Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики, страница 124

Поэтому индекс п в (84.8) теперь имеет смысл двух индексов 0 и л, как это и написано в (6). Непрерывный индекс се представляет теперь два индекса р' и й', как это указано в (7). Далее, коэффициенты с, согласно (84.9) и (84.10) '), суть линей- ') Мы будем опускать индекс (1) у с"', дабы избежать громоздких обо. аиачеиий. ДОПОЛНЕНИЯ ные функционалы от начальной функции лр„(х).

Поэтому в решаемой сейчас задаче коэффициенты будут линейными функционалами от Ф;,о и Ф,л. Эти соображения позволяют написать полную волновую функцию нашей системы в момент времени ! в виде Ф(0, х, ()=Фо(!е, х)+Ф+Я, х, !)+Ф-(Я, х, (), (8) где функшш Ф" и Ф- определяются формулой Ф-((), х, !) =р)с —,о,(()Фр,л,(о, х)е нрр'+олен с'р'гй', (О) Здесь Е;=- — есть кинетическая энергия шарика после того, ал как он выброшен из углубления ео = — — энергия частицы 2М после рассеяния. В начальном состоянии эти величины равны соответственно И Е=Ео, ео= —. 2М ' Вводя обозначение Л2=Е,+ел — Ер — ео, (1О) (1 1) получим, согласно (84.!3), р — ! — па~ срл (1)- (12) где — мм от мр В'р — оз о, л=-К ~ фр'Ф) =бй — х)фо(ф —,— ~(Яг(х, (13) Г' 2п !'2п й'+ р' +.

й — О. (18) Далее, из закона сохранения, который, конечно, соблюдается в нашем случае (система консервативная!), имеем (йО-й)(й+й)=2РЕо- М Р". откуда для малых !л и больших М следует (й' — й) (й'+ й) О. (17) Выполняя интегрирование по х и замечая, что в области, где лро(Я) отлично от нуля, функция фр Я) аппроксимируется волной й!рке-'р'о, получим после интегрирования по !',! компоненту Фурье от лро(!',!).

Эта компонента принадлежит гармонике с волновым числом, равным д = А'+ р' -и й: %'е = ду,'"ор, (/г'+ р';ь й), (14) Для неглубокой и полной ямки лро(д) отлично от нуля лишь около д=О, т, е. хие ВЗАимодеиствие микРОчАстицы с мАкРОскопическим телол> ббз Сопоставляя это с (15), найдем й'=->ей, р'=+ 2>1. (18) Иными словами, мпкрочастнца упруго отражается от шарика, передавая ему импульс ~с2й, что и следовало ожидать в этом случае. Пользуясь формуламп (9), (12) и (14), получаем следующее выражение для волновых функций Ф вЂ” (Я, х,.>): Ф вЂ” (я, х, ()= — ~д е '( +'А) ~ >>>>;ф,(р'+е'->->е)х )К2п х ф, (Я) е"" г(р' >(й'.

(19) Главный вклад в интеграл (19) идет от окрестности резонансной точки Й=О. В окрестности этой точки имеем 11 =Ее+ар — еА — Е +(Ер — Е;) = Š— Е„= = еА> (Р' — Р' ) = ~~ (Р— Р') =о(Р— Р'), (20) где р есть значение импульса шарика после рассеяния, и — его скорость.

Введем теперь новые переменные интегрирования г= Ы, — = — е(р', »г ы (2!) >) == р'+ й'+ й =- й' + й+ р — — ', >(>> =- И'. ы ' (22) После выполнения интегрирований по» и г получим из (19) Фе(Я, х, >) = — е >(~'+'А)' — г В ~Ъ(х)е>РΠ— ЦР:А>кЕ( — ), (23) где последний множитель равен Е )= 1 е "' >(е. Π— к 1 '1 1 — е->к — — '(О-к> (24) Этот интеграл есть разность двух разрывных интегралов .(О-') ( — Е) (- + — О) (25) причем ->- к еы- ( 2л>', а)О, У(а) = 1 — е(г=~ .> к >( — 2п>', а С О.

В силу множителя ф,(х) функции Фе Я, х, Г) исчезают при х~) а. т. е. вне ямки. Поэтому проще всего проанализировать 664 дополнения формулу (25), положив там х = О. Заметим, что для Ф" о ) О, а для Ф- о<0. Поэтому, если 9<0, то Ф'=О, если же оГ)Я)0, то г"= — 4ти', наконец, при <~)И Р опять равно нулю. Для функции Ф- таким же путем получим, что вне интервала о( < Я < 0 г = О. Построим теперь матрицу плотности для нашего случая: рф, х; Я', х', ~)=Ф*Я, х, 1)ФЯ', х', ().

(28) Сюда следует подставить волновую функцию (8), заимствуя Ф+ и Ф- из (23). Нетрудно убедиться, что при /Я~, /Я'~-~со все члены, содержащие множители Ф,(Я, х), исчезают как е ьч или е '". Далее, интерференционпые члены Ф"Ф- исчезнут из-за свойств функции г" (, ~. Поэтому для 1 — со и )9(, )Я')~а получим два неисчезающих члена р(г), х; я', х', г) = = Ф" (Я, х, ~) Ф'((7, х', ()+ Ф-* (Я, х, Г) Ф-(('„Г, х', ~). (27) Таким образом, участие в рассматриваемом явлении макроскопического шарика привело к разрушению когерентности состояний гр'(х) (2). Из свойств функции Е( ) следует также, что при Я, (~'-э.со и при Г-~ос в (27) остается только первый член, свидетельствующий о том, что шарик покатился направо.

При Я, (7-~- — со остается лишь второй член, т. е. шарик упал налево. Таким образом, рассмотренный детектор действительно различает знак импульса, переданного ему от микрочастицы, и тем самым позволяет осуществить задуманное измерение: определить знак импульса микрочастицы до ее рассеяния.

.