Termeh (Курс теоретической механики - МГТУ, 2005. В. И. Дронг, В. В. Дубинин, М. М. Ильин), страница 10

2З. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси Вращением твердого тела вокруг неподвижной оси (нли просто вращательным движением) называется такое движение твердого тела, при котором в теле можно выделить прямую, все точки которой будут оставаться неподвижными во время движения. Эта прямая называется осью вращения твердого тела. Очевидно, что для ее задания достаточно укюать как минимум две неподвижные точки в рассматриваемом теле, через которые она проходит. Алгоритм задания вращательного движения может быть определен на основе следующего анализа.

Введем неподвижную прямоугольную декартову систему координат Охуг и аналогичную подвижную систему координат ОЛУУ, жестко связанную с рассматриваемым телом, расположив оси Ог и ОУ на оси вращения тела (рис. 2.4). Пусп в начальный момент времени оси коорщшат подвижной и неподвюкной систем совпадали. Тогда положение врапрющегося тела относительно неподшжной системы координат в любой текущий момент времени однозначно определится значением дяугранного угла <р между неподвижной плоскостью Озх и поденка 75 Рис. 2.4 ной плоскостью ОА2', вращающейся вместе с рассматриваемым телом.

Таким образом, при вращении вокруг неподвюкной оси тело имеет одну степень свободы, так как его положение в неподвижной системе координат Охуг однозначно определяется значением одного скалярного параметра — угла гр. Уравнение, определяющее изменение этого угла как функции времени, общего вида ч= р(г) где гр(г) — непрерывная дважды дифференцируемая функция времени, называется законом врспцения твердого тела вокруг неподвижной оси . Убрал е также может быть углом между любой неоодвюкной плоскостью, прохсдюдей верю ось вращеиив, и подвюкной, савввнной с телом и глюке проходвщей через указанную ось пжккостью. 7б Отношение изменения угла поворота тела вокруг неподвижной оси к промежутку времени Л~ называется средней угловой скоростью вращения тела: Жр ф(~+ Ьг) — ф(г) Ьг Ь| Предел этого отношения при Лг-эО называется угловой скоростью вращениятела вмоментвремени и Фф, оф ф= — = 11ш —.

~ф ь~-~0 ~1г ' Здесь ф — скалярная алгебраическая величина, которая может принимать положительные и отрицательные значения. На чертеже угол поворота тела и направление угловой скорости принято условно изображать дуговыми стрелками. При этом за положительное направление отсчета угла ф обычно при- нимают направление, противоположное направлению вращения часовой стрелки, если смотреть с положительного направления координатной оси, совмещенной с осью вращения тела. Это, в частности, соответствует так называемой правой декартовой системе координат. Угловую скорость можно определить и как вектор оз, расположенный на оси вращения и равный го=фа, где 1с — единичный вектор, задающий положительное направление оси вращения, или орт оси Ог (рис.

2.5). Проекция вектора угловой скорости на ось вращения Оя озг =аз~ =ф1 т. е. она равна угловой скорости вращения тела. Положительные направления отсчета ф, ф и оси Оя соответствуют правой декартовой системе координат. Численное значение угловой скорости оз равно модулю вектора оз и определяется как модуль проекции го, либо как модуль угловой скорости тела при его вращении вокруг неподвижной оси: тт Единица измерения угловой скорости в СИ вЂ” радиан в секунду (рад/с). Ряс. 2.5 Изменение угловой скорости тела во времени характеризуется его угловым ускорением.

Угловым ускорением тела называется первая производная от угловой скорости или вторая производная по времени от угла поворота вокруг неподвижной оси: И<р Игр Ф= — =— ,й2 а2 ' где ф — скалярная алгебраическая величина. Как векторную величину угловое ускорение можно определить так: 25 Ив й= — =фк. й Проекция углового ускорения на ось вращения Ог е, =як =ф, т. е. она равна угловому ускорению тела. Положительные направления отсчета ф, ф, ф и оси Ог соответствуют правой декартовой системе координат. Значение (модуль) углового ускорения =!1 =!'1=М Единица измерения углового ускорении в СИ вЂ” радиан на секунду в квадрате (рад/с ).

На чертеже угловое ускорение условно изображают дуговой стрелкой, направленной при ф > 0 так же, как и стрелка, задающая положительное направление отсчета угла ф, и противоположно при ф < О. Угловое ускорение можно также изображать в виде вектора, расположенного на оси вращения и совпадающего по направлению с осью вращения Ог при с, = ф > О нли направленного в противоположную сторону при е, = ф < 0 (см. рис. 2.5).

Векторы в и е являются скользящими векторами, расположенными на оси вращения тела и не имеющими на ней конкретной точки приложения. Вращательное движение называется ускоренным, если производная от модуля угловой скорости положительна (Нв/й > О), и замедленным, если эта производная отрицательна ( йо/са' < 0 ). Эту характеристику можно дать также исходя из знака скалярного произведения в.е: при в.а=аз,е, =фф>0 вращательное движение будет ускоренное, а прн в й =в,е, =фф < 0 — замедленное; при е(1)мО тело вращается равномерно, в этом случае а= сопя~.

При вращательном движении твердого тела траектории всех точек этого тела являются окружностями, лежащими в плоскостях, перпендикулярных оси вращения. Центры всех этих окружностей лежат на оси вращения, а радиусы равны кратчайшему расстоянию 79 от этих точек до оси вращения. На рис. 2.6 для точки А тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Ог, показана ее траектория— окружность радиусом Ь, а также единичные векторы й, й, Ь естественной системы осей, причем вектор бинормали Ь направлен так же„как единичный вектор Ь на оси Ж Запишем радиус- вектор й этой точки, проведенный из точки 0 на оси вращения г =00~ +О,А, где 001 =001Ь; О,А= — Ьй, причем 001 = сопят . Скорость точки А определим в виде Ай Ай Р = — = -Ь вЂ” .

Согласно правилу дифференцирования вектора й й й'й постоянного модуля (В.87) в данном случае — = — фт, так что пг Г=Ьфт. Поскольку т =л х Ь =йхЬ, то Г=ЬфйхЬ =фЬ х(-Ьй) = =фЬ х(00~ Ь вЂ” Ьй). Внтогеполучаем (2.1) т=гьщхг. Ряс. 2.6 во Формула (2.1) называется векторной формулой Эйлера. Численное значение (модуль) скорости точки тела при этом определится как модуль соответствующего векторного произведения, т. е. ч=~вх~~=вгзш(в,р)=вй .

Скорости точек при вращении вокруг неподвижной оси направлены по касательной к окружности радиусом Ь в соответствии с направлением угловой скорости тела. Направление вектора ч можно определить, исходя вз свойств векторного произведения (2.1). Ускорение точки А тела ач й(вхр) йв йр а= — = = — хг+ в х —.

Аг аг Аг аг В последнем выражении а в/аг = а, й Р/Аг = Г. Следовательно, а = а х р+ в х ч, (2.2) Слагаемые в правой части выражения (2.2) представляют собой касательную (тангенциальную) а, =ах Р и нормальную а„= в х ч = в х (в х г) составляющие ускорения точки. Действительно, направление а„исходя из векторного произведения в х Р, будет определено как направление вектора, касательного к окружности радиусом Ь в точке А, ат =Ьфг. На рис. 2.б видно, что зто направление также соответствует направлению углового ускорения тела.

Модуль касательного ускорения точки в 'данном случае равен ~а,~ =Их ~ =егз1п(в, Р) =ай. (2.3) Вектор а„всегда направлен по нормали к траектории точки А в сторону ее вогнугости (к оси вращения тела, перпендикулярно к ней). Модуль нормального ускорения точки ~а„! = а„= (в х ~ = вч з)п(к/2) = в~6 . (2 4) Полное ускорение точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, а =а, +а„.

Вектор р лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения тела (см. рис. 2.6), а его численное значение (модуль) определяется по формуле В1 ='/ ° + =Л ьь) )+( М =ьЛ . (2.5) Таким образом, можно сделать вывод, что модули скоросгпей и ускорений точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, прямо пропорциональны кратчайшему расстоянию от них до оси вращения, причем, чем дальше находится точка от оси вращения, тем больше ее скоросгпь и ускорение. Пример 2 1. В механизме, изображенном на рис. 2.7, связь тел 1 и 2 с неподвижным основанием осуществляется с помощью цилиндрических шарниров О н О,, а тела 3 с телами 1 и 2 с помощью цилиндрических шарниров А и В соответственно.

Тело 4 перемещается в вертикальных направляющих М и Ф н не проскальзывает относительно тела 2 в точке Е. Известно, что ОА=О,В= =Ь= 02м, ОО = АВ=А=04м, ВР=е=05м, Я=05Ь, АВЗ.ВР. Движение стержня 1 задается уравнением изменения его угла поворота вокруг оси Оз, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости чертежа в внле В(!) = Ьг- г! -л, где Ь = 2л рвд/с; с = Зл/4 рад/с; 1 — время в секундах. 3 2, Для момента времени 1, =! с определить угловые скорости и угловые ускорения тел 1 и 2, а также скорости и ускорения точек А, Р, Е и тела 4. Все найденные кинематические параметры движения тел и точек показать на чертеже (включая траектории точек А и Р ).