А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности, страница 6

ВВЕДЕНИЕ ?6 вать отчет, что закон устанавливается не в виде соотношения между физическими величинами а, Ь, с, а между измеряющими эти вели- чины числами т„те, т,. Пусть, например, этот закон имеет сле- дующий вид: (4.4) т, = Ат~т~. Здесь числа А, т, ты т, также безразмерны; р и д — показатели степени, в которую возводятся числа т, и те. С помощью (4.2) и (4.3) это соотношение формально можно переписать в виде с аз И вЂ” =А — —, еа е" еа а Ь (4.4а) или с= А — "1 аРЬч. е~'е~ / (4.46) Численное значение величин е„ед, е„по определению, равно 1. Поэтому стоящая в скобках (4.4б) величина численно равна величине А, но является размерной.

Обозначим ее через А' и запишем физический закон (4.4б) в форме с = А'алЬа. (4.4в) Именно в такой, а не в безразмерной, форме (4.4) выражаются обычно физические законы. Правила нахождения размерностей сложных выражений сводятся к следующим двум: Ц = —, [аЬ) = [а) [Ь) . (4.5) Поэтому размерность величины А в (4.4в) равна [ еаее ) (еа)л (ее|а (а]г (Ь)а (4.6) где учтено, что А является безразмерным числом. Благодаря этому обеспечивается одинаковая размерность левой н правой частей равенства (4.4в). Математические равенства возможны лишь между физическими величинами одинаковой размерности.

При изменении систем единиц 4. Системы единиц физических величин измерения размерность физических величин, вообще говоря, меняется. Однако если две физические величины имеют одинаковые размерности при какой-либо одной системе единиц, то их размерности будут одинаковыми и при любой другой системе. Хорошим и быстрым контролем отсутствия грубых ошибок в формулах при вычислениях является проверка размерностей в левой и правой частях равенств, а также различных членов, входящих в суммы и разности, поскольку складывать и вычитать можно лишь физические величины одинаковой размерности.

Поэтому если размерности левой и правой частей равенства не совпадают или в формуле производится вычитание или сложение величин с различными размерностями, то наверняка можно сказать, что допущена ошибка. Легче всего обнаружить ошибку, когда безразмерное число складывают с размерной величиной или вычитают из нее.

Выбор основных единиц. Выбор физических величин, единицы которых принимаются за основные, является делом соглашения. С принципиальной точки зрения нельзя указать мотивы предпочтительности одной физической величины перед другой. Однако с практической точки зрения не все единицы одинаково подходят для роли основных. Дело в том, что основная единица должна быть определена прямым указанием на материальный объект и физические процедуры, которые эту единицу реализуют. Поэтому возникают вопросы неизменности материального объекта, воспроизводимости процедур, удобства реализации и т.

д. С учетом этих обстоятельств произвол в выборе основных единиц существенно снижается. Поэтому не удивительно, что в многочисленных системах единиц в качестве основных наряду с другими берутся почти неизменно единицы длины, времени, массы. Число основных единиц. Максимальным числом основных единиц является число всех физических величин, которые измеряются; каждая физическая величина измеряется своей единицей. Например, каждая из величин: скорость и, расстояние 1и время à — измеряется с помощью своей единицы. Размерность единицы измерения совпадает с размерностью физической величины. В данном случае этими размерностями являются размерности скорости Ь1 = У, длины Я = Ь и времени [т1 = Т.

Изучение равномерного движения позволяет установить следующий закон: (4.7) где А — размерная постоянная. Численное значение ее зависит от выбора единиц измерения скорости, длины и времени, а размерность дается формулой Глава 1. ВВЕДЕНИЕ При данном выборе системы единиц равенство (4.7) является универсальным соотношением между 1, и и ~, а постоянная .4 — универсальной постоянной. Пользуясь этим, можно в качестве основных величин выбрать какие-либо две (например, Ь и Т), а раэмерность и величину третьей единицы (т. е. У) выбрать таким образом, чтобы А стала безразмерной, равной единице. Для этого в качестве единицы измерения скорости надо принять такую скорость, при которой за выбранную единицу времени проходится выбранная единица расстояния, а размерность этой единицы скорости должна быть такой, чтобы величина А в (4.8) стала безраамер~ой, т. е.

И= ЕТ-х (4.9) Благодаря такому выбору единиц измерения соотношение (4.7) принимает вид 1 = ог, а единица скорости перестает быть основной, превращаясь в производную единицу с размерностью ЬТ '. В качестве основных остались две единицы — длины и времени. Произведем дальнейшее сокращение числа единиц. Для этого воспользуемся фундаментальным законом постоянства скорости света, о котором подробно будет сказано позднее.

Луч света, распространяясь со скоростью с, эа время г пройдет расстояние (4.10) Скорость света с в этом соотношении является универсальной размерной постоянной, не зависящей ни от системы координат, ни от скорости источника или наблюдателя. Как и в предыдущем случае, выберем в качестве основной единицы, например, время, а другую единицу сделаем производной и определим так, чтобы с стала безразмерной величиной, равной единице.

Для этого размерность длины должна совпадать с размерностью времени, т. е. (Е] = Т. Если в качестве единицы времени выбрать 1 с, то длина 1 будет измеряться числом секунд, затрачиваемых светом для прохождения 1. Например, длина письменного стола равна примерно 0,5 10 8 с (это около 1,5 м), длина земного экватора 0,13 с. Иногда такого рода единицы употреблять удобно, иногда нет. Например, в астрономии очень наглядным и широко распространенным является измерение расстояний в световых годах. Это та же система единиц, что и рассмотренная выше, только в качестве единицы времени выбран один год.

Условность выбора системы единиц. Все изложенное достаточно убедительно доказывает, что нет никаких принципиальных или общефилософских соображений для предпочтительного выбора основных единиц и их числа. 4. Системы единиц физических величин С принципиальной точки зрения все системы единиц равноценны. Они отличаются друг от друга лишь практической целесообразностью и удобством как с точки зрения их использования, так и удовлетворения тем требованиям к основным единицам, о которых говорилось выше. Система единиц СИ. В результате почти столетнего обсуждения научная и техническая общественность всех стран мира пришла к заключению, что наиболее целесообразной является Международная система единиц (СИ).

Это соглашение оформлено решением соответствующих компетентных международных организаций, а в странах — соответствующими правительственными постановлениями. Эта система принята также в нашей стране. В настоящее время имеется достаточное число руководств по этой системе, в которых содержатся все необходимые сведения, и в этой книге они не иалагаются. Глава 2 5. Системы координат 6. Векторы 7. Время 8. Перемещение, скорость и ускорение материальной точки 9.

Движение точки ло окружности 10. Движение твердого тела инематика описывает конкретные К механические движения, пе интересуясь их причинами, вопросом осуществляемости таких движений в природе. Для пее важны лишь физическая обоснованность и математическая строгость в рамках принятых моделей. з.

Системы координат Пространство и геометрия. Все материальные тела имеют протяженность, занимают определенное место в пространстве и располагаются определенным образом друг относительно друга. Эти наиболее общие свойства материальных тел в результате длительной практической деятельности отразились в сознании человека в виде понятия пространства, а математическая формулировка этих свойств была выражена в виде системы геометрических понятий и связей между ними. Формирование геометрии как науки было завершено примерно две с половиной тысячи лет тому назад Евклидом. Понятие пространства, возникнув в сознании человека как отражение свойств материальных тел, приобрело затем у части ученых и философов относительную самостоятельность как якобы нечто такое, что существует независимо от материальных тел.

В результате этого геометрия из науки о свойствах материальных тел приобрела в их сознании характер науки КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА 5. Системы координат о свойствах пространства, могущего существовать независимо от тел. Другая часть ученых и философов не допускала обособления понятия пространства от свойств материальных тел. Эти две точки зрения противостояли друг другу в течение всей истории развития науки.

В древнем мире наиболее яркими представителями точки зрения о независимости пространства от материальных тел были пифагорейцы (около Ч в. до н. э.). Вот, например, как один из представителей этой школы Архип Терентский (начало 1Ч в. до н. з.) формулирует свои взгляды: «Пространство есть первое из бытий, нечто отличное от тел н независимое от них. Его особенность в том, что все вещи находятся в нем, но само оно не находится ни в чем. Оно независимо от тел, но тела зависят от него, оно мешает объемам тел возрастать и убывать беспредельно». Другой точки зрения придерживался Платон (Ч в. до н.

э.). Он не допускал внутри Вселенной существования пустоты как нечто отличного от тел, однако допускал пустоту вне Вселенной, считая, что ограниченная сферическая Вселенная находится в пустом пространстве. Аристотель (1Ч в. до н. э.) также не допускал существования пустоты, независимой от тел. Для него возможность перемещения тел доказывает существование не пустоты, а лишь места, занимаемого телами. Нет необходимости прослеживать весь длительный и извилистый путь развития этих взглядов.

Отметим лишь, что взгляды Ньютона на пространство являются в известном смысле синтезом обеих точек зрения. Он допускает существование независимого от материальных тел пространства в виде Абсолютного пространства, которое «по самой своей сущности безотносительно к чему- либо внешнему остается всегда одинаковым и неподвижным». Но наряду с Абсолютным пространством существует также Относительное пространство, которое является какой-либо частью ограниченного пространства, определяемого нашими органами чувств относительно некоторых тел.