Д.И. Блохинцев - Основы квантовой механики, страница 7

Рассмотрим два состояния какой-нибудь системы, например атома. Одно обозначим буквой пц а другое буквой и. Энергия первого состояния пусть будет Е, а второго Е„. Для определенности пред- о,>~ положим, что Е ) Е„, так что состоя- 1> ние и принадлежит более высокому квантовому уровню Е, нежели состояние и, принадле>кащее квантовому уровню Е„. Опыт показывает, что система может сама собой перейти из высшего состояния и в низшее п, испуская квант света ла> = Š— Е„с частотой а>= Рис.

6. Характеристики и»- имеющий, кроме того, определенную по- лученни. ляризацию и распрастраняющийся внут- Ь и Ь вЂ” двв невввнсиммн нери телесного угла е(1« (рис. о). Любую по- ' и»велении волн»нввмии. ляризацию для заданного направления распространения света мы момсем представить как сложение двух независимых поляризаций 1, и 1„перпендикулярных друг к другу.

При переходе Е„, — » Е„может быть излучен квант света либо с поляризацией 1„либо с поляризацией 1,. Поляризацию мы будем отмечать индексом а (а = 1,2). Вероятность перехода л> — л Еен — Ен в 1 сек, с излучением кванта частоты а>= " " внутри телес- а ного угла с(1«с поляризацией а, мы обозначим через е()Р'„' = ал „с(1«.

(5.1) Эту вероятность называют вероятностью «спонтанного» (самопроизвольного) перехода. Возмомсности такого перехода в классической теории соответствует излучение возбужденного осциллятора. Если имеется излучение, окружающее атом, то оно оказывает воздействие на атом в двух отношениях. Во-первых, это излучение может поглощаться, причем атом будет переходить из низшего состояния и в высшее >и. Вероятность такого перехода в 1 сек обозначим через е(Ю'„.

Во-вторых, если атом находится в возбужденном состоянии лт, то внешнее излучение может способствовать переходу атома в низшее состояние л так, что вероятность излучения увеличится на некоторую величину с()Р'„". Эту добавочную вероятность мы будем называть вероятностью и н д у ц и р о в а н н о г о ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ТСОРНИ 32 «гл.

1 (или в ы н у ж д е н н о г о) перехода. Оба типа переходов имеют аналопно в классической теории: осциллятор, находящийся под влиянием внешнего излучения, может как поглощать, так и излучать энергию в зависимости от соотч«оше««ия фазы его колебаний и фазы световой волны. Согласно сказанному полная вероятность излучения равна г(Ф'„== ЛГ;+ г(Ф'„". Вероятность поглощения г((Р', и вероятность вынужденного излучения «((Р' по предположению Эйнштейна пропорциональны числу квантов света как раз того сорта, о поглощенпи и излучении которых идет речь. Определим это число. Излучение может быть, вообще говоря, не монохроматическим, иметь различное направление распространения и разную поляризацию. Для определения характера излучения мы введем величину р„(«», 11) г(«» г(«1, дающую плотность энергии излучения, имеющего направление распространения в пределах телесного угла д«2, поляризапи«о а и частоту, лежащую в пределах «», ы + г(«».

Так как энергия кванта равна йы, то число квантов света с частотой в пределах <», ы — , '«(«», которые распространяются в телесном угле Ж1 и имеют поляризацию а, равно (на 1 сма) Ра (м, «2) ~«» ««2 Ьо На основании замечания о пропорциональности между числом квантов и вероятностями поглощения и вынужденного излучения мы можем положить ««)У'„= Ь„„р„(«», «2) г(«2, б(У~," = Ь„",„р.

(~>, и) би. Величины а"„,„, Ь,"',, Ь;,„называются д и ф ф е р е н ц и а л ь и ы м и коэффициентами Эйнштейна. Они зависят только от рода систем, излучающих и поглошающих свет, и могут быть вычислены методами квантовой механики (см.

5 88). Однако можно сделать некоторые общие заключения о свойствах этих коэффициентов без их вычисления. Рассмотрим условия, при которых осуществляется равновесие между излучением н поглощением. Пусть число атомов, находящихся в возбужденном состоянии т, есть и, а число атомов, находящихся в низшем состоянии, — и„. Тогда число квантов света, излучаемых в 1 сек при переходах т- и, будет равно п,» (г()р;+ «()р';), а число поглощаемых в 1 сек квантов при переходах и- ш, будет равно п„«((к',. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ КВЛНТОВХЯ ТЕОРИЯ ИЗЛГЧЕЮШ зз В условиях равновесия число актов поглощения должно равняться числу актов испускания, т, е.

п„г((г'и =- л (г(%';+ гт ). Подставляя сюда г()Р", из (5.1) и г()Гп, 1()Р' из (5.2) и (5.3), найдем после сокращения на г!(з: ПпЬпара (а! ()) = Пт [(! пара (а1, т1) +О~па~ (5.4) (причем ы = ы и). Допустим, что мы имеем дело с тепловым равновесием. Тогда числа атомов в различных состояниях будут ф)нкциями температ)ры Т. Вместе с тем и плотность излучения р (В1, ()) должна быть функцией температуры.

Это будет плотность излучения, находящегося в равновесии с веществом при температуре Т, т. е. плотность черного излучения. Свойства черного излучения, как известно, ие зависят от конкретных свойств вещества, с которым оно находится в равновесии. Поэтому все выводы, которые будут сделаны па пути исследования черного излучения, имеют общее значение. Именно этим обстоятельством и воспользовался Эйнштейн, чтобы установить соотноше- ИИЯ МЕжау КОЭффИЦ1ЮНТВМИ па~а Оиа Кла В Обшвм ВИДЕ. Соотношение между числами атомов, находящихся в различных сос!ояниях, мы можем определить с помощью статистики.

Ооычно (см., например, й 51) какому-нибудь квантовому уровню Еп отвечает несколько различных состояний кван~оной системы. Число таких состояний („ называют стат исти нес к им в е с о м илп степенью вырождения. Согласно каноническому распределению, справедливому как для классических, так и для квантовых систем, число атомов й!„, находящихся в состояниях с энергией Е„будет равно Еп Л'п =сонэ( "Г„е "' (5.5) где )г — постоянная Больцмана. Если нас интересует число атомов, находящихся в каком-либо одном из состояний, принадлежащих энергии Еп, то на основании того же распределения будем иметь Еп ~~п Пп = — В = СОПЗ( Е 1п Подставляя пп и л„из (5.5') в (5.4) и сокращая на общую постоянную, ПОЛ) ЧИМ е е л Г т () Т) г» ЛГ !((!" О (а1, (), T)+П" а1' (5.5') причем мы ввели в р в качестве арг)мента еше "мп'Р"УРУ' так как при тепловом равновесии, как уже указывалось, плотность ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРНИ !Гл ! равновесного излучения зависит от температуры.

При Т заа плотность излучения должна неограниченно возрастать, т. е. р -л ао, Из (5.6) при Т -+ аа получаем первое важное соотношение: Ьла = Ьла (5. 7) На основании этого соотношения, замечая еще, что Š— Е„= = лаз, мы получаем из (5.6) (5.8) зг ата Чтобы определить отношение †„ , Эйнштейн остроумно воспольЬта зовался тем обстоятельством, что при высоких температурах, т. е.

при ВТ)) гззз, полученная квантовая формула (5.8) для плотности равновесного излучения должна переходить в классическую формулу Рэлея — Джинса. В самом деле, классическая формула для плотности равновесного излучения выводится в предположении, что излучение частоты аз может иметь сколь угодно малую энергию. По квантовой же теории наименьшая энергия такого излучения есть йьз. Если ВТ =. -Тззз, то величину гзза сможно считать малой, и тогда основная предпосылка классической теории будет выполазз непа.

Из (5.8) при —. ~~1, разлагая в ряд езг, получаем (5.1 !) а" „кт (5.9) С другой стороны, классическая формула Рдея — Джинса дает для плотности равновесного излучения следующее выражение: (5.!О) Как мы пояснили, для йТ -Р гззз обе формулы (5.8) и (5.10) должны совпадать. Поэтому, сравнивая (5.9) с (5.10), находим — — )ВВ = Š— Е„. Вл Виззз ' Эта важная формула позволяет вычислить один коэффициент по другому, так как полученное отношение не зависит от рода вещества (как это и должно быть), а зависит только от частоты излучения.

Вставляя найденное отношение в (5.8), получаем окончательную формулу для плотности равновесного излучения: «ззз (5.12) зг З 61 ЧЕРНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ $ 6. Черное излучение Интегрируя р,(ез, 11, Т) по полному телесному углу (11 = 4п) и суммируя по обеим поляризациям (а = 1,2),мы получим плотность излучения р(гп, Т), приходящуюся на интервал частоты г», пз + йгп, независимо от направления распространения и поляризации. Согласно (5.12) равновесное излучение изотропно, т. е. не зависит от направления распространения, и одинаково для обеих поляризаций.

Поэтому мы получаем р(ез, Т) =8пр„(нэ, 1з, Т), (6.1) т. е, плотность равновесного излучения частоты пз при температуре Т равна яезз р(нэ, Т) = —,, и (6.2) е — 1 аг Эта формула дает спектральное распределение энергии черного излучения и впервые была установлена Планком. На рис. 7 приведены графики этого распределения для разных температур Т.

В области йгп (( (ЕТ закон Планка совпадает с клас- 7717 сическим законом Рэлея — Джинса, который для р (гн, Т) имеет вид р„, (еэ, Т) = — йТ. (6.3) В области больших квантов рдп=-ееТ, М ам Ет' ~~ 1 из имея в виду, что (6.2) получаем а (О Р(ез, Т)= — „,е "'. (6,4) Формула Рэлея — Джинса выводится из рассмотрения света как непрерывных волн. Формула (6.4) может быть получена, если свет рассматривать 7Л7' как газ, состоящий из частиц с энер- Л7б17' гней, равной е = йгп. Первая картина есть волновая картина света, вто- у), гглР/ рая — корпускулярная картина. Обе Рис. 7. Распределение энергии картины являются недостаточными: и спектре черного излучения формула Планка не соответствует ни дли различных температур. той, ни другой.

Легко видеть, что волновая картина применима в той области, где кванты света малы, а число их велико; напротив, корпускуляр- е ОСНОВЫ КВАНТОВОИ ТЕОРИИ ~гл, ! ная картина справедлива в той области, где кванты велики, а число их невелико. Действительно, число квантов в 1 сма в рэлеевской области (Ьа, ~ Й7) в интервале частот от ыт до ы, + г(ы есть р„.,(мь Т)лм ЬТ м, (6.5) а в области йы, ~~ л7 (виновская область) оно равно Вон (6.5') Отношение г(М, к И', равно Ь,1 "~-"=-е ВГ Й)~ ВТш, (6,6) При Йга,',~лТ вЂ”,'~~1. ам., ф 7.