Termeh (Курс теоретической механики - МГТУ, 2005. В. И. Дронг, В. В. Дубинин, М. М. Ильин), страница 8

Следует отмеппь, что уравне- г(г) ние движения в форме (1.50) определяет текущее положение точки именно на траектории, при этом мо- Й жет быть установлена взаимно однозначная связь между значениями Рис. 1.9 61 координаты з и радиус-вектором точки М в той системе отсчета, в которой определена в рассматриваемом случае траектория движения точки (см.

рис. 1.9). Тогда радиус-вектор точки может быть представлен в виде функциональной зависимости от параметра з в виде г = г(л). (1.51) Прежде чем находить скорость и ускорение при раасматриваемом способе задания движения точки, определим естественную систему осей и ее векторный базис, т. е. систему трех единичных векторов, задающих положительное направление этих осей.

Первая ось естественной системы — ось, касательная к кривой (траектории) в данной точке М, может быть определена как предельное положение секущей, проходящей через две близлежащие точки М и М, кривой, когда расстояние между этими точками стремится к нулю. При этом положительное направление касательной оси следует принимать в направлении возрастания значений дуговой координаты и Задавать это направление оси можно с помощью единичного вектора т, касательного к траектории в данной точке. Исходя из 11.51), этот вектор можно определить так: аг аз Единичный вектор Т всегда направлен по касательной к траектории в направлении возрастания значений дуговой координаты ж Вторая ось естественной системы, которая называется нормальной осью (нормалью), расположена в соприкаса$ащейся плоскости. Она перпендикулярна касательной к траектори)1 в точке и направлена в сторону вогнутости траектории точки это главной нормали.

* Определение соприкасиощейся плоскости дано в 1.1 и 1.2 как предельное положение плоскости, проходящей через касательные в точке М и вблизлежащей точке М, на кривой прн ее предельном сближении с точкой М. Там же показано, что в этой плоскости находятся скорость и ускорение точки. 62 Здесь следует напомнить, что производная от единичного вектора т по скалярному аргументу з есть вектор, перпендикулярный т и направленный по нормали к касательной траектории движения точки в сторону ее вогнутостн.

Модуль этой производной равен кривизне кривой в данной точке: а'г~ где р — радиус кривизны траектории в данной точке. Тогда единичный вектор п, задающий положительное направление нормальной оси, может быть определен так: 2 д 2 Вектор й лежит в соприкасающейся плоскости и направлен по главной нормали в сторону вогнутости траектории к центру ее кривизны в данной точке. Третья ось естественной системы называется бинормальной осью (бинормалью). Она перпендикулярна к касательной и нормальной осям, а ее положительное направление можно найти по единичному вектору бинормали Ь, который определяется как результат векторного произведения единичных векторов 'ги й в виде Ь =тхй,!Ь )=1.

Таким образом, векторный базис т, й и Ь определяет положительные направления соответствующих координатных осей в каждой точке траектории. Оси естественной системы (касательная [т1, нормаль [и) и бннормаль [Ь|), построенные в точке М траектории, образуют естественный трекеранник. Грани его, определяемые каждой парой пересекающихся осей, совпадают с соприкасающейся (т, и), нормальной (п, Ь) н спрямляющей, или касательной, (Ь, т) плоскостями (рис.

1.10). При движении точки М по своей траектории естественный трехгранник с вершиной в точке М также движется и ориентация его граней и осей, их образующих, изменяется в пространстве. 63 Нормкльнал плоскость Рис. 1ЛЕ Теперь можно перейти к определению скорости при естественном способе задания движения точки. Согласно основному определению скорости (1.1) и (1.51), пр с(р пл ар Р— Я, й сЬ й тЬ или, с учетом определения единичного вектора т = с( гг/Их, (1.52) Из (1.52) следует, что проекция скорости точки на ось, касательную к траектории точки, равна Очевидно, что р = Гт = п,т . При и, =з>0 точка движется в положительном направлении отсчета з, а при т, = х < 0 — в противоположную сторону.

Модуль скорости, т. е. ее численное значение, при естественном способе задания движения точки определяется так: о = Я = Ц = (Я( . Для ускорения на основании (1.3) имеем Нй т((о,Т) с(п, с)т „, с(т а = = ' = — 'т+о,— =Ут+х —, Ы т)г Ж тй Дг аИ сЛ ~6 сй 1 где — = — — = — -и . й ая аг й р Таким образом, ° 2 8 а =кт+ — и, (1.55) или У 2 а =т,т+ — й. Р Из (1.53) следует, что ускорение представляет собой сумму г касательной У т и нормальной а„= — й составляющих Р (рис.

1.11): а=а, +а„. Ряс. 1.11 Полученный результат подтверждает вывод о том, что вектор а лежит в соприкасающейся плоскости (т, и) (см. 9 1.2). Проекции ускорения на оси естественной системы координат (касательную, нормаль и бинормаль) равны а,=а т=У=9,; Я» ° 2 2 а„=а.й= — = —; (1.54) Р Р аь=а б О. Модуль проекции ускорения на касательную ось характеризует изменение скорости по величине, а знак показывает соответствие направления касательной составляющей ускорения направлению единичного вектора т, т.

е. выбранному положительному направлению отсчета к Проекция ускорения на нормаль всегда неотрицательна и характеризует изменение скорости только по направлению. Если точка на криволинейном участке траектории движется с постоянной по модулю скоростью (» = сопят), то она все же будет иметь ускорение, направленное по нормали и определяющее изменение направления вектора», так что в этом случае а1» н а = а„. Очевидно, что а, = а,т, а„=авп, а, 1л~„, и модуль ускоре- а= /а, +а„. (1.55) Положительное направление нормали всегда принимаепи в сторону вогнутости траектории точки в соприкасакипеясл плоскости. Характер движения точки по траектории (ускоренный или замедленный) можно определить, исходя из знака скалярного произведения ускорения и скорости: в случае а. » = ат»т > 0— движение точки ускоренное (Ф > 0 ), при этом а, и» направлены в одну сторону; в случае а» = аз»т < 0 — движение точки замедленное (»< О), при этом а, и Р направлены в противоположные стороны.

При а,(г) =— 0 движение точки равномерное (Я = сопзГ), в этом случае при движении по криволинейной траектории а =а„и а1». Заметим, что проекции ускорения на касательную (а, = у = =»,) и на ось, совпадающую по направлению с вектором » (а„= р), равны по модулю, т. е. ~а,~ = ~а„~. Текущее значение пути Е(1), пройденного точкой по траектории, и закон движения точки по траектории з(1) также могут совпадать (с точностью до знака), но только в случае, если начало отсчета пути соответствует такому моменту времени гс, при котором з(го) = О, и за рассматриваемый промежуток времени г — (о пРоекпин скоРости на касательнУю не менала своего знака. Тогда можно записать ЦГ) = )з(1)) = ~т(1)п(1.

Пример 1.3. В задаче, сформулированной в примере 1.1, дополнительно определить закон движения точки М по ее траектории. Решение Согласно приведенному в примере 1.! решению, движение точки М происходит по траектории, являющейся частью параболы, расположенной нал осью Ох (см. рис. 1.4). Примем начало отсчета криволинейной координаты з в точке О и будем считать положительным направление, соответствующее направлению перемещения точки вверх по параболе. В рассматриваемом случае в течение всего времени движении перемещение точки происходит по трае«торин в положительном напранлении (проекции скорости на оси координат т, = 2Ьг, т = с не меняют своего знака). Следовательно, закон движения точки по тра- и- )ч)ь.

° в-,'Я -~ды7" ' ~~ -. о числения интеграла получаем Значения констант Ь и с даны в примере 1.1. Пример 1.4. Движение точки М происходит в плоскости Оху по окружности радиусом й = 1 м согласно закону з(1) = с з(п(Ьг), где с = и/2 м, Ь = 1 с ', с— время в секундах. Начало отсчета (точка М„) и положительное направление отсчета координаты з(МсМ) заданы на рис.1.12. Для момента времени й = х/б с найти скорость и ускорение точки М, показать их на чертеже, Решение.

Положение точки на окружности удобно определять через значения центрального угла а, опнраощегося на дугу окружности нМеМ с длиной, равной и а = з(з)/Л . (1.5б) Положительные значения угла в данном случае будем откладывать от горизонтального диаметра против направления движения часовой стрелки, а отрицательные по ее ходу. При этом диапазон изменения дуговой координаты -сбябс, поэтому а =-«/2, а «/2, так что траекторией является лишь правая половина окружности, выделенная на рнс. 1.12 жирной линией. Рис.