А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности, страница 8

Такие тела называются твердыми. Относительное постоянство взаимного расположения различных частей твердого тела позволяет говорить об относительном постоянстве протяженности твердого тела. Благодаря этому приобретает ясный смысл задача сравнения протяженностей твердых материальных тел друг с другом и становится возможным определить понятие длины твердого тела, операции измерения и дать количественную характеристику относительной неизменности протяженности данного тела и тела, принятого за единичный масштаб. Но это единичное соотношение двух тел пока не дает возможности получить количественную характеристику такого важнейшего понятия, как «абсолютно твердое тело».

Необходимо исследовать взаимные соотношения многих тел и из анализа их устойчивости можно прийти к выбору тех тел, которые являются наиболее устойчивыми и неизменными. Эти тела берутся за масштаб измерения. Как это было описано раньше, само использование масштаба измерения позволяет сделать заключение о постоянстве этого масштаба и произвести его уточнение.

Таким образом, в результате всей практической деятельности в течение многих веков удалось определить те материальные тела, процессы и условия, на основе которых вводится понятие неизменной протяженности и выбирается неизменной единица длины для измерения протяженностей. Этот выбор носит исторический характер и с течением времени изменяется, поскольку новый опыт практической деятельности приносит новые выводы об относи- 5. Системы координат 35 тельной устойчивости предметов материального мира, окружающего человека.

Расстояние между точками. Материальное тело представляется как совокупность материальных точек. Выбрав единицу длины, можно измерять одномерные протяженности, т. е. длины линий, которые могут быть проведены по точкам материального тела. Любые две точки материального тела могут быть соединены друг с другом бесчисленным количеством линий, длина каждой из которых~ может быть измерена.

Если проанализировать все зти длины, то окажется, что среди них нет наибольшей, но есть наименьшая. Эта наименьшая длина и называется расстоянием между точками, а соответствующая линия — прямой. Понятие расстояния между точками неразрывно связано с понятием материального тела. Если имеются две материальные точки, которые не являются частью какого-либо реального материального тела, то они представляются точками воображаемого материального тела.

Абсолютно твердое тело. Это тело, расстояние между любыми точками которого неизменно. О смысле неизменности масштаба, с помощью которого измеряются расстояния, говорилось подробно раньше. Система отсчета. Воображаемое абсолютно твердое тело, относительно которого определяется положение изучаемых изолированных или входящих в тела материальных точек, называется системой отсчета.

Она распространяется на все пространства. Характеризовать точку пространства — значит задать соответствующую точку системы отсчета. Положение изучаемых материальных точек описывается положением точки системы отсчета, с которой совпадает изучаемая материальная точка. Поэтому задача состоит в том, чтобы указать, каким образом можно характеризовать положение точек системы отсчета. Это достигается введением системы координат.

Системы координат. В заданной системе отсчета определены понятия расстояния, линии, прямой, углов и т. д. Задача установления соотношений между ними является экспериментальной. Некоторые из соотношений кажутся настолько очевидными, что имеется искушение объявить их истинами, не требующими доказательств. Такого рода допущения называются аксиомами.

Построение всего здания геометрии исходя из положенных в ее основание аксиом требует лишь логической мыслительной деятельности и непосредственно не связано с экспериментом. Различные системы аксиом приводят к различным геометриям, которые сами по себе, без соотношения с реальным миром, одинаково справедливы. Каждая из геометрий является геометрической моделью соотношений, которые, вообще говоря, могли бы существовать в реальном мире. Лишь эксперимент может решить, какая из мыслимых геометрий станет геометрической моделью реального физического мира.

Как уже было сказано, из опыта известно, что в очень боль- Зб Глава 2. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА ших пределах рдсстояний, примерно от 10 '«до 10«» м с большой точностью справедлива геометрическая модель, которая получила название геометрии Евклида по имени ее создателя. Поэтому, если не оговорено противного, везде в последующем будет предполагаться справедливость этой модели. Это означает, что в используемых в последующем системах отсчета предполагается справедливой евклидова геометрия. Чтобы описывать двих«ение материальных точек и твердых тел, необходимо условиться о способе задания положения точек.

Как уже говорилось, «адрес» материальной точки определяется «адресом» той воображаемой точки системы отсчета, с которой совпадает рассматриваемая материальная точка. Поэтому задача заключается в том, чтобы придать «адреса» всем точкам системы отсчета таким образом, чтобы каждая точка имела свой, отличный от других, «адрес» и каждый «адрес» приводил только к одной точке. Возможности для этого, вообще говоря, весьма многообразны. Например, в повседневной жизни в системе отсчета, связанной с Землей, различные области этой системы отсчета, именуемые квартирами, имеют адреса, состоящие из названия страны, города, улицы, номера дома и номера квартиры.

Хорошо известно, что такой способ придания адресов действует вполне удовлетворительно, но лишь для обозначения адресов очень ограниченного числа областей системы отсчета. Например, некоторая конкретная лужайка в некотором парке некоторого города не имеет адреса. Поэтому такая система адресовки недостаточно обща и имеет много других недостатков. В физике нужна такая система, которая обеспечивала бы адрес не областей, а точек.

Для этого вводится система координат. Введение ее есть соглашение о способе приписывания «адресов» различным точкам системы отсчета. Например, достигнуто соглашение, что «адреса» точек земной поверхности выражаются числами, имеющими размерность углового градуса, называемыми широтой и долготой. Каждая точка земной поверхности лежит на пересечении меридиана и параллели, и ее «адрес» дается двумя числами, которые по определенному правилу приписаны этим меридианам и параллелям. Правпла, по которым различным меридианам и параллелям приписываются числа, являются произвольными. Важно лишь, чтобы была обеспечена взаимная однозначность: каждому меридиану должно быть приписано вполне определенное число, и по числу можно найти вполне определенный меридиан. Например, вместо того чтобы характеризовать долготу углом, образуемым плоскостью рассматриваемого меридиана и плоскостью некоторого другого меридиана, принятого за начальный, можно бы характеризовать ее, например, расстоянием по экватору от точки пересечения экватора меридианом, принятым за начальный, и точкой пересечения экватора меридиональной плоскостью, проходящей через рассматриваемую точку.

Тогда пришлось бы говорить, например, 5. Системы координат 37 что некоторая точка находится на стольких-то километрах долготы и стольких-то градусах широты. Конечно, никаких принципиальных преимуществ или недостатков различные способы введения систем координат не имеют друг перед другом. Но в практическом смысле различные системы координат далеко не равноценны. Успех в решении той или иной задачи часто зависит от удачного выбора системы координат. Число измерений пространства.

В рассмотренном примере введения системы координат на поверхности Земли в виде долгот и широт было видно, что положение каждой точки характеризуется двумя числами. Совершенно безразлично, какие это числа, существенно лишь, чтобы способ их задания обеспечивал непрерывность и однозначность адресов. Существенно также, что этих чисел должно быть два. Это обусловливается тем, что рассматривалась поверхность Земли. Положение точки на поверхности характеризуется двумя числами. Иначе это обстоятельство выражается утверждением, что поверхность есть пространство двух измерений. Пространство, в котором мы живем, является трехмерным.

Это означает, что положение точек в нем характеризуется тремя числами. Какими именно числами, зависит от системы координат, с помощью которой описывается положение точек пространства. Может быть пространство большего числа измерений. Если положение точек пространства характеризуется п числами, то говорят о и-мерном пространстве. Часто в физике, рассматривая некоторые явления, зависящие не от пространственных переменных, говорят о пространстве этих непространственных переменных. Это очень удобно и не вызывает недоразумений.