А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности, страница 9

Например, важную роль в физике играет импульс частиц. Поэтому иногда оказывается удобным говорить о пространстве Прямоугольная декартова система координат на плоскости Двумя числами, зарактеризующн. ми положение тОчки, являются расстояния х и р От начала координат до проекций ее на оси координат гураван система лрнмоугольных денартовьи но- ординат никакими движениями в лространстве не монгет быть совмещена с левой.

Полярная система координат Даумл числами, «арактернзующи ми положение точки на плоскости, являются расстояние Р до начала координат и угол Е между лучом, проааденным из начала «Оорд»- наг, н отрезком прямой, соедиив. ющим начало координат и точку Глава 2. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА Прямоугольная декартова система координат в пространстве Тремя числамн, карактеригтющн. мн поломенне точки, яеляются расстояния Х, Э и г от начала координат до проекция ее иа оси «оордннат Каков смысл утворис- дений о геометриче- ским свойствам про- странства1 В чем смысл вопроса об истинности или поксности той или иной геометрии1 В каким пределам в настоящее время до- казана справедли- вость геометрии Ев- клида1 стто такое абсолютно твердое тело и какова роль этого, понятия в развитии геометриче- ским представлений1 В чем смысл пред- ставления о неизмен- ности масвтаба„при- нятого за единицу измерения.

посколь- ку а этом своем каче- стве он неизменен по определению! импульсов. Ему приписывается число измерений, равное числу независимых чисел, которые характеризуют импульсы частиц рассматриваемой системы. Такое использование обобщенного понятия пространства во многих случаях позволяет сократить словесные выражения и сделать все рассуждения более понятными и наглядными.

Поатому оно употребляется очень часто и с ням необходимо освоиться. Важнейшие системы координат. Из бесчисленного множества возможных систем координат наиболее простыми и важными, чаще всего используемыми на практике, являются лишь немногие. Сведения о большинстве из них можно найти в справочниках, а запомнить необходимо следующие системы координат: 1) на плоскости: 1а) прямоугольная декартова (рис. 1), в которой двумя числами (х, у), характеризующими положение точки, являются длины х и у; 1б) полярная (рис. 2), в которой двултя числами (р, тр), характеризующими положение точки, являются длина р и угол <р; 2)в пространстве: 2а) прямоугольная декартова (рис.

3), в которой тремя числами (х, у, з), характеризующими положение точки, являются длины х, у, з. Следует отметить, что возможны две прямоугольные декартовы системы координат, которые никакими движениями в пространстве не могут быть совмещены друг с другом. Одна из них называется правой, другая — левой.

Они различаются взаимной ориентацией осей. В правой системе направление оси з относительно осей х и у определяется правилом правого винта: если винт с правой нарезкой перемещать вдоль оси з, то положительные значения оси должны совпадать с движением винта, если его головка поворачивается 5. Системы координат 39 в том же направлении вокруг оси г. в каком должна вращаться плоскость (х, у), чтобы при угле поворота оси х на 90' положительные направления этой оси и оси у совместились. На рис. 3 изображена правая система.

Пунктиром показано направление оси г в левой системе при неизменных осях х и у. Нетрудно видеть, что никакими движениями в пространстве правая система не может быть совмещена с левой. Например, если на рис 3 ось з правой системы направить вниз, то оси х и у поменяются местами. Необходимо всегда иметь в виду, какая система используется, потому что при переходе от правой системы к левой меняются знаки в некоторых формулах. Практически в подавляющем большинстве случаев, как и в этой книге, применяется правая система; 2б) цилиндрическая (рис.

4), з которой тремя числами (р, ф, з), характеризующими положение точки, являются длина р, угол ф и длина з; 2в) сферическая (рис. 5), в которой тремя числами (г, ф, 0), характеризующими положение точки, являются длина г, углы ф и 6. Числа, определяющие положение точки в некоторой системе координат, называются координатами точки. Часто для удобства координаты точки обозначаются одной и той же буквой, но с различными индексами, например, как (х„хм ха). Эти числа означают в декартовой системе координат: х, = х, х, = у, х, = г, в цилиндрической: хл = р, х = ф, ха = г, в сферической: х, = г, хл = ф, х = 0. Преобразование координат. Формулы, связывающие координаты точки в одной системе с ее координатами в другой, называются преобразованием координат.

Приведем здесь формулы преобразования между цилиндрическими, сферическими и декартовыми координатами, которые непосредственно могут быть получены из рассмотрения рис, 4 и 5. Цилиндрическая система координат Тремя числами, «арактери«ующи. ми поломеиив то~пи, являются расстояиия р, 1 до качала коордииат ч угол Е мвмду отрезком р и осью Х Сферическая система коор- динат тремя числами, «врактериаующими попок«вика точки, ааввютсв расстовиие т до начала коорд иат и утлм тр, В (5.$) Преобразование от сферических к декартовым координатам: х = г в>п 8 сов ~р, у = г в>п 8 в(п <р, г = г сов 0. (5.2) Важное практическое значение имеют формулы преобразования от одной декартовой системы координат к другой, когда их начала и направления осей не совпадают.

Однако этот случай удобнее рассмотреть, пользуясь векторными понятиями. 6. Векторы Определение вектора. Многие физические величины характеризуются одним числом. К ним, например, относятся температура, выражаемая числом градусов в определенной шкале, масса — числом граммов и т. д. Такие величины называются скалярами. Для характеристики многих других физических величин необходимо задать несколько чисел. Например, скорость определяется не только численным значением, но и направлением.

Нетрудно видеть, например, на рис. 5, что направление з пространстве полностью задается двумя числами — углами <р и О. Поэтому скорость характеризуется всего тремя числами. Такие величины называются векторами. Можно сказать, что вектор определяется абсолютным значением и направлением. Однако не всякая физическая величина, характеризуемая тремя числами, является вектором. Чтобы быть вектором, эти три числа должны преобразовываться при переходе от одной системы координат к другой. Эдесь мы лишь отметим это обстоятельство, оставив разъяснение его смысла до более позднего времени. Вектор изображается направленным отрезком, длина которого в некотором масштабе равна представляемой вектором физической величине, а стрелка показывает ее направление.

Векторы будут обозначаться в книге жирным шрифтом, например вектор А, а их абсолютное численное значение — либо той же жирной буквой, заключенной между двумя вертикальными черточками: ~ А,', либо той же буквой, что и вектор, но светлым шрифтом: А. Сложение векторов и умножение вектора на число. Одной из важных физических реализаций понятия вектора является смещение. Если некоторая материальная точка перемещается из положения М, в положение Мх (рис.

6, а), то ее перемещение характеризуется вектором М,М„который изображается отрезком, соединяющим точки М, и М, и направленным от М, к Мв. Если затем точка из М, перемещается в М„то эта последовательность двух перемещений, т. в. сумма двух перемещений, эквивалентна одному 40 Гла ва 2.

КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА Преобразование от цилиндрических к декартовым координатам: 6. Векторы А+В б) Сложение векторов А+В=В+А. (6.2) А аА ~а>03 б) (6.4) перемещению М,М„что записывается в виде векторного равенства: М,Мв+ М,Мв = МтМв. (6 1) Эта формула выражает правило сложения векторов, которое иногда называется правилом параллелограмма, поскольку сумма векторов равна диагонали параллелограмма, стороны которого образованы слагаемыми векторами. Эта формула сложения, по определению, применима к любым векторам. На рис. 6, б изображено сложение произвольных векторов А и В. На примере сложения перемещений видно, что сумма векторов не зависит от порядка следования перемещений, т.

е. от порядка слагаемых векторов перемещений (рис. 7, а): Это правило распространяется на сложение векторов произвольной природы. Умножение вектора на число сводится к умножению абсолютного значения вектора на это число без изменения направления, если число положительное, и с изменением направления на обратное, если число отрицательное (рис. 7, б). Скалярное произведение. Скалярным произведением (А, В) двух векторов А и В называется число, равное произведению абсолютных значений векторов на косинус угла между ними: Нетрудно проверить, что для скалярного произведения справедливы следующие пра- вила: (А, В) = (В, А), (А, В+С) =(А, В)+(А, С), (А, кВ) =.тх(А, В), где сс — произвольное число.

Правило сложению ваяторов «вляется естественным обобщением оиавндного правила сложения ларемащени» Направление в пространстве определяется двумя числами. Коммутативность сложения векторов (а) .и умножение вектора на число (6) Су ма двув ееиторов не вависит от порядив слегаамыв. При умножении веитора на отрицательное «испо его нвпрввлвнна малюется не обратное Глава 2. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА Векторное произведение [А, в[ =тл Этот вектор перпендикулярен пло- скости, в которой лежат пврвмно- жвемые векторы [А, В) = — [В, А), [А, В+ С) = [А, В) + [А, С), [А, ссВ) =а[А, В). (6.6) Перемещение не есть отрезан траентории.

Правило слонуения векторов есть определение, целесообразность ноторо. го подтверундается свойствами ряда простейших физических величин. Физическая величина, характеризующаяся тремя числами, чаще всего является вектором. Одна- но зто не всегда. Чтобы быть вентором, она долнтна определенным образом преобразовываться при переходе от одной системы координат и другой. Векторное произведение.

Векторным произведением [А, В[ векторов А и В называется вектор Р = [А, В[, определяемый следующим образом (рис. 8): 1) оп перпендикулярен плоскости, в которой лежат перемножаемые векторы А и В, и направлен в ту сторону, в которую будет двигаться винт, если его головку вращать в том же направлении, в каком необходимо поворачивать вектор А для совпадения с вектором В по кратчайшему пути.

Иначе говоря, векторы А, В и [А, В[ друг относительно друга ориентированы так же, как и положительные направления осей х, у, з правой системы координат; 2) по абсолютному значению он равен произведению абсолютных значений перемножаемых векторов на синус угла между ними: [ Р [ = [ А, В ( = ( А ( ( В [ в[п (А, В). (6.6) Здесь существенно, что угол между векторами А и В отсчитывается от первого сомножителя А ко второму В по кратчайшему расстоянию, т.