А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности, страница 10

е. угол меньше или равен л, благодаря чему синус в (6.5) не может быть отрицательным. Как видно из (6.5), можно также сказать, что абсолютное значение векторного произведения равно площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах (рис. 8).

Легко проверить следующие свойства векторного произведения: Представление векторов с помощью единичного вектора. Направление вектора можно указать с помощью единичного безразмерного вектора. Любой век- Ь. Векторы (6.7) О Какие два способа геометрического построения суммы векторов Вы знаетесь Зависит ли скалярное произведение от порядка сомножителей3 Докажите свой ответ. иак зависит векторное произведение от порядка сомножителейу Изменится ли определение векторного произведения, если вместо правой декартовой системы координат пользоваться певой$ Что такое компоненты вектора! По какому правилу определяется из знак1 тор А можно представить в следующем виде: А= — ~А~=и)А~=пА, где и = А/! А ~ есть единичный безразмерный вектор, фиксирующий направление вектора А.

Преимущества векторных обозначений. Понятие вектора и все связанные с ним операции вводятся независимо от какой- либо системы координат. Благодаря атому имеется возможность оперировать непосредственно физическими величинами, не обращаясь к их выражению в какой-либо конкретной системе координат. Различные соотношения между физическими величинами в векторной форме обычно имеют значительно более простой и наглядный вид, чем в соответствующей координатной форме.

Все зто составляет большое преимущество векторных обозначений и обеспечивает им широкое применение. С другой стороны, очень часто проведение конкретных численных расчетов гораздо проще в координатной форме, где они носят чисто арифметический характер. Если расчеты проводить непосредственно по векторным формулам, не обращаясь к координатной системе, то наряду с арифметикой необходимо зачастую пользоваться довольно сложными пространственными геометрическими представлениями, что не всегда удобно. Поэтому важно уметь записывать все векторные выражения и операции в координатной форме.

В первую очередь необходимо зто уметь делать в декартовых координатах. Радиус-вектор. Положение точки характеризуется тремя числами в соответствующей системе координат. Каждую точку можно представить себе как конечный пункт перемещения из некоторой начальной, называемой началом отсчета, и характеризовать вектором перемещения, соединяющим начальную и рассматриваемую Сумма и скалярное произведение векторов не зависят от нарядна венторов. К понятию радиуса-вектора Поломан»в любой точки пространства относнтельно точнн О, прннлтой эа начальную, полностью карантернэуетс» ее рейнусом-а»»тором г 44 Глава 2.

КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА Радиус-вектор не свнзан с существованием наной-либо системы координат. Если выбрать ноннретную систему ноординат, то радиус-вектор можно выразить в атой системе. те. Компоненты радиуса-в ектора т в пространственной декартовой системе координат (а) и произвольного вектора А в той уке системе на плоскости (б) Компонентам» вектора назыааютсе его проекцн» на осн координат. Компоненты «ал»ютс» алгебраическими величинами, н из зна» определи»те» знаком косинуса угла мамду направлеии»ми вектора и вд»ининого вектора соотавтствую»тей оси. Компоненты радиусааектора — зто «оорд»наты точки, зврантарнзуемой нм точки (рис.

9). Этот вектор называется радиусом-вектором. Если положение точки задается радиусом-вектором, то нет необходимости использовать какую-либо систему координат. При этом упрощаются и делаются более наглядными многие физические соотношения. Поэтому„как правило, мы будем везде оперировать с векторами, а положение точек характеризовать их радиусами-векторами.

Переход к координатам при необходимости может быть всегда осуществлен по раз и навсегда установленным формулам, которые сейчас будут выведены. Компоненты вектора в декартовой системе координат. Пусть некоторая точка О принята за начало отсчета. Возьмем (прямоугольную) декартову систему координат, начало которой совпадает с точкой О. Положение любой точки можно охарактеризовать либо ее радиусом-вектором г, либо тремя числами (х, у, з), являющимися декартовыми координатами этой точки. Установим связь между г и числами х, у, г. Для этого полезно ввести единичные безразмерные векторы, направленные вдоль положительных значений осей х, у, г и обозначаемые соответственно как 1, ), )с.

Принимая во внимание правило сложения векторов (6 1) и формулу (6.7), можно, как это непосред- 45 ственно видно на рис. 10, а, представить радиус-вектор г в виде суммы трех векторов ((х, )у и кг), также направленных вдоль осей координат: г =)х+5у+кг. Числа х, у, г называются компонентами радиуса-вектора г. Они совпадают с координатами точки, которую характеризует г.

Не только радиус-вектор, но и любой другой вектор может быть представлен в виде суммы векторов, направленных вдоль осей координат (рис. 10, б): А= 1А„+1А„+ ИА,. (6,9) Числа А„, А„, А, называются компонентамн вектора А вдоль осей х, у, з. Для того чтобы уметь вычислять компоненты вектора и выражать все векторные операции в координатной форме, необходимо знать несколько соотношений между единичными векторами 1, 5, Й. Соотношение между векторами 1, ), к. Принимая во внимание, что эти векторы взаимно перпендикулярны и единичны, получаем: (6.10) Р=Я=к'=1, (1, д)=0, (1, Зс)=0, Ц, %с)=0.

Согласно определению векторного произведения, сразу находим: (6.11) Вычисление компонент вектора. Умножая скалярно левую и правую части равенства (6.9) последовательно на 1, ), к и принимая во внимание (6.10), сразу получаем: (6.12) А„=(А, 1), А„=(А, 5) А,=(А, к). Нетрудно видеть, что компоненты векторов по осям декартовой прямоугольной системы координат являются не чем иным, как проекциями этих векторов на оси, вычисленные с учетом знака.

Например, А„= (А, 1) = ~ А ~ ( 1 ~ соз (А, 1) = ) А ) соз (А, 1), где (А, 1) — угол между вектором А и направлением оси х, что и доказывает сделанное утверждение. Аналогичным образом обстоит дело с другими компонентами. Выражение векторных операций в координатах. Для получения этих выражений необходимо векторы представить в виде (6.9) и воспользоваться полученными ранее формулами для единичных векторов. Пусть задано: А = (А„+ )Аг+ к А„ В = 1В„+ )В + кВ,. Складывая векторы А и В, получаем С=А-~-В=! (А„+В„)+)(А„.+Вг) +Ы(А,+В,). (6.14) Таким образом, компоненты суммы двух векторов равны сумме соответствующих компонент слагаемых: (6.14а) С„=А„+В„, Сг — — Ац+Вр, С,=А,+В,.

Нетрудно видеть, что аналогичным образом умножение вектора на число сводится к умножению кая<дой из его компонент на ато число. Для скалярного произведения с учетом (6.10) получим следующее выражение: (6А5) (А, В) = А„В„+ АгВг+ А,В,. Для векторного произведения прямое вычисление с учетом (6.12) дает (А, В) =1(А„В, — А,В„) +) (А,„— А„.В,) + к (А„„— А„В„). (6.16) Поатому можно написать: (А, В)„= А„В,— А,В, (А, В) =А,„— А„В„ (6.16а) Преобразование декартовых координат.

Используя векторные представления, легко найти формулы преобразования координат при переходе от одной декартовой системы к другой. В общем случае не совпадают ни начало систем координат, ни направление осей, как это изображено на рис. 11. Положение начала штрихованной системы координат относительно начала нештрихованной задается вектором а. Из чертежа непосредственно видно, что радиусы-векторы г и г', характеризующие положение точки в нештрихованной и штрихованной системах, связаны соотношением г = а+ г'. (6.17) Если г и г' выразить через их компоненты по соответствующим осям координат, то можно написать: 1х+)у+ )и =- а+ Гх'+)'у'+ й'г'.

(6.18) Для нахождения связи между координатами точек необходимо скалярно умножить обе части етого равенства на соответствующий единичный вектор. Например, чтобы найти координату 4б Глава 2. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА 6. Векторы или т$. Преобразование координат ее«тор а «ерантеризует положение нлиала штри«пленной системы «оордииат отнес«тел«но неютри«оавнной, а носинусы углов между ортамн той и другой систем определлют и«взаимную ориентиров«у в пространстве надо произвести это умножение на вектор 1. В результате получим х=(а, ))+()', 1)х'+()', 1) у'+($с', 1) В', или, что то же самое, х = а + соя (Г, л) х'+ соя (,ы, 1) у'+ + соя (к', 1) В'.

(6.18а) Таким образом, для преобразования необходимо знать углы между осями координат и взаимное расположение начал координат. Аналогичным образом находим выражение для координат у и з. Чтобы найти обратные формулы преобразования для х', у', з', необходимо произвести скалярное умножение на соответствующий единичный вектор Г, 1', к'. Например, ултноятая обе части (6.18) на Г, найделт (1, Г)х+(1, Г)у+(к, л') з=(а, 1')+х', х' = — а„'+ соя (1, Г) х+ соя (т, Г) у+ + соЯ (К Г) В. (6.19) В атой формуле а' = (а, 1') есть х-я компонента вектора а в штрихованной системе координат. Этот вектор направ- Радиус-вентер, по определению, искодит из начала ноординат.