Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики

В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики, страница 13

DJVU-файл В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики, страница 13 Теоретическая механика (2704): Книга - 4 семестрВ.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики: Теоретическая механика - DJVU, страница 13 (2704) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теоретическая механика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 13 - страница

Специальные задачи динамики З 18. Задача двух тел Исторически задача двух тел возникла в небесной механике в связи с изучением движения планет вокруг Солнца под действием сил, подчиняющихся закону всемирного тяготения. ГЛ. з. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ Если считать, что сила взаимодействия между планетой и Солнцем много больше сил взаимодействия планет друг с другом, то задача изучения движения люг бой планеты сводится к задаче движения в инерциальном про- М странстве двух тел (рис. 25). Мас- са Солнца обозначена буквой М, -Р масса планеты — буквой гп. Если считать размеры тел мно- Р го меньше растояния между ними, г то оба тела можно рассматривать гп как материальные точки, притягивающиеся друг к другу с силой, модуль которой равен х у гпМ Рис.

25 Р= у '- (к,) Коэффициент 7 называется универсальной гравитационной постоянной, П и г — радиусы-векторы Солнца и планеты соответственно. По теореме об изменении количества движения системы имеем МК+ пгг = сопз1, поскольку внешних сил иет. То есть центр масс системы Солнце плюс планета в произвольной инерциальпой системе отсчета движется равномерно и прямолинейно. Выберем такую инерциальную систему, в которой этот центр покоится, и поместим начало координат в этот центр: МП+ гпг = = О Тем самым, достаточно найти движение планеты, движение Солнца определится из соотношения В = — пгг/М.

Подставим это соотношение в выражение для силы тяготения и запишем уравнение движения планеты: пгМ г (1+,/М) )г) Обозначив величину уМз/(М+ пг)з буквой А, получим г )г)з ' Тем самым задача двух тел при помощи теоремы об изменении количества движения сводится к задаче движения одной материальной точки в поле притягивающего центра.

Умножив полученное уравнение слева векторно на г, находим: г х г = О. Это соотношение можно переписать так: гг/й(г х г) = О, откуда следует гхг=С, з 18. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ что выражает собой закон сохранения кинетического момента. Из него следует, что движение происходит в неизменной плоскости, ортогональной вектору С. Исходную инерциальную систему отсчета можно выбрать так, чтобы это была плоскость (х, у). В этом случае уравнения движения точки принимают вид /сэ /су к=в У= с(* ю~~) Л сФ) Решение этой системы нелинейных уравнений удобно проводить в полярной системе координат х = 7 сов ф, у = ге!пф.

Воспользуемся уравнениями Лагранжа, выведенными в з 5: — — — — =Нсвт (с=1,2), ~1 дТ дТ адс дд, в которых дс — г, дг = сэ, (г'ы гз) — проекции силы (Г„г'„) на направление к центру и на перпендикуляр к нему. Подсчитаем коэффициенты Ламе: Н вЂ” — + Нз — — + — = г. Кинетическая энергия точки Т = -э~ = (Н~гг+ Нг, г) ('г+ г~ 'Рз) Проекции силы А Рс=- —,, Рг=О г~' Уравнения Лагранжа дают г. Ё газ — (гзу) — О Из последнего уравнения следует гтр = С вЂ” модуль вектора неизменного момента количества движения г х г = С.

Поскольку ГЛ.З. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ 78 г~дуз(2 = д5 — элемент площади, заметенной радиусом г при бесконечно малом смещении вдоль траектории, то константа С = = 205/дс выражает собой закон постоянства секторной скорости. Этот закон позволяет исключить переменную у из уравнений г— гз гз Это уравнение сводится к линейному при помощи подстановки Бине. Вместо переменной г будем рассматривать переменную и = 1(г, а вместо независимой переменной 1 в качестве независимой выберем переменную 1о.

Последнее возможно, поскольку из соотношения ф = С/г~ следует, что 1о изменяется монотонно. Выполним необходимые выкладки: дг дг. Сдг д /1'1 ди д1 др "д д 1( ар' После этого написанное выше дифференциальное уравнение приобретает вид дзи й — +и = —. д1оз Сз ' Его общее решение А и = Асов(~р+ 1оа) +— Сз или, в исходной переменной: р Ф=1о+Фо 1+ есов4' где Сз СзА р= —, е= —,. /с и Полученное решение представляет собой уравнение эллипса, записанное в полярных координатах, если е ( 1. Этот случай и имеет место для планет. В общем случае при е = 1 траектория представляет собой параболу, если е ) 1 — гиперболу. Найденное решение позволяет подтвердить справедливость трех законов Кеплера.

Первый закон Кеплера, планеты движутсл по эллипсам, в одном из фокусов которого находится Солнце 1 29. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 79 Более точно, в фокусе находится центр масс системы Солнце + планета, однако масса Солнца намного больше массы любой планеты, и этот закон практически точен. Второй закон Кеплера площади, зометоемые радиусом-вектором, идущим от Солнца к планете, пропорциональны промежуткам времени, в которые они были заметены. Этот закон является следствием отмеченного выше постоямства секторной скорости и, так же как и первый закон, должен формулироваться для центра масс.

Третий закон Кеплера: квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся кок кубы их больших полуосей. Этот закон получим, если воспользуемся известной из геометрии связью между параметром эллипса р и его полуосями о и б: р=б /о. Константу интеграла плошадей С можно выразить через площадь эллипса и через период обращения так: С = 2коб(Т. Поскольку С2,$2 2й2 й «Тг то указанная выше связь между р, о и О дает Т' 4кг Поскольку константа А слабо зависит от массы планеты т, то и этот закон тем точнее, чем меньше соотношение т/М. 2 19. Динамика твердого тела с одной неподвижной точкой 1.

Геометрия масс. В основе геометрии масс абсолютно твердого тела лежит понятие момента инерции тела вокруг некоторой оси. Пусть твердое, тело вращается вокруг неподвижной оси, направление которой задается единичным вектором е (рис. 26), с угловой скоростью ш. Поскольку модуль скорости элемента массы бт равен шр, где р — расстояние от оси е до элемента массы дт, то кинетическая энергия тела как механической системы 1 Г Т= — / ч тат 2,/ ГЛ. З.

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ во приобретает вид щз 1 ыз Т= — р 4т= Уе. 2,/ 2 Здесь через Я, обозначен коэффициент, называемый моментом инерции твердого тело вокруг оси е; В случае, когда ось вращения не фиксирована и в теле только одна неподвижная точка О, кинетическую энергию его можно подсчитать, воспользовавшись формулой Эйлера (З 9): 1 Т = — /(ы х г) (ы х г) дт. г/ Векторное произведение ы х г можно представить, как линейное преобразование вектора ы с матрицей преобразования г: шхг=гы= — ~ 0 С д Здесь 4, 9, ~ — компоненты вектора и г в подвижных, жестко связанных Рис. ЗБ с телом осях, р, д, г — компоненты вектора ы в тех же осях.

Поскольку скалярное произведение под знаком интеграла можно предатавить соответствующим произведением матриц (и х г) (ы х г) = ытгтгш, то выражение для кинетической энергии приобретает вид Т = — / ш г гш дт = -ы 7ш = -ы,Ты. г/ 2 2 Здесь буквой,7 обозначен тензор инерции: э 1Э. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 81 Произведение стоящих под интегралом матриц имеет вид гтг= ~ Π— ~ — С О С'+ ц' -И -СС ~2 1 ~2 — Ог+сг Видно, что по диагонали тенэора инерции получились моменты инерции вокруг осей ~, и, С. Элементы вне главной диагонали называются центробежными моментами инерции: / .71 -Ъ -7к') 7 = - 7гч 7о -7о< - 711 — 7чс 71 Кинетическую энергию можно вычислить и так: 1 / 1 / 1 Т = — ~ ч (ы х г) дт = — / ы (г х ч) от = -ы К.

2/ 2„1 2 Сравнивая этот результат с полученным выше, находим выражение для кинетического момента: При помощи тензора инерции можно вычислить момент инерции вокруг произвольной оси е. Подставляя в выражение Т = ы,7ы/2 вектор угловой скорости в виде ы = ые, получим Т = ыге,7е/2. Сравнивая это выражение с ранее полученным Т = (1/2)ыт,7г, находим .7, = е.,7е. Установим некоторые свойства моментов инерции твердого тела. Параллельный перенос осей. Пусть осуществлен параллельный перенос осей; с = с'+ а, и = О'+ 6, ( = ~'+ с. Изменение осевых моментов инерции проследим на примере момента инерции вокруг оси С: ,71 — — (~~+О~) дт = (~' +О' ) дт+2с ~'дт+26 О'дт+(а +6 )М.

Если в результате переноса начало координат попало в центр масс тела, то ) Я' ат = Я ат = ) с' ат = О и мы приходим к теореме Гюйгенса-Штейнера: момент инерции вокруг оси, проходли1ей через 7 Зак 233 ГЛ. з. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ центр масс, имеет минимальное значение в сравнении с моментом инерции вокруг прочих осей, параллельных данной, и отличается от них произведением массы тела на квадрат расстояния до соответствующей оси. Изменение центробежных моментов рассмотрим на примере момента относительно осей С и и .

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5140
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее