Termeh (Курс теоретической механики - МГТУ, 2005. В. И. Дронг, В. В. Дубинин, М. М. Ильин), страница 3

Из (В.24) имеем выражение для косинуса угла между векто- рами А иВ: — — А.В А,В, +А В +А,В, сов(А, В) — — ' ' . (В.25) АВ АВ Если А 1.В,то А,В, +АУВУ+А,В, =О Рассматривая выражение (В.2), видим, что л л А1 =Асов(А,Т)=А.1 сов(А,1)=А $, (В.27) где $ — единичный вектор оси Е Из (В.25) следует, что косинус угла между единичными векторами а, и Ьо равен скалярному произведению зтих векторов: сов(ао Ьо)=ао Ьо (В 28) Веюиорным произведением двух векторов А х В называется вектор, модуль которого равен произведению модулей перемножаемых векторов на синус угла между ними, а направление перпендикулярно плоскости, проходящей через эти векторы (рис. В.11, а), и выбрано так, чтобы с конца полученного вектора, можно видеть, что для кратчайшего совмещения первого сомножителя со вторым его нужно вращать против хода часовой стрелки.

Согласно определении~, если АхВ=С, (В.29) то л ~~~=С=АВвт(А,В)=пл.ЕЛОРЕР, (В,ЗО) 18 т. е. модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма ОРЕР, построенного на перемножаемых век- торах. Ряс. В.11 (В.ЗЗ) 19 По установленному соглашению направление векторного произведения С определяется ' правилом правого винта (рис. В.11, б). В соответствии с зтим правилом в правой системе прямоугольных декартовых координат (рис.

В.12) направление кратчайшего совмещения оси Ох с осью Оу видно с конца оси Оз против направления движения часовой стрелки. Единичные векторы ~, 1, 1с образуют правую систему единичных векторов. В дальнейшем будем пользоваться именно правой системой координат, чтобы иметь единообразный подход к рассмотрению вопросов теории и к решению задач. Векторное произведение двух векторов свойством переместительности не обладает (рис. В.13): А х В =-(В хА).

(В.31) При умножении вектора на скаляр векторное произведение обладает свойством сочетательности: (тА) х В = ж(А х В). (В.32) По отношению к сложению векторов векторное произведение обладает свойством распределительности: (А+В)хС =АхС+ВхС. Отметим частные случаи векторного умножения: А8В~ л АхВ О если,то яп(А,В)=0,— А =В) ' АхА=О; г если А ЕВ, то яп(А, В) =1, ~А х В~ = А В. (В.34) (В.35) (В.Зб) Рис.

В.13 Рве. В.12 или 1 / А, А „ АхВ = А, В, (В.40) Из (В.40) видно„что проекции на оси координат для векторного произведения равны 20 Для единичных векторов 1, ) и Е (см. рис. В.12) формулы (В.З5) и (В.Зб) дают г хс' = у'х у'=Уг хК =0; (В.37) ю' х 7' = lс, 7' х Й = 1, lс х г = 7' . (В.38) Запишем теперь выражение векторного произведения через его проекции на координатные оси. Имеем: А = А,г + А ~'+ А.)с, В = В,1'+ В 7'+ В К. Перемножая правые части зтих соотношений векторно и пользуясь последовательно выражениями (В.ЗЗ), (В.37) и (В.38), получаем А х В =(Ая — А.В )1+(А,В, -А„ВЯ+(А„ — А В,)К, (В.39) А„ Ау (А х В), = ' *; (А х В)у =13 В ( " ° в„ в, ' (В.4! ) а А (В хС) называется Произведение трех векторов типа ( смешанным произведением вектор ов и п едставляет собой р скаляр.

в овА,Ви Запишем это произведение через проекции векторов С, воспользовавшись сначала выражением ( м (В.24), а затем (В.41). Тогда !А А А, В В, С С, (В.42) А (ВхС)= В, С, Численно смешанное произведение векторов определяет объем параллелепипеда с площадью основ ования 1В хС~ и боковым ребром ~А~ (рис. В.14). Рис. В.14 21 Из этого следует, во-первых, условие компланарности трех векторов: А (ВхС)=0, (В.43) и, во-вторых, в смешанном произведении возможны циклические перестановки сомножителей: А (В х С) = В (С х А) = С (А х В). (В 44) Произведение трех векторов типа А х(В хС) называется двойным векторным произведением и является вектором. Вектор А х(ВхС) (рис. В.15) перпендикулярен плоскости П, в которой лежат векторы А и (В хС). Позтому вектор А х (В х С) лежит в плоскости векторов В и С .

Тогда векторное произведение (А х В) х С есть вектор, лежащий в плоскости векторов А и В (рис. В.16). Ясно, что векторы А х(В хС) и (А х В) х С вЂ” разные величины, т. е. положение скобок имеет существенное значение. Рнс. Вля Согласно формуле (В.40), имеем l А (В хС) А х(В хС) = А„ (В хС), А, (В хС), (8.45) где (В х С)„(В х С) и (В х С), — проекции на координатные оси векторного произведения (В х С), определяемые соотноше- ниями (В.41). Рис. В.16 23 Проекции вектора А х (В х С) на координатные оси имеют вид [Ах(В хС))„=В„А С вЂ” С,А В; '(Ах(ВхС)~ =В А.С вЂ” С А В; (В.46) ~Ах(ВхС)], =В,А С-'С,А В. Умножая равенства (В.46) соответственно на г, 7', /г и складъ1- вая почленно, получаем А х (В х С) = В(А С)- С(А. В) .

(В.47) В.б. Векторы и матрицы Совокупность т х п величин а,„, записанных в виде таблицы, содержагцей т строк и п столбцов, образует прямоугольную матрицу с размерами т х п: ап а„... а,„ агг агг (В.48) а ~ а г ... а В записи элемента матрицы а,„первый индекс указывает номер строки, второй — номер столбца. Компактная запись выражения (В.48) имеет вид А=~а,„1 (1=1,2,...,т; /с=1,2,...,п). (В49) Равными считаются две матрицы А = В одинакового размера т х и, соответственные элементы которых равны, т. е.

а,„=Ь,„(г=!,...,т; к=1,...,п). Матрица, у которой т = п, называется квадратной, ее элементы а„( г = 1,..., п ) составляют главную диагональ матрицы. Квад- ратная матрица пхп называется симметричной, если а,„=а„,. Диагональной называется симметричная матрица, у которой эле- менты, расположенные вне главной диагонали, равны нулю: а', 0 ... 0 о~г,...о 0 0 ... аг„ где а',,..., а'„— любые числа. Если в диагональной матрице Ы, =ггг =...=аг„=аг, то для любой квадратной матрицы А размером пхп справедливо равенство АР=РА.

Если Н, = Ы =... = Ы,, = 1, диагональная матрица называется еди- ничной и обозначается Е: 24 (В.50) о о... Тогда справедливы соотношения АЕ=ЕА=А. Таким образом, особая роль единичной матрицы Е аналогична той роли, которую играет число 1 при перемножении вещественных чисел. Определитель, составленный из элементов квадратной матрицы, записанных в том же порядке, что и в матрице, называется определителем матрацы и обозначается а1! а„, ам ... а,„ (В.51) ам ага ". ани Для квадратной матрицы А, определитель которой де!А отличен от нуля„существует обратная матрица А ', такая, что выполняется условие А 'А=Е, или АА ' =Е. Если в выражении (В.48) поменять местами строки и столбцы, получится матрица размерами и х т, которая по отношению к матрице (В,48) называегся трансионироеанной и обозначается А'.

Симметричная матрица А размерами ихи равна своей транспонированной: А=А'. Сложение и вычитание матриц может быть выполнено с матрицами одинаковых размеров т хи. Суммой (разностью) двух таких матриц А и В называется матрица С, элементы которой равны сумме (разности) соответствующих элементов матриц А и В: С=АкВ, (В.52) если са = а„1 Ь,„(1=1,..., т; к =1, ..., и). язвк, м 25 Суммы матриц обладают следующими свойствами: А ь В = В + А; А + (В+ С) = (А + В) ь С = А + В + С.

Умножение матрицы на число означает, что каждый элемент этой матрицы умножается на данное число: ХА = [Ха,„1 (1 = 1, ..., т; 7г = 1,..., и ). (В.53) Умножение матрицы А порядка (т х р) на матрицу В порядка ( р х и ) осуществимо лишь тогда, когда число столбцов А равно числу строк В. Тогда матрицы А и В называются конформными, н их произведением С = АВ называется матрица размерами т х и, элемент с,„1-й строки и Ь-го столбца которой равен сумме произведений элементов (-й строки матрицы А на элементы к-го столбца матрицы В: с,„= ~ а„.Ь,„(( = 1,..., т; 1 =1,..., и ).

(В.54) ! 1 Представим теперь вектор А, определяемый совокупностью и величин а„а, ..., а„(и-мерный вектор), в виде вектора-столбца а, (В.55) ап или матрицы (и х 1). Если компоненты а„а„..., а„расположить горизонтально, получим матрицу (1х и ), т.

е. А = ~ „ „ ..., „ 1'. (В.56) Одномерный вектор есть скаляр. Поскольку все операции над векторами, о которых пойдет речь, можно проводить, лишь пользуясь векторами-столбцами, будем применять термин «вектор» для величины, заданной формулой (В.55). Трехмерный вектор А, заданный своими проекциями на оси декартовой системы координат, имеет компоненты а, = А,, а1 = А„., аэ = А. и записывается в виде 26 а1 аз Два вектора А и В одинаковых размеров н равны, если равны их соответствующие элементы: а, =Ь, (1=1,... ° н). Сумма двух векторов одинаковых размеров н записывается в соответствии с (В.52), как а,+Ь, аз+Ьз А+В = (В.57) а„+ Ь„ операция сложения векторов обладает свойством коммутативности (как при сложении матриц) и ассоциативности: А+В=В+А; (В.58) А+(В+С)=(А+В)+С .

(В.59) Умножение вектора на скаляр осуществляется как умножение матрицы на число, согласно (В.53), с,а, с,аз (В.60) сА=Ас, = с,а„ Скалярное произведение векторов — зто скалярная функция: н (А, В) =,~а1Ь1. (В.61) 1=1 Из (В.61) следуют известные свойства скалярного произведения векторор: ' (А, В) = (В, А); (с, А, В) = с, (А, В); (А+ В, С+ У) =(А, С)+(В, С)+(А, Р)+ (В, Э).

(В.62) е Здесь использовано обозначение оперения длл многомернык векторов. Тогда скалярную величину (А,А) можно рассматривать как квадрат «длиньп! вещественного вектора. Два вещественных вектора А и В называются орлзсгонаяьными, если они удовлепюряют соотношению (А,В)=0. При умножении вектора С на матрицу А имеем В =АС, (В.63) где В, С вЂ” векторы, связанные, согласно (В.54), соотношением Ь, =2.'а! с (1=1,...,л). (В.64) / 1 В сущности, выражение (В.63) можно рассматривать как операцию преобразомния вектора С в вектор В. Если, например, нужно преобразовать один трехмерный вектор С (с проекциями С, =с„С„=сг, С, =с,) в другой вектор В (В, =Ь,, Вт =Ьг, В, = Ь,), то, согласно (В.64), можно записать Ь! =апс! + а!Зсг + аззсз, Ьг = амс! + аггсг + агзсз ' (В.65) Ьз =аз!с! + а32с2 + аззсз .