Л.Л. Гольдин, Г.И. Новикова - Квантовая физика. Вводный курс, страница 8

Так, разрешение телевизора или качество биноклей и фотоаппаратов связано вовсе не с принципом неопределенности, 54 Пгинцип пгопвддвлкнности а с количеством точек, используемых для изображения (телевизоры) или с качеством объективов (фотоаппараты). Однако никакой телевизор и никакой фотоаппарат не могут превзойти ограничений, накладываемых принципом Гейзенберга. Обратимся теперь к математическому смыслу принципа неопределенности. Пусть т4з) опыт по измерению координаты частицы показал, что эта частица находится в некоторой мз точке, скажем в начале координат.

Гели измерение координаты произведено с точностью а, то результат измерения, грубо говоря, заключается в том, что тьфункция частицы отлична ис от нуля лишь в области от — а, до а. Вид Ч трона после измерения функции между — а и а при этом может быть его координаты разным и существенно определяется способом, который был принят для измерения координаты. Поскольку все дальнейшие расчеты будут производиться лишь по порядку величины,мы можем для простоты положить, что в этой области еьфункция просто постоянна, как это, изображено на рис.

16 (такой вид имеет 4ефункция, если измерять с помощью щели координату электрона, имевшего до измерения определенный импульс, как это делалось, например, па рис. 14). Определим фа, т. е. величину 4-функции на отрезке — а < х < а. По а определению !Ст(л)) гьт, равно вероятности найти частицу в интервале дм.

Вероятность найти частицу в произвольном месте от -оо до ж равна ( (и(х),,'"'дх. Поскольку при этом мы вычислили вероятность достоверного события, то У ф(..)~' =1. (1.35) Условию (1.35) или более общему условию (1.36) должна удовлетворять всякая ф-функция, поскольку она является амплитудой вероятности. Условия (1.35) и (1.36) называются обычно условиями нормировки. Зб ГЛАВА 1 Интеграл (1,35) в нашем случае нетрудно вычислить: ,ф(Ф) пж = ~ фо гзю = йфоо = К Таким образом, фΠ— -' 1,1АУйо. (1.37) Функция, изображенная на рис.

16, очевидно, не является плоской волной вида е'"*. Поэтому после измерения координаты частица не обладает определенным импульсом. Однако выфункция (1.37) может быть разложена в интеграл Фурье, т.е. может быть представлена в виде суперпозиции волн В самом деле, по теореме Фурье всякая функция может быть представлена в виде' ос ь(Ф) —.- 1' у (й)гзькг1)с.

Л~ у (1.38) Коэффициенты у()с) определяют вклад различных волн в рассматриваемую волновую функцию. Посколысу плоская волна представляет собой состояние с определеьшым импульсом, формула (1.38) определяет распределение по импульсу. Физический смысл (1.38) заключается в том, что величина ~у(й) ~' !й (1.39) 'Формула (1.38) отличается от обычных формул разложения, принятых в матемаптке, множителем Чдт/2-.

Если включить этот множитель в Д(й), формула примет привьмный вид. зЕсли принять не !1.38), а обычную формулу разложения в интеграл Фурье ф(х) = С!Е)е'Ькйт, то ',С(А), оказывается пропорциональным, ио не равным вероятности попасть в интервал Ж. Чтобы С(Ь) имело смысл ампяитуды вероятности, нужна потребовать, чтобы ) )с(ь)~ ж.=. 1. этому условию удовлетворяет функция г(а), введенная 2 в 11.38). определяет вероятность того, что волновое число частицы лежит между А и )с+г)к, и, следовательно, ее импульс заключен между й)с и )1(й+г1!с) -.

Мы видим, таким образом, что распределение по координатам (задание ф(Ф, у, з)) определяет расгзределение ао импульсам. Поскольку зти распределения но являются независимыми, между ширинами распределений существует математическая связь, Эта связь и устанавливается принципом неопределенности. э4 ПРинцип неопгадвлен««ости З7 В теории интеграла Фурье указывается формула для нахождения функций Г(к): ((«г) = ) и(л)е 'ь*дл ««2«г У вЂ” к (1.40) Установим с помощью этой формулы явный вид распределения по им- пульсам для ф-функции, изображенной на рис. 16. Подставляя в (!.40) значение фо из (1.37), найдем Г( ) = 1 1 ! е»«*г(л = 1 ( — 1 )(е '«ь — е»ь») = «'2т,. '««2а .I 2«Яа «!«!/ х«~га й — а (1.41) Вероятность того, что импульс частицы лежит в окрестности р, равна квадрату модуля )(й); г й ) ~(й)!а ю (1.42) На рис. 17 приведен график этой функции.

Как видно из рисунка, рас- пределение имеет типично «дифракционный» вид. Как и прежде, примем за «ширину» распределения расстояние от середины распределения до первого минимума «х«г — — я««а «лр = й«Ьй = й«тг,«а. и, следовательно, Такимобразом, принцип неопределенности Гейзенберга не представляет собой положения, независимого от других основных положений волновой м е х а н и к и. После того как выясняется необходимость описывать поведение частиц волновыми функциями, принцип неопределенности возникает как математическое следствие теории.

В дальнейшем будет показано, что во многих случаях умелое применение принципа неопределенности позволяет угадывать основные черты явлений без точного решения уравнений. Формула (1.40) показывает, что плоские волны, на которые может быть разложена ф-функция, в каждой точке пространства обладают вполне определенным сдвигом фаз, т.е, когерентны между собой.

Эта когерентность характерна не только для импульса (для плоских волн), Ширина распределения Ьл в нашем случае равна 2а, Имеем, следовательно, «хр«хм - 2кп. 38 ГЛАВА 1 0 'г 2 го 3тг /с а, а и 2тг а, и Рис. 77. Распределение электрона по импульсам после из- мерения его координаты. но и для всех физических величин, которые характеризуют состояние частицы (момснт импульса, спин н т, д.), Чтобы яснее представить себе ограничения, возникающие из принципа неопределенности, рассмотрим обычный классический метод измерения импульса частиц. В макроскопической физике для определения импульса частицы можно воспользоваться формулой (1.43) гп = тпц.

Для определения скорости следует измерить путь, проходимый частицей за небольшой (в пределе за бесконечно малый) промежуток времени: п =. (шз -- шт)7(уз — ут). (1,44) г При известных условиях пожег, конечно, применяться и классический метод нзнерения импульса никрочастиц. Чтобы измеряемое значение инпульса искажалось меньше, не Можно ли использовать предложенный метод в микромире? Измерив координату частицы шг в момент 17, мы неизбежно изменяем ее импульс и притом тем сильнее, чем точнее измеряется координата. Измерив координату шз, мы снова изменим импульс частицы. Подставив измеренные значения шд, шт, !з и 27 в ((А4) н затем в (1АЗ), найдем некоторое значение импульса.

Это значение, однако, не будет соответствовать импульсу частицы: ее импульс в процессе измерения дважды менялся, и полученное число не определяет ни импульса частицы до измерения, ни ее импульса после измерения. Существенно лучше определять импульс частицы (абсолютную величину импульса) по ее кинетической энергии (например, по разности потенциалов, пройденной электроном в ускоряющем поле) или по характеру дифракцнонной картины в опыте Девиссона — Джермера!. Подведем некоторые итоги.

э4 Принцип неопределенности !. Микрообъекты обладают одновременно свойствами частиц и свойствами волн и поэтому не являются ни частицами, ни волнами в классическом смысле этого слова. 2. Состояния микрочастиц описываются волновыми функциями (рыфункциями); яыфункция свободной частицы, движущейся в определенном направлении и имеющей заданный импульс, является плоской волной. 3.

Микрочастицы следует представлять себе размазанными по пространствуе. Квадрат амплитуды волновой функции характеризует вероятность нахождения частицы в заданном месте пространства. Скорость микро- частицы совпадает с групповой скоростью волн, определяющих ее состояние. 4. При наличии нескольких — или многих — путей распространения волновые функции складываются по тем же правилам, что и световые волны: величина суммы зависит как от амплитуды, так и от фазы слагающих ф-функций. При этом, естественно, возникают характерные для волновых процессов явления интерференции и дифракции.

5. Микрочастицы не облада!от определенными траекториями в классическом понимании этого слова. У микрочастиц сохраняются такие характеристики классических частиц, как масса, заряд и т.д. 6. Невозможно одновременно точно измерить координату микрочастицы по некоторой оси и проекцию импульса на ту же ось. Неопределенности в значениях координат и импульсов связаны соотношениями Гейзенберга. 7. Отличительной особенностью микромира является новое понимание опыта.

Произвести опыт над микрочастицами — значит изменить состояние частиц, подвергавшихся исследованию. Волновые функции частиц до опыта отличаются от волновых функций частиц после опыта. Классическая физика исходит из предопределенности мира. Она считает, что если бы удалось одновременно измерить координаты и импульсы всех атомов, то, применяя физические законы, можно было бы рассчитать состояния всех атомов !т.е. полную картину мира) на любой промежуток времени вперед. следует с большой точностью измерять координаты.

Погрешность в измерении координат тем меньше сказывается на результате, чем больше разность зз — х!, т с. чем болыпе пролетный путь частицы. Таким образом, на большом пути скорость частицы и, следовательно. ее импульс могут быть измерены с достаточной точностью Стремиться к тому, чтобы гзс и, сзедовательно, гзк были как можно меньше (в классической механике скорость ь =. 1!гпд! о(Ьзугьг), конечно, нс ш!сдует. !Как уже отмечалось на с. РР1, картина размазанного электрона, подобно всякой другой классической аналогии, не полностью соответствует квантовой механике.