Л.Л. Гольдин, Г.И. Новикова - Квантовая физика. Вводный курс, страница 10

'Рассмотрим. например, средний импульс и средний квадрат импульса у частицы, импульс которой с равной вероятностью принимает значения а и Ь. Средний импульс частицы равен (а Ь Ь)72. Квадраты импульса частицы в первом и втором состояниях равны соот- как и должно быть. Конечно, такой простой результат возникает не всегда. Он получился здесь потому, что в состоянии, описываемом простой волной де Бройля, импульс и кинетическая энергия имеют вполне определенные значения. Средние значения этих величин совпадают с этим единственным значением. Покажем, что для достаточно крупных, классических объектов сформулированное правило вычисления операторов обеспечивает выполнение обычных законов классической механики.

Для крупных объектов неопределенности координат и импульсов оказываются несущественными по сравнению с размерами и импульсом самого тела. ф-функции таких тел и распределения по другим физическим переменным крайне узки. Практически следует считать, что эти величины имеют одно-единственное, «классическое» значение (которое, конечно, может быть измерено с помощью опыта). Средние значения физических величин поэтому совпадают с этим единственным значением, Рассмотрим в качестве примера связь между энергией и импульсом какого-нибудь большого тела. В соответствии с (2.22) и (2.18) его средняя энергия равна $ 6.

Опврлторы При очень узких распределениях, когда средние значения совпадают с единственными, формула дает что находится в согласии с классической физикой. Найдем оператор полной энергии частицы. Этот оператор называется оператором Гамильтона Й (по аналогии с гамильтонианом классической механики). С помощью обычных правил получим (2. 28) При выводе была использована формула (2.22). Оператор потенциальной энергии Гг, как оператор всякой функции координат, равен самой функции. Найдем, наконец, оператор момента импульса.

Будем исходить из формулы классической механики 1 ) к! М=,'гхр) = х у Ра Ру Р Выпишем в явном виде оператор проекции момента импульса на ось -: ЛХ, = тр„— УР = х( — И вЂ”,) — у( — тй —,) = — тй(х —, — у —,). ду дх ду дх Перейдем к сферическим координатам г, д, со, связанным с декартовыми координатами х, у, а соотношениями (рис. 18) "= гсозд, х = тяп дсозд, у = гяпдяттсо.

(2 24) С помощью (2.24) выразим частную производную по ьо через производные по декартовым координатам; д дх д ду д дз д д. дгп дх дуо ду ду д- = — гзшдзшу —, гяпдсозР—, = — у —, +х —, д ., д д д дх ду дх ду' ветственно оа и Ьа. Средний квадрат импульса (аа — Ьа)/2 не равен квадрату среднего импульса '(а - Иггз) 1ЛАВА 2 50 Сравнивая это выражение с формулой для М.-, найдем ~ГХх = — И вЂ” ' 11 дэ2 (2,25) (Е) =- 1 ф*й! Т =- 1 ф*(т + ХЭ)фа — — 1 А*Т! гПг+ 1 '*Ой г)р; или (2,26) (Е) —.. (Т) — (Ег), Среднее значение полной энергии равно сумме средних значении кинетической и потенциальной энергии.

Это утверждение не эквивалентно утверждению классической физики о равенстве ч и с л о в ы х з на ч е н и й Е и Т+1Х. При обсуждении этого различия следует помнить, что кинетическая энергия зависит от импульса, а потенциальная энергия — от координат частицы. В силу соотношения неопределенностей потенциалшгая и кинетическая энергия частицы не могут одновременно иметь определенных значений, так что простое числовое равенство в духе классической физики невозможно. Формула (2.2б) показывает, однако, что классическая связь сохраняется между средними значениями Е, Т и ХХ. Формула (2.2б) может быть легко обобщена.

Повторяя рассуждения, которые предшествовали этой формуле, нетрудно показать, что из операторного соотношения Вид оператора ЛХ, похож на вид операторов для проекций импульса (2.19). Этому не следует удивляться. В аналитической механике показывается, что уэ и ЛХ, являются обобщенной координатой и обобщенным импульсом.

В квантовой механике играет больРис. 18. Связь декартовой и сферической систем коорди- шую роль оператор квадрата момента имнат. пульса ЗХ . Он имеет, однако, сложный вид, , 2 и мы в этой книге им пользоваться не будем. Вернемся к формуле (2,23) для опера- тора полной энергии. Найдем с помощью этой формулы связь между средними значениями полной, потенциальной и кинетической энергий: з?. СОвственные сОстояния возникает равенство (А) = (В) + (С) (2.26') для средних значений.

Остановимся на связи между средним значением некоторой величины х (не обязательно координаты!) и средним значением ее квадрата ха. Всякое конкретное значение х может быть представлено в ниде суммы среднего значения этой величины и некоторого добавка Лх: х = (х) + Ьх. Возьмем среднее от обеих частей равенства.

Так как среднее значение суммы равно сумме средних значений (это следует из (2.!)), то немедленно получим (Ьх) = О. Найдем теперь среднее значение х~: (х ) = (((х) + етх) ) = (((х ) + 2(х) Ьх — (тзх) )):, (х) и (х) — это числа. Их средние значения равны им самим. По той г же причине среднее значение 2(х)Ьх равно нулю. Имеем поэтому (2.27) Среднее значение положительной величины (Ьх)в (она носит название д и с и е р с и и) не может быть отрицательным и обращается в нуль в том единственном случае, когда Ьх тождественно равно нулю, т.е.

когда нет никакого распределения, и величина х в условиях поставленной задачи точно определена (и поэтому выражается некоторым определенным числом). Формула (2.27) указывает критерии, позволяющий во всякой конкретной задаче проверить, имеет ли интересующая нас физическая величина некоторое распределение или является числом. Для этого достаточно сравнить (хв) и (х) . ф 7. Собственные состояния Среди задач о нахождении ьмфункций частиц в различных состояниях особенно важна задача о состояниях, в которых какая-нибудь. величина имеет вполне определенное значение.

Такие состояния принято назь1вать собст вен н ы и н состояниями этой физической величины. Мы пока встречались с единственной 6-фун1кцией такого рода — с волной де Бройля вида ехр(г — 'х), описывающей состояние, (,д'' й?. Совствспныв состояния Уравнения типа (2.28), вообще говоря, являются уравнениями в частных производных. Математика учит, что для однозначного решения таких уравнений нужны дополнительные ограничения, например граничные и начальные условия.

Условия, которые накладывает квантовая механика на решения уравнений (2.28), имеют несколько другой характер: физический смысл могут иметь лишь решения всюду конечные, однозначные, непрерывные и гладкие. В качестве примера с помощью (2.28) найдем тнфункцию состояния, в котором проекция импульса р, имеет определенное значение р Подставляя в (2.28) в качестве оператора ?' оператор проекции импульса — юй —,, получим д дл' Этому уравнению (и всем необходимым условиям!) удовлетворяет функ- ция ф =- С ехр(г — х), й являющаяся хорошо известной плоской волной. Выясним теперь, какая связь существует между операторами физических величин и числовыми значениями этих величин, наблюдаемыми на опыте. Произведем опыт по измерению какой-либо физической величины ?.

В результате опыта возникает некоторое число — измеренное значение величины г'. Пусть при измерении обнаружилось, что г" имеет значение (гь Это не означает, что до опыта значение величины / равнялось ?о; эта величина могла иметь, некоторое распределение, из которого эксперимент выбрал найденное значение ?о. Поскольку, однако, это значение найдено, состояние системы после опыта описывается ф-функцией с определенным значением г, т.е. функцией, являющейся решением уравнения,?тйь = ?очч. Мы можем поэтому утверждать, что на опыте могут быть найдены лишь такие значения ?о величины ?, при которых (2.28) имеет решения, удовлетворяющие сформулированным выше требованиям. Функции, являющиеся решением уравнения (2.28) и удовлетворяющие условиям конечности, непрерывности, однозначности и гладкости, называются собственными функциями оператора ?; те значения гв, при которых такие решения существуют, называются с обес т в е н н ы м и з н а ч е н и я м и физической величины ?.

Таким образом, набор собственных значений для оператора ?' определяегп значения ?о, которые могут быть найдены из опьгта при измерении физи гееной величины ?. 54 1ЛАВА 2 При исследовании (2.28) нередко оказывается, что конечные, однозначные, непрерывные и гладкие решения могут быть найдены не при всех, а лишь при некоторых дискретных значениях зо. Набор собственных значений физической величины иногда оказывается непрерывным, а иногда дискретным: )оы Да, Дз,...