Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики, страница 8

Волны де Бройля. Групповая скорость где г — радиус-вектор произвольной точки пространства, г — время. Частота этой волны ы и ес волновой вектор й связаны с энергией н импульсом частицы темп же уравнениями, которые справедливы н для квантов света, т. е. Е=-лга, (7.2) (7.3) Это — основные уравнения де Бройля. Мы имеем здесь делос историческим ходом идей, обратным тому, который ведет к квантовой теории света.

Для света мы имели первоначально волновую картину Мы не предполагаем здесь следовать историческому развитию квантовой механики и, в частности, излагать тот, сам по себе не лишенный интереса путь аналогий между механикой и оптикой, который привел де Бройля н позднее Шредингера к установлению исходных пунктов волновой (илн, как теперь чаше называют, квантовой) механики.

Если не касаться тех сторон первоначальной теории, которые в настоящее время имеют липаь историческое значение, то основная мысль де Бройля заключается в распространении основных законов квантовой теории света (1,1) и (1.2) на движение частиц. Именно, со всякой свободно движущейся частицей, имеющей энергию Е и импульс р, де Бройль связывает плоскую волну чр (г, г) — г.'ен0н — В">, (7.1) Э 7! волны дв вяопля. ггэпповхя скогость 37 и в квантовой теории дополнили ее корпускулярной, вводя представления об импульсе и энергии кванта света.

Напротив, для частиц (электронов, атомов и т. п.) мы имеем в качестве исходного пункта классическое представление о движении частиц и по идее де Бройля, переходя к квантовой теории, дополняем эту классическую корпускулярную картину представлениями волновой теории, связывая с движением частицы волновой процесс с частотой ы 2л н длиной волны Х =,-— 'к ' Подставляя в (7.!) ы и (с нз (7.2) н (7.3), мы получим новое выражение для волны (7, !), в котором будет в явной форме установлена связь частоты и длины волны с корпускулярными величинами: энергией частицы Е и ее импульсом р ф(г, () =Се (" (7.

1') Такую волну мы будем называть в о л н о и д е Б р о й л я. Вопрос о природе этих волн и о толковании значения их амплитуды С мы отложим до следующей главы, так как этот вопрос вовсе не является простым. На первый взгляд может показаться, что движение волны (7.1) не может иметь никакой связи с механическими законами движения частиц. Однако это не так. Чтобы усмотреть эту связь, обратимся к рассмо~рению основных свойств волны де Бройля.

Ради упрощения расчетов выберем направление оси ОХ, совпадающее с направ. пением распространения волны; тогда вместо (7.!) мы будем иметь (7.4) ф(» г) =Семы их' Величина ы! — )гх представляет собой фазу волны. Рассмотрим некоторую точку х, где фаза имеет определенное значение а.

Коор. дината этой точки определяется из уравнения и =- ы! — Йх, откуда видно, что значение фазы х будет с течением времени пере. мещаться в пространстве со скоростью и, которую мы получим, диф. ференцируя предыдущее равенство по 1: (7.5) Эта скорость называется фазовой. Если эта скорость зависит от Уг, а следовательно, и от длины волны Х (так как ) =- 2п'й), то имеет место дисперсия волн. В отличие от электромагнитных волн, для волн де Бройля существует дисперсия в пустом пространстве. Этс обстоятельство вытекает из уравнений де Бройля (7.2) и (7.3).

Действительно, между энергией Е и импульсом р существует определенная связь. ОснОВы кВлнтОВОН теории зй ггл 1 Именно, согласно теории относительности, при скорости частицы Оч-,,*с (с — скорость света), т. е. в области применимости ньютоновской механики, энергия свободно движущейся частицы равна Е=+)Ггпаче'+рэсдс пггр+ р + ..., (7.6) 2юо где пго — масса покоя частицы'). Подставляя это значение в (7.2) и выражая р' через гга, получим т,сэ ййэ А 2лгю (7. 7) и, следовательно, и = ю!гг есть функция й. Перейдем теперь к установлению связи движения волны сдвижением частицы. Для этого мы рассмотрим нестрого монохроматическую волну (?.4), имеющую вполне определенную частоту и длину волны )ь = 2л?н, а почти монохроматическую волну, которую мы будем называть г р у п п о й в о л н.

Под группой волн мы будем понимать суперпозицию волн, мало отличающихся друг от друга по длине волны и направлению распространения. Для простоты мы рассмотрим группу из волн (7.4), распространяющихся в направлении ОХ. Согласно данному определению группы волн мы можем написать для колебания чр(х, () следующее выражение: а, -~- ла ф(х, г) = ~ е(е)еггэг выпггг, (7.8) м — ле 2н где !го= — есть волновое число, около кбторого лежат волновые л, числа волн, образующих группу (Лй предполагается малым). Разлагая частоту ю как функцию гг (см. формулу (7.7)) по сте- пеням й — й,, получим в! н!е+( ) (г гО)+ Й ге+()г го), гггой 'гагг г'е Взяв й — й, в качестве новой переменной интегрирования й и считая амплитуду с(гг) медленно меняющейся функцией К найдем, что тр(х, г) может быть представлено в виде ф(х, !) =с(/га)е гв,! — а,г! ~ е ~! наь ~ г$ Выполняя простое интегрирование по й, найдем мп Ц(„-~~) г- 1ла() ф(х, !)=2с(гг) „" е'и"" а"'=с(х, г) е""' '"'.

(79) ') В иерелятивистской теории энергия всегда определяется вплоть до аддитивной постоянной. Поэтому энергию покоя частицы ягэсэ, при определении кинетической энергии, обычно опускают. ВОЛНЫ ДЕ ВРОИЛЯ. ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ эп 39 Так как под знаком синуса стоит малая величина ЛФ, то с(х, Т) будет медленно меняющейся функцией времени 1 и координаты х, поэтому с(х, 1) момсно рассматривать как амплитуду почти моно- хроматической волны, а (сор1 — йрх) — как ее фазу. Определим координату х, где амплитуда с(х, 1) имеет максимум. Эту точку будем называть ц е н т р о м группы волн.

Очевидно, искомый максимум будет находиться в точке х=(д,) 1. Отсюда следует, что центр группы будет перемещаться со скоростью У, которую мы найдем, дифференцируя предыдущее равенство по (; именно, ) =Я,-). (7.1О) Эту скорость мы будем называть г р у ппо вой скоростью (в отличие от скорости фазы, равной озер).

Если бы рассматривае- мые волны не обладали дисперсией, то мы имели бы (Г = и. В случае волн де Бройля из-за дисперсии у" ~ и. Вычислим, пользуясь (7.7), групповую скорость У: йо аь да рь' Согласно (7.3) М = — р, с другой стороны, р = яро, где и — скорость частицы. Поэтому мы приходим к важному выводу: у' =- о. (7. 11) Итак, групповая скорость волн де Бройля равна механической ско- рости частицы о. Полученные нами соотношения (7.!О) и (7.11) могут быть легко выведены для распространения волн в любом направлении по отно- шению к осям ОХ, ОГ', ОУ. Предоставляя этот вывод читателю, приведем здесь лишь окончательный результат: ды дЕ ды дЕ дрр дЕ дэ,, дрр ' " дар' дРУ ' ' дьем др, ' или в векторной форме 'АГ =- Чьы =Т7РЕ = у.

(7.11') Вычислим для двух случаев длину волны де Бройля. Из (7.3) следует, что 2л 2па (7.12) Ограничиваясь случаем малых скоростей о ~ с и пользуясь равенством Е = —, мы получим РР 2ма 2па Р 2ноЬ' (7.12') ОснОВы ВВ!нтовоп ТСОРНН 40 !гл. ! Эта формула позволяет вычислять длину волны )., зная массу и!„ и энергию частицы Е.

Применим эту формулу к электрону. В этом случае )и,= 9 10-"г. Выражая энергию электрона в эв, для чего положим Е = ег', где е — заряд электрона, а Р' — ускоряющая электрон разность потенциалов, измеренная в вольтах, мы найдем УГ!00 А (7.13) 2лле д (7.!4) Для протонов или мезонов, при энергии Е =- !Π—: 20 Гэо, Х = = 1,26.!О " —: 6,3 10' " см.

С помощью таких коротких волн можно изучать внутреннюю структуру элементарных частиц. Идея о связи движения частицы с движением волны была столь чужда установившимся в механике представлениям, что казалась чистой фантазией, и только опыт мог заставить принять ее как ценный вклад в науку. В каких же явлениях следовало искать подтверждения нли, напротив, опровержения представления о волновых явлеш!ях при движении частиц? Независимо от природы волн существ) ет совокупность явлений, присущих только волнам. Это — явления дифракции и интерференции. Оба явления обусловлены сложением волн с определенными фазами и амплитудами, и их существование вытекает из самой природы волнового движения. Поэтому для проверки идеи де Бройля следовало обратиться к опытам, в которых можно было бы обнаружить эти явления, оперируя с частицами.

Из оптики известно, что явление дифракции только в том случае заметно, когда расстояние между штрихами дифракционной Для Р' =- 1 эв получаем Х:= !2,2 А, для Р == 10000 эв получаем Х = О,!22 А. Вычислим длину волны для молекулы водорода, имеющей энергию 6 10 " эв, что равно средней энергии молекулы водорода при температуре 300'. Масса молекулы равна 2 1,66 с 1Осм г. Подставляя эти величины в (7.!2'), найдем ).

= !А. Как видим, длина волны де Бройля очень мала; она тем меньше, чем больше энергия частицы и ее масса. Практически, например, совсем не удается получить длину волны Х, равную длине волны видимого света, так как уже с электронами, обладающими энергией в 1 эв, весьма трудно экспериментировать, а при Х = = 10 ' см мы имели бы дело с электронами, энергия которых равна всего лишь 1,2 !О ' эв.

В современных ускорителях получают частицы очень высоких энергий. Следовательно, такие ускорители можно рассматривать как источники волн крайне короткой длины. Если энергия частицы много больше энергии покоя Е )) т„с', то из (7.6) имеем Е= рс и, следовательно, длина волны в этом случае равна диФРАкция микРочлстиц 5 а! 4! решетки сравнимо с длппои волны дифрагпруюших волн. Если делать опыты с электронами, то согласно приведенному выше расчету длина волны де Бройля по порядку величины равна 1 А, а для атомов еще меньше. Поэтому условия для наблюдения дифракции электронов прил«ерно таковы же, как и условия для наблюдения дифракции рент~сионских лучей, так что подходящей дпфракционной решеткой могут быть лишь кристаллы, где расстояние между «штрихами» вЂ” атомами кристалла, по порядку величины равно 1 А. Опыты, подтвердившие правильность точки зрения де Бройля, будут кратко изломсены в следующем параграфе.