В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика (1120566), страница 123
Текст из файла (страница 123)
Действительно, произведения ЕР, В'з, Е'В' происходят, в четырехл1ерной записи, от скаляров вида 1 Гд', которые в коллинеарном приближении тождественно обращаются в нуль. Тот факт, что выбран член именно с одним множителем В' и двумя Е, связан с тем, что рассматривается процесс с одним '0-фотоном и двумя 1 -фотонами; у первого составляющую вдоль Во имеет поле В', а у последних поле Е~. Функция Лагранжа Т выражается через инварианты У = (Вв — Е~)/2 и й = ЕВ. Нужный нам член разложения получается из члена сс Уй~. Вычисление с помощью (129.17) дает для последнего выражение 13, 630яете Положив В = Во+ В', Е = Е' и взяв из У' слагаемое ВОВ', а из й слагаемое В0Е', получим искомый член рвлложения вида (130.17). Таким образом, оператор трехфотопного взаимодей- СтВИЯ, ПРИВОДЯЩЕГО К РаСПаДУ УЯ вЂ” Ь 71т + Уйю ДаЕтСЯ ВЫРажением (ВОЕ1)(ВоЕ~)(В0В') И' и, (130.18) 31бкете / где В' = гъ 4тг(1се~]е'(~" ыйсй0 Е, = — гц4иго1ете — 10и г — и10-;+ сй,т и аналогично для Е~, .ср.
(127.26),(127.27) ') . Согласно изложенным в 3 64 правилам амплитуда распада Му, вычисляется по определению Яу, = — г((( Ъ'~(1Г1гЯ = 1(2я)~о~~)(й — Й1 — Иг)М1, ') Удвоение коэффициента а (13048) за счет того, что Е( и Е', могут быть взяты из каждого из двух множителей Е' в Ь. 655 1 1зо РАС!ЩЕПЛЕНИЕ ФОТОНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ и равна 13 ' Мг! = — ! (1л)'зсосогпг2Во вш гг 3151г'гпэ (г) угол между 14 и Во). Вероятность распада в единицу времени ( ..
(64.11))! 4 2 гг к1гг йе Йп = (2л) б()с — 1с! — 142)б(пг — пг1 — аг2)~М);~' 2 2ьг 2ы! 2ьгз (21г)е (лишний множитель (1/2) учитывает уменьшение фазового обьема за счет тождественности двух конечных фотонов). Первая д-функция устраняется интегрированием по 41 Й2. Для устране- 3 ния второй б-функции замечаем, что при пренебрежешли дисперсией: ог — шг — го2 = Й вЂ” Й1 — ~14 — 141~ = — ' (1 — сов д!) И:1 А — йг и потому ') Г о!гого!25(ог — пг! — го2)с) сов дг 2лог1 г)го1 = 2 о о = 2л со~~(ог — о!1) г)пг1 = — оз".
15 о Окончательно находим для полной вероятности распада фотона в единицу времени (обычные единицы): аз ( 13 ) тсз ( 1кко ) ~(Воз1пд) = 0,18ствпгс ( 'вгп ) ( — 1) ( ~ ) . (130.19) Как уже упоминалось, применимость этой форь!улы не требует условия ог « пм Она ограничена лишь условием малости членов, отвечающих диаграммам восьмого порядка. Для оценки заметим, что в матричном элементе восьмого порядка может иметься, например, член, отличающийся от членов шестого порядка безразмерным инвариантным множите.лем вида ) При этом гюдразумевается, что при учете дисперсии аргумент д-функции действительно обращен!ся бы в нуль при некотором сов дг < 1. Таким образом, дисперсия требуемого характера необходима для того, чтобы распад был возможным, но сама вероятность распада от дисперсии (если она мала) не зависит.
гл. хп 656 Рлдипционныв попгпвки (ЕГ""п1О /тэ)2. УСЛОВИЕ ЕГО МаЛОСтИ ПрИВОдИт К ВЕСЬМа СЛабОМу условию ю « т(т, /(~ е ~Во)). й 131. Вычисление интегралов по четырехмерным областям Сведем здесь некоторые правила и формулы, полезные для вычисления интегралов, возникающих в теории радиационных поправок. Типичная формула интеграла., отвечающего диаграмме Фейнмана; т 5 дь)л~л (131. 1) а~а2...а„ где а1, а2, ... полиномы второй степени по 4-вектору Й, 1(Й) полипом какой-либо степени и', а интегрирование производится по всему четырехмерному Й-пространству. Удобный метод вычисления таких интегралов (принадлежащий Фейнхиану, 1949) основан на предварительном преобразовании (параметризации) подынтегрального выражения путем введения дополнительных интегрирований по вспомогательным переменным С1, С2, ...
согласно формуле 1 =( — Ц 11~ а~по...а„ / / (а~ба Ч-аого+ ... + а„6„)" о о (131.2) В результате такого преобразования вместо п различных квадратичных полиномов в знаменателе возникает и-я степень всего одного полинома второй степени. Устранив б-функцию интегрированием по Щ и введя новые переменные согласно ~! Хп — 1~ С2 хп — 2 хп — 1~ ~ Сп — 1 х1 х2~ (1 + с2 + ° ° ° + Сп — 1 = И1~ получим формулу (131.2) в эквивалентном виде: 1 х~ = (и — 1)! Нт~ с~л2 ..
а~аз... а„ о о х„ — г и дтп 1 . (131.3) )а,х ~ ч-а21х 2 — х т) ч- ... ч-а (1 — х~))" о 657 1 1з1 ИНТЕГРЛЛЫ ПО ЧВТЫРНХМВРНЫМ ОЬЛАСТЯМ При п = 2 зта формула имеет вид агаг / )азв+ агП вЂ” х)]г о (131.4) 1 1 1 / п(а — Ь) са а" Ь" / йа — Ь)з+ Ь) Т' е (131.5) После преобразования, согласно (131.3), четырехмерное интегрирование в (131.1) приводится к виду У()с) сг" Ус И вЂ” ) --г)-' (131.6) где 1 -- 4-вектор, а сзв --- скаляр, оба они зависят от параметров лм ..., ха П скаляр ст будем считать положительным. 2 Если интеграл (131.6) сходится, то в нем можно произвести замену переменных согласно )с — 1 — ~ Й (сдвиг начала координат), после чего он принимает вид Г ПЬ) а~а (1сг — аг)" (131.
7) (с другой функцией 1(гс)), так что знаменатель содержит лишь квадрат Йг. П1то касается числителя, то достаточно ограничиться и проверяется прямым вычислением. Для произвольного же и формула может быть доказана по индукции от и — 1 к и,. Действительно, произведя в (131.3) интегрирование по сна м получим в правой стороне равенства разность двух (и — 2)-кратных интегралов того же вида. Предполагая для них формулу спра- 1 ~ г 1 ведливой,получаем |,что совпадает ас — аг ~агаз... а„агаз... а„ с выражением в левой части равенства (131.3).
Дифференцированием (131.3) по аы аг, ... можно получить аналогичные формулы, служагцие для параметризации интегралов, содержащих в знаменателях какие-либо из полиномов в степенях выше первой. Регуляризация расходящихся интегралов осуществляется вычитанием из них интегралов аналогичного вида. Для вычисления такой разности может оказаться целесообразным предварительное преобразование разности подынтегральных выражений (каждое из которых уже было преобразовано с помощью (131.2)) с помощью формулы 658 РАЛНАЦНОННЫЕ ПОНРАВКН Гл. хп (131.9) (131.13) рассмотрением скалярных функций 2 = Р'(Й2). Действительно, для интегралов с числителями другого вида имеем 1 ~ ~ ~ ~ ~ и ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ и ~ ~ ~ ~ ~ ~ 7 ~~ ~ ~ г ~ ~ 4 ' "Р(Й') )'Й (131.8) [Йг и а Е 4 ~и ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ и ~ ~ ~ 7 ~~ ~ ~ ~ г ~ 4 ! ЙРЙ Р<Й ) 1) Й г и ( Й'г<Й )1) Й (ЙР— о1)" 4 / (ЙР— ое) | Й" Й РРЙ Г1',Й~) В~Й (Й1 — ое)" 4 ( ра ра+ рр аа ) ра ар) / 1Й ) Р1Й ) (131 19) 24 1 (Йг „г) и т.
д., что очевидно уже из соображений симметрии (при интегрировании по всем направлениям Й). В исходном интеграле (131.1) каждый из множителей а4, а2, ... в знаменателе имеет (как функция от Йе) по два нуля, которые обходятся при интегрировании по НЙВ согласно обычному правилу (см. 2 75). После преобразования к виду (131.7) вместо 2п простых полюсов подынтегральное выражение имеет всего два полюса и-го порядка, которые обходятся по тому же правилу (путь С на рис. 25). Смещая контур интегрирования, как показано стрелками, можно совместить его с мнимой осью в плоскости Йо (С' на рис.
25). Другими слоРнс. 25 вами,. переменная Йо заменится па Йо = = 1ЙВ с веЩественной пеРеменной Йе. Изменив также обозначение 1с на 1с', будем иметь Й' = ЙВ2 — й2 — -(Й", + аз) = -Й12, (131.11) где Й' 4-вектор в евклидовой метрике. При этом и и' Й вЂ” ~ Ы Й' = 1Й' и' — пй, 2 где 1)й элемент четырехмерных телесных углов. Интегрирование по пй дает 21г2 (сы. П, 2 111), после чего и' Й вЂ” ~ 1я Й' п(Й' ).
(131.12) Обозначив Й = е, получим окончательно 12 659 ИНТВГРЛЛЫ ПО ЧВТЫРНХМВРНЫМ ОЬЛАСТЯМ 1 2зг В частности, (131.15) (131.17) ) Более громоздкое вычисление приводит к такому же результату и при конечном 6 Г Н )2 ( — 1)" 2.2 фг ог) ог< — 2Ц22 Ц(ц о) Логарифмически расходящаяся часть в интегралах (131.7) может быть выделена в виде 2 О~)2 Р— ))2 — ог]2 Легко видеть, что и в таком интеграле допустимо преобразование й -2 й + 1. Действительно, разность первоначального и преобразованного интегралов (И1.
Цг 2)2 )Ьг „2)2) представляет собой сходящийся интеграл, и потому в нем замена Й вЂ” > Й+ 1 во всяком случае допустима. Произведя ее и заменив еще затем й — 2 — й, получим ту же величину с обратным знаком, откуда и следует ее равенство нулю. Линейно расходящийся интеграл должен иметь вид 1ес)4А (131.16) Р ))2, 2)2' но фактически такой интеграл расходится лишь логарифмически: подынтегрвльное выражение асимптотически (при Й вЂ” + оо) равно к"/(кз)з и обращается в нуль при усреднении по направлениям. Сдвиг начала координат, однако, не оставляет интеграл (131.16) неизменным, а добавляет к нему аддитивную постоянную.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
