Л.Л. Гольдин, Г.И. Новикова - Квантовая физика. Вводный курс, страница 5

Волновые свойства микро- и макрочастиц. Рассмотренные выше опыты убеждают нас в том, что все микрообъекты в равной мере обладают свойствами частиц и волн независимо от того, к какому из этих классов их относит классическая физика. Никакого принципиального различия между микро- и макрообъектами не существует. Г!очсму же мы не замечаем волновых свойств у брошеньюго камня, у пылинки, оседающей под действием силы тяжести, и т.д.у Из оптики известно, что волновая природа света наиболее ярко проявляется при огибании препятствий, размеры которых сравнимы с длиной световой волны (или в случаях, когда разность хода лучей, приходящих с двух сторон препятствия, имеет тот же порядок величины, что и длина световой волны).

В тех же случаях, когда длина волны много меньше характерных размеров, определяющих явление, волновые свойства света становятся малосущественными и их можно не учитывать. Так, геометрическая оптика, с помощью которой до сих пор рассчитывается большинство оптических приборов, обходится без волновых представлений. Между механикой и оптикой существует глубокая аналогия. Классическая механика Ньютона соответствует геометрической оптике и получается как предельный случай из более общей к в а н т о в о й и е х ан и к и, учнтываюшей волновые свойства рассматриваемых объектов.

! Применение квантовой механики не обязательно в тех же случаях, в которых волновая оптика может быть заменена геометрической оптикой; при распространении волн — в случаях, когда длина волны становится исчезаюше малой по сравнению с характерными размерами системы (л « е). Обратимся еще раз к опытам Девиссона и Джермера.

Как было показано, дебройлевская длина волны электронов в этих опытах была равна по порядку величины О, 1 нм, При отражении электронов от кристалла происходит их рассеяние на атомах, находящихся в узлах кристаллической решетки; расстояния между узлами решетки по порядку величины также равны 0,1 пм; именно поэтому в опытах Девиссона и Джермерв наблюдалась отчетливая дифракционная картина. Прн увеличении энергии частиц длина волны уменьшается.

Дебройлевская длина волны электронов, ускоренных до энергии 1 ГэВ, равна всего 10 ~з см. Волновые свойства таких электронов не проявляются при 'Термин «квантовая механика» используется чаше. чем зквнвалентный ему термкн волновая механика».

ГЛАВА 1 л 2тй 6 6. 0- " 6 6 10-20 10 10 Даже у такого небольшого макроскопического объекта, как пылинка, длина волны де Бройля оказывается неизмеримо меньше размеров самого объекта. !!икакие волновые свойства в таких условиях, конечно, проявиться не могут. Применение волновой механики вместо классической приводит в этом случае только к запутыванию задачи, так же как применение волновой оптики для расчета даже самого простого объектива, ничего не изменяя в результате, делает расчет почти безнадежным. 9 3.

Свойства волн де Бройля Волновая функция. В предыдущем параграфе было установлено,. что распространение микрочастиц происходит так, как если бы их движение описывалось волнами. Известно, что распространение фотонов, т.е. распространение света с круговой частотой св и волновым вектором 1с' описывается плоской волной Ю(г,г) = Ае (1.19) В выражении (1.19) заменим св и )с, используя формулы (!.1), и (1.15): тр(г, Г) = А ехр~ — т (Еà — рг)1. й (1.20) Волновой функцией (1,20) фотона является плоская световая волназ; для частиц волновая функция (1.20) является ил о ской вол ной д е Б р о й л я. В квантовой механике волновую функцию ~асто называют пси-функцией, Волна де Бройля (!.20) является волновой гНаправлеяне вектора 1с совпаласт с направлением распространения волны, а его числовое значение равно волновому числу А = 2ну'Л.

ав оптике вместо коьнмексной в-функини 0.20) часто иснолшуют кействнзеэюную часть выражения 0,20), При комплексной записи показатель экспоненты в оптике обычно записывают без знака минус. рассеянии от кристаллов, так как г!» Л, но при рассеянии от объектов с Ь = 10 ~з см эти свойства снова оказываются существенными, Рассчитаем теперь длину дебройлевской волны у какого-нибудь макроскопического объекта, например у пылинки, считая, что ее масса т = 1 мг, а скорость ы = 1 мкмУс: б 3. Свойствд волн дв Бгойля функцией (ф-функцией) частицы, имеющей определенную энергию и импульс (и, следовательно, распространяющейся в свободном от сил пространстве).

Волновые функции распространяются, интерферируют и дифраеируют по обычным оптическим законам, Рис. 12. Распределение электронов по фотопластинке: а — при иеболыпом числе электронов, б — при большом их числе. Вероятностный характер волновых функций. Может возникнуть мысль, что волновые свойства проявляются только у большого количества частиц, когда одновременно летит много фотонов или электронов. Но это не так. Были проделаны опыты (Биберман, Сушкин, Фабрикант), в которых электроны проходили через рассеиватель (тонкую металлическую пластинку) по одному и каждый рассеянный электрон регистрировался фотопластинкой.

Отдельные электроны попадали при этом в различные точки, на первый взгляд беспорядочно разбросанные по всей фотопластинке (рис. !2 а). Однако после рассеяния большого количества электронов обнаружилось, что точки попадания электронов на пластинку распределены не случайно, а образуют максимумы и минимумы интенсивности (рис. (2 б), положение которых может быть рассчитано по дифракционным формулам. Так как электроны при этом рассеивались и регистрировались поодиночке, следует признать, что движение каждого отдельного электрона определяется полной дифракционной картиной; если бы зто было не так, электроны попадали бы, например, в минимумы распределения, чего не происходит.

Как же нужно понимать связь между волновой функцией и частицей, между световой волной и фотоном? Борн предложил рассматривать амплитуду А световой волны или волновой фушсции (!.20) как а ми л и т у д у в е р о я т и о с т и' нахождения фотона или частицы в некотором месте пространства; выражение «амплитуда вероятности» нужно понимать в том смысле, что вероятность нахождения фотона или ча- 'Более точное определение амплитуды вероятности даве в й 5. Гллвл 1 стицы равна не А, а ~А'з. В оптике принято говорить об интенсивности света, а не о вероятности нахождения фотона в заданной точке пространства. Если рассматривать пучок, содержащий большое количество фотонов, то интенсивность света в каждом данном месте пропорциональна вероятности нахождения фотонов, так что при большом числе фотонов или частиц эти два понятия отличаются коэффициентом пропорциональности. Световая волна определяет не только фазу и относительную интенсивность, но и абсолютную интенсивность света.

В отличие от этого ф-функция сведений оо абсолютной интенсивности не содержит. Она определяет распределение одного (т.е. каждого) фотона. Вероятностный характер волновой функции отчетливо проявляется в опытах по дифракции электронов при очень малой интенсивности пучка (рис. 12). Как уже указывалось, поведение каждого электрона определяется всей дифракционной картиной, но описывается вероятностным образом, Невозможно предсказать заранее место попадания на фотопластинку отдельного электрона. Но при увеличении числа рассеянных электронов их распределение все меньше и меньше отличается от закона распределения вероятности, т.е. от ~А з. Вероятностный смысл ф-функции нередко понимается неправильно.

Нельзя считать, что микрочастица, в согласии с классической физикой, всегда находится в одном месте, но это место нам неизвестно, и волновая функция указывает вероятность найти эту частицу в разных точках пространства. Так обстоит дело в классической кинетической теории газов, где предполагается, что у всех частиц во всякий данный момент времени есть свае место, но частиц много, уследить за всеми невозможно, и единственный реальный путь заключается в том, чтобы вычислить вероятность распределения частиц.

Такая точка зрения противоречит явлению интерференции, Не имеет никакого смысла рассматривать по принципу Гюйгенса наложение волны, идущей от той точки, где частица действительно присутствует, и волны от точки, где частицы нет. Интерференционный расчет предполагает полное равноправие всех точек, в частности равноправие обеих щелей в опыте с двумя щелями. Дело обстоит так, как если бы электрон был «размазап по пространству в соответствии с ьд-функцией. Представление о размазанном электроне очень часто оказывается полезным, на полностью квантовомеханическим представлениям не отвечает.