд.—..р — = Ь)г — —.- Л Л 2»гй "ЬХ ААМ ААЮ ' (При вычислениях зшд был заменен на Л/~Хм с помощью (1.34),) Умножая равенство на тЛх, получаем Ьт Ьр, = 2»гЬ, что находится в согласии с принципом неопределенностей Гейзенберга.

Отметим, что принцип Гейзенберга связывает неопределенность в координате с неопределенностью проекции импульса на эту к оординату: Ахар. = 2»гй, ЬуЬрэ -- 2тгБ, ЬзЬр« = 2х)ь (1.33') В то же время принцип Гейзенберга не накладывает никаких ограничений на точность измерения координаты ю и проекции импульса на ось р в Говоря о принципе неопределенности, следует иметь в виду, что он определяет теоретический предел, который далеко не всегда достигается в реальных приборах.