Termeh (Курс теоретической механики - МГТУ, 2005. В. И. Дронг, В. В. Дубинин, М. М. Ильин), страница 6

1.3. Положение точки М в пространстве с использованием данной системы координат задается ее координатами х, у, г. Чтобы знать положение точки в пространстве в любой момент времени необходимо иметь уравнения движения точки в виде х = х(~), у = у(1), г = г(~) . Рис нз Выражения (!.6) представляют собой уравнения движения точки в декартовой системе координат и одновременно являются уравнениями траектории точки, записанными в параметрической форме, где параметром является время а Чтобы найти уравнение траектории в форме непосредственной зависимости между координатами х, у, г, из системы уравне- 45 ний (1.б) необходимо исключить время. В таком случае траекто- рию будет определять, например, система уравнений вида с у,(х,у)ж0, у (х,г)=0.

(1.7) Следовательно, траектория представляет собой линию пересечения цилиндрических поверхностей, уравнения котор(дх составляют систему (1':7). В частном случае задания движения точки на плоскости Оху, например в виде уравнений движения х = х(с), у = у(с), уравнение траектории будет г(х,у) = о. (1.7 ) Следует также заметить, что траекторией точки может быть не вся кривая, описываемая (1.7) или (1.7 ), а только ее часть„соотвесссвующая физически реализуемому процессу и положительным значениям времени с. Проведем из начала декартовой системы координат (см.

рис. 1.3) радиус-вектор г точки М и выразим его через коордннаты точки и орты с, 7',А этой системы координат, составляющие ее векторный базис. С учетом уравнений (1.6) будем иметь г = х(с)с' + у(с) х + г(с))с . (1.8) 46 Из (1.8) следует, что координаты точки есть проекции ее радиус- вектора на оси декартовой системы координат, т. е. х = Р . с, у = Р у', г = Р )с . (1.9) Соотношения (! .8) и (1.9) устанавливают взаимный переход от задания движения точки в декартовой система координат к векторному способу и наоборот.

На основании (1.1) и (1.8) скорость точки, при задании ее движения в декартовой системе координат, определится так: р = г = х(с)1' + у(с) 7х + г(с)/с . (1.1О) В (1.10) производные х, у, г, т. е. коэффициенты при с, у', Рс, имеют смысл проекций скорости точки на оси декартовой системы координат. Действительно, вх жй с'=х(С), з =Р ° ух=У(С), к, =Р ° ( =г(С). (1.1!) Таким образом, в рассматриваемом случае скорость точки представляет собой сумму составляющих векторов, параллельных осям декартовой системы координат: Р=р, +и +Рк, где Р„= к,г~ Рл = ру /, Ре = «.К, а ее численное значение (модуль) определится по формуле (1.12) Представление о направлении веатора р можно получить по значениям направляюшик косинусов углов, которые составлвет этот вектор с осями декартовоя системы координат: сов я = т~ /т, соя р = кт /у, созу = т. /у .

Здесь а, 13. у — углы, которые составляет вектор Р с осями Ох, Оу и Ол соот- ветственно. На основании (1.3) и (1.8) формула для расчета ускорения примет вид й = го = х(/)К+ у(г) /'+ л(Г)Е, (1.13) проекции ускорения на оси декартовой системы координат будут а, =й.г' =х=к„;а =а /'=у=»; а„=а А' =У=в„(1.14) составляющие ускорения, параллельные осям координат, определятся как а, =а„1;а =а /;й, =а,/г, а численное значение ускорения будет равно модулю вектора а: (1.15) Представление о направлении ускорения можно получить по значениям направляющих косинусов углов, которые составляет вектор а с осями декартовой системы координат: сова=а,/а, сов1)=а /а, сову=а,/а .

Проекцию ускорения на ось, совпадающую по на(травлению с вектором Р, для определения характера движения точки (т. е. ускоренно или замедленно она движется) можно в данном случае найти, согласно (1.4), в виде 47 хУример 1.1. Движение точки задано на плоскости в декартовой системе координатуравненилмидвижениявида х=Ьз; у=сс,где Ь=1м/с; с=1м/с.

Определить траекторию точки, а также для момента времени с =!с найти и изобразить на чертеже ее скорость, ускорение и их составляющие,в декартовой системе координат. установись характер движения точки (ускоренное или замедленное) для данного момента времени. Реизелиа Исюпочив из уравнений двюкения время, получим уравнение траектории точки в виде х=(Ь/сз)уз, что соотвстпшует уравнению параболы (рис. 1.4).

Траекторией будет являтьсл лишь часть параболы, расположенная выше оси абсцисс, так клк координата у при 1 с 0 может быть только неотрицательной, т. е. у с О. Проекции скорости и ускорения точки на осн декартовой системы координат, согласно(1.11) и (1.14), имеют вид: т„= 2Ь1; г = с; а, = 2Ь; а = 0 . Для з=1с получаем х=1м, у=1м, та=2м/с, т =1м/с, а„=2м/с а = О.

Составляющие скорости т„, Р и ускорения а„точки, а также ее скоросп т н ускорение а изображены на рис. 1.4. Модули скорости и ускорения равны т= Я+за =~Г5ч 2,23м/с; а= ~а~+а~ =зГ4=2м/с О Рис. 1.4 На чертеже видно, что угол между векторами т и а меньше 90', так что движение точки следует считать ускоренным ( а, > 0 ). Действительно, в данном случае при г 1с ,(т а,т„+ а т а„= — = — — х —, а„=1,79м/с . й У 48 Задание двилгсения точки в полярной системе координат Если движение точки происходит в некоторой плоскости, то иногда целесообразно использовать полярную систему координат.

Положение точки М в ней определяется координатами г н гр, являющимися скалярными величинами (рис. 1.5). Расгжьпожение нолярной оси (луча, проведенного на плоскости из некоторой точки 0) выбирают в плоскости движения точки, исходя из удобства решения задачи. Полярныйродпус г — скалярный неотрицательный параметр, равньгй длине отрезка ОМ т. е. расстоянию от начала координат (точки 0) до точки М.

Полярный угол <р — зто угол между полярной осью и линией ОМ При отсчете угла гр за положительное принимают направление, противоположное направлению движения часовой стрелки. Ортами полярной системы координат, составляющими ее векторный базис, являются единичные векторы га и ро. Первый из них направлен из начала координат О к точке М и задает положительное направление радиальной оси Ог. Второй ему перпендикулярен, находится путем поворота первого на 90' против направления движения часовой стрелки и определяет положительное направление трансверсали, т. е.

поперечной оси Ор, перпендикулярной радиальной оси (см. рис. 1.5, а) . Орты полярной системы координат г„и рс являются подвижными, изменяющими свое направление с изменением угла <р. Для задания движения точки в полярной системе координат необходимо иметь уравнения движения в виде г = г(г); (1.16) гр = 1р(г).

Система (1.16) является также параметрической формой записи уравнения траектории точки. Если из (1.16) исключить время, то уравнение траектории можно получить в форме * Как будет показано далее, для общего случая криволииейньа координат, частным случаем которых явлюотся полярные координаты, начало ущпанных на данном рисунке осей и единичных векторов может быть отнесено и в текущее положение точки на траектории ее движения (см. рис.

1.5, б). лаас1а ~(г,ср)=0. (1.17) В полярной системе координат радиус-вектор точки, проведенный из центра О, равен г = гг н, согласно (1.16), выражается так: г =г(1)го. (1.18) х Р) Р О О Рис. 1.5 р= о = — гг +г — о- (1. 19) а1 сй с(г В (1.19) производную а'го /аг, согласно правилу дифференцирования вектора постоянного модуля (см.

формулу В.87), можно определить так: а~го йр Р сй ся' С учетом (1.20) выражение (1.19) примет вид (! .20) Р= — го+г — Ро. (1.21) Из (1.21) следует, что вектор Р представляется в виде суммы двух векторов, каждый из которых является составляющей скорости по направлению, задаваемому векторами го и ро соответственно. Первое слагаемое в (1.21) называется радиальной составляющей, а второе — трансверсалоной составляющей скорости точки: ог = гго1 гр =гсРРо (1.22) 50 Уравнение (1.18) соответствует векторному уравнению движения точки в форме (1.5).

Тогда на основании (1.1) скорость точки Проекции скорости на радиальную и трансверсальную оси имеют вид то = т '* Рр = " ' Ро = т9 (1.23) По знакам проекций к, и тр можно установить направления составляющих скорости (1.22) по отношению к направлениям радиальной и трансве)веальной осей или единичных векторов т и р соответственно. Так как составляющие скорости в (1.22) взаимно перпендикулярны, то ее модуль к= /р„'+кр' . (1.24) Согласно (1.3) и (1.21), ускорение точки Й1у й (тто + тфро) ° о(Г с(1 Отсюда можно получить й = — (тр +тфр ) =тто+тто+ тфро+тЯо+зтрро (125) о о В правой части выражения (1.25), согласно правилу дифференцирования единичных векторов (В.87), то =фро, ро = — Фто. Таким образом, й =(т — тф )1о+(т(р+2тф)Ро (1.26) Из (1.26) следует, что ускорение точки также можно представить в виде суммы двух слагаемых: а=а,+а„, тле а„=(т — тф )то, а, =(зтР+2тф)Ро — Радиавьнал и трансвер- сальная составляющие ускорения точки соответственно.

Проекции ускорения на радиальную и трансверсальную оси, задаваемые единичными векторами т, и р„найдутся так: Следует заметить, что в рассматриваемом случае направления осей проецнровання, задаваемые направлениями единичных векторов то н ро, изменяются в пространстве с течением времени, поэтому в отличие от'(1.13) проекции ускоренна на направления этих осей не равны пронзводным от проекций скоростей нате жеосн: а„хо,; ар хр 51 а„ =ар = г' †у, а = а рс =г(р + 2рф . (1.28) Так как составляющие ускорения в (1.27) взаимно перпендикулярны, то его модуль а»х Га, + а' .

(1.29) Для определения характера движения (ускоренное или замедленное) точки по траектории следует найти проекцию ускорения на ось, совпадающую по направлению с вектором т . В соответствии с (1»4) сЬ а р а„т,+пррр ,(т, +тр Если полагать, что полярная ось ОР совпадает с осью Ох декартовой системы координат и движение точки происходит в плоскости Оху, то уравнения для перехода от задания движения точки в полярной системе координат в форме (1.16) к заданию ее движения в декартовой системе координат в виде (1.6) будут выглядеть так; х = г(г)соя[в(г)1; у = г(г)з!п[и(г)1.