Termeh (Курс теоретической механики - МГТУ, 2005. В. И. Дронг, В. В. Дубинин, М. М. Ильин), страница 9

1.12 Проекция скорости точки М на касательную г, = 8 = сЬ соя(Ь!) . Проекции ускорения точки М на касательную ось и нормаль соответственно равны [сЬсоз(Ы)[' а =У=-сЬ зш(Ьг), а = — = % й р Вмоментвремени 1=0 =«/бс а=«/4, г, =«~/3/4»1,3бм/с, а, =-«/4» » -0,785 м/с, а„= 3 «з/1 б» 1,85 м/с . Положение точки на траектории, касательная и нормальная оси, а также скорость и ускорение точки М показаны на рис. 1.12. Так как т, > О, то векюр Р направлен по касательной к траектории в положительном направлении касательной оси, а касательная составвпощвя ускорения а„поскольку а, < О, — в противоположном направлении.

Нормальная составлаюцшя ускорения а„направлена по нормали от точки М к точке 0',. Полное ускорение точки М а а, +а„совпадает с диагональю прямоутольнюа, построенного на векторах а, и а„как на сторонах (ае. рис. 1.12). Модуль ускорения а = Д+ аз» 2,01 и/с . Пример 1.5. В задаче, решаемой в примере 1 4, перейти от естественного способа задания движения точки М к заданию ее движения в декартовой системе координат Оху (см. рис. 1.12). Рассмотреть также движение точки в полярной системе координат, полярная ось которой совпадает с осью Ол декартовой системы координат.

Записать уравнения траектории точки М в этих системах координат. Реииниа Согласно чертежу, приведенному на рис. 1.12, геометрические соотношения для декартовых координат точки М имеют вид х=Я+Ясоза; у=Яз)пег. Уравнения движения точки в декартовой системе координат, с учетом (1.56), можно записать так: х = Я+ Ясов[э(г)/Я]; у = Яз(п[з(г)/Я], где закон движения точки по траектории г(г) имеет вид, приведенный в условии задачи нз примера 1.4. Уравнение траектории в данном случае можно получить в форме (х-Я) у Яз Яз При этом следует учесть диапионы изменения декартовых координат точки: Яьхь2Я; -ЯяуэЯ.

На рис. 1.12 видно, что полярный угол а = а/2, а полярная координата г равна длине отрезка ОМ, являющегося стороной равнобедренного треугольника ОО М . Из этого треугольника находим ОМ = 2Ясоз~р. Таким образом, уравнения движения точки М в полярной системе координат имеют вид г = 2Ясоз[з(г)/(2Я)]; ф = ю(г)/(2Я) . Уравнение траектории будет г = 2Ясозч. При этом диапазоны изменения полярных координат точки М следующие: з/2 Я Я г Я 2Я; — и/4 я ф я и/4 . Читателю предоставляется возможность самостоятельно решить вопрос о целесообразности и трудоемкости определения кинематических характеристик движения точки в задачах, рассмотренных в примерах 1.1 — 1.5, для разных способов задания ее движения. Глава 2 ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 2.1.

Степени свободы и теорема о проекциях скоростей Кинематика твердого тела — раздел кинематики, в котором изучают кинематику абсолютно твердого тела. Основным свойством твердого тела является неизменность расстояния между любыми его точками. В кинематике форма твердого тела не влияет на кинематические параметры его движения, и в данном случае можно использовать аксиому неограниченного расширения тела, полагая, что в движение вместе с ним увлекаются любые точки из примыкающей области пространства, так что их также можно отнести к рассматриваемому твердому телу.

Задачи кинематики твердого тела сводятся к разработке способов задания его движения, определению на этой основе характеристик движений самого тела и отдельных точек, ему принадлежащих. Для задания движения твердого тела необходимо прежде всего установить число степеней свободьб т. е. минимальное число независимых скалярных переменных, в совокупности однозначно определяющих положение материального тела в пространстве .

В гл. 1 данного раздела показано, например, что для однозначного определения положения точки в пространстве в общем случае надо знать три ее координаты (декартовы или криволинейные), и, следовательно, свободная материальная точка имеет три степени свободы. При движении на плоскости трабуются две Эги переменные называотся также еевещеппими координатами. 70 координаты, однозначно определяющие положение точки на этой плоскости; в этом случае материальная точка имеет две степени свободы. Наконеп, при движении точки по заданной траектории одна координата определяет ее положение на траектории; в этом случае точка имеет одну степень свободы. При задании движения твердого тела следует исходить из того, что его положение в пространстве можно считать определенным, если известно положение трех его точек, не лежащих на одной прямой, например А, В, С (рис.

2.1). В таком случае для однозначного определения положения твердого тела в пространстве необходимо знать по три координаты каждой из этих точек, т. е. для точек А, В и С нужно знать х„, у„, г„, хв, ув, гв хс, ус, гс. Однако все эти девять параметров нельзя считать независимыми, так как координаты тех же точек твердого тела будут связаны тремя уравнениями, вытекающими из условия неизменности расстояния между точками в твердом теле: (хв -хв)'+(ув -ув)'+(гв -гв) =Цв' (хв — хс) +(Ув — Ус) +(г„— гс) =ьвс,' (хс хв) +(Ус Ув) +(гс гв) =ьвсз где Ь„в, Е„с, Евс — расстояния между соответствующими точками в теле. Ряс.

ЗЛ 71 Таким образом, можно сделать вывод, что число степеней свободы для свободного, т. е. ничем не ограниченного в своем движении, твердого тела в общем случае его перемещения в пространстве равно шести (Зх 3-3 = 6). При этом в качестве независимых параметров могут выступать как любые шесть независимых координат точек А, В, С и (или) их комбинаций, так и шесть других независимых скалярных переменных, конкретный перечень которых будет определен при рассмотрении этого вида движения твердого тела.

Кроме общего случая движения твердого тела могут быть выделены и другие его виды, характеризующиеся некоторыми отличительными признаками, позволяющими выделить их из всей возможной совокупности движений. Простейшими движениями являются: поступательное движение твердого тела и его вращение вокруг неподвижной оси, более сложными — плоское и сферическое движения, а также общий случай движения твердого тела. Для любого вида движения твердого тела справедлива теорема, которую иногда называют основной теоремой кинематики твердого тела. Теорема 2.1.

Проекции скоростей точек тела на ось, совпадающую с прямой, проходящей через них, равны. Доказательство. Выделим в теле две точки А и В, положение которых в пространстве определяют радиус-векторы г, и гв соответственно (рис. 2.2). Тогда вектор АВ можно записать в виде "в гв При возведении в квадрат левой и правой частей этого выражения получим (гв — гв ) = (АВ) где 1 = АВ; Р =1~; 1=ГАВ~ =сопзг — расстояние между точками А и В в рассматриваемом твердом теле.

Дифференцируя по времени последнее соотношение, получаем аг Ыг 2(гв 'л ) "~ й йг! 72 О гл О гв Так как в этом равенстве — =к, — =Р, г — г =1, то А' 1 В' В А после замены имеем 21(Р — г„) = О, или 1Р — — 1к„. Рис. 2.2 Раскрывая скалярное произведение векторов и сокращая на 1, получаем кв соя~3= в„сола, где а и ~3 — углы между скоростями соответствующих точек и Ф осью 1, направленной по прямой АВ (см. рис.

2.2). Таким образом, сформулированную выше теорему можно считать доказанной. 2.2. Поступательное движение твердого тела Поступательным движением твердого тела называется такое его движение, при котором прямая, прокодяи1ая через любые две точки в энгом теле, будет оставаться параллельной своему первоначальному положению во все время движения . Заметим, что при этом траектории точек тела могут быль любыми и иметь форму прямой, окружности, пространственной кривой и т.

д. Для идентификации этого вида движения достаточно, чтобы указанный признак выполнялся для любых двух непараллельных прямых, проведенных через точки рассматриваемого тела. 73 Примерами поступательного движения служат движения контактной рейки трамвайного пантографа относительно вагона, кабины колеса обозрения в парке относительно земли, ступеней эскалатора относительно пола в метро и т. д.

Свойства поступательного движения: 1) траектории всех точек тела, совершающего поступательное движение, конгрузнтны, т. е. одинаковы, и могут быть получены одна из другой параллельным переносом; 2) скорости всех точек тела одинаковы; 3) ускорения всех точек тела одинаковы. Этн выводы можно подтвердить на основании следующего анализа. Для двух любых точек А и В тела, совершающего поступательное движение (рис.

2.3), можно записать соотношение га — — г +АВ, где АВ=сопз1 — вектор, имеющий постоянные модуль и направление во время движения, так что траектории точек А и В как годографы соответствующих радиус-векторов г,, и га оказываются смещенными в любой момент времени одна относительно другой на одну и ту же величину в одном и том же направлении, что и доказывает первое свойство. Рис. 2.3 74 Дифференцируя левую и правую части приведенного вьпле векторного соотношения и учитывая, что с(АВ/й = О, получаем а'Ре/й=а'гл/й, или Ге =ч,.

Дифференцируя по времени левую и правую части полученного соотношения для скоростей, находим ар (Й=а7„)й, или ав =а„. На основании вышеизложенного можно сделать следующий вывод: чтобы задать движение и определить кинаматические характеристики тела, совериилощего поступательное движение, достаточно задать движение одной его любой точки (полюса) и найти ее кинематические характеристики. Как и материальная точка, тело при его поступательном движении будет иметь одну степень свободы при движении по направляющей, задающей траекторию его точкам; две степени свободы в случае движения на плоскости (при постоянном контакте с ней хотя бы одной точкой) и три степени свободы в общем случае движения в пространстве.