Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика

В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика, страница 111

DJVU-файл В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика, страница 111 Физика (2685): Книга - 4 семестрВ.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика: Физика - DJVU, страница 111 (2685) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 111 - страница

В 8 117 это обрезание было осуществлено путем введения фиктивной конечной массы виртуального фотона Л. Поэтому мы должны теперь видоизменить и полученные в ~ 98 формулы так, 588 Гл. хп РЛДИЛЦИОННЫЕ ПОНРЛВКИ чтобы они описываци излучение мягких «фотонов» с ненулевой массой. С формальной точки зрения такой фотон относится к авек- торным» частицам со олином 1, свободное поле которых рассматривалось в 8 14. Оно описывается 4-векторным ц'-оператором »12ы иа (120.1) (здесь изтлепепы обозначения и нормировка по сравнению с (14.16) с целью приведения в соответствие с фотонным случаем). Взаимодействие «фотонов» (120.1) с электронами надо описывать лагранжианом того же вида, что и для истинных фотонов: — е1ИЦ1, (120.2) (с заменой операторов потенциала А„на фи).

Тогда амплитуды процессов испускания фотонов конечной массы будут даваться обычными формулами диаграммной техники, с тем лишь отличием,что 1Е2 12 (120.3) Суммирование же по поляризациям испущенного фотона должно будет производиться по трем независимым поляризациям (двум поперечным и одной продольной) вместо двух у обычного фотона. Это эквивалентно усреднению по матрице плотности неполяризованных частиц (120.4) (ср.

(14.15)) с последующим умножением на 3. Пропагатор «фотонов» с ненулевой массой (ср. (76.18)). Однако в силу калибровочной инвариантности амплитуды реальных процессов рассеяния не зависят от продольной части фотонного пропагатора, и это свойство не связано с конкретным видом его поперечной части. Поэтому второй член в скобках фактически выпадает, и остается выражение того же типа, что и для обычных фотонов: 4К ПИР ., 8ИР (120.5) (которым мы и пользовались в 8 117, 119). Обратимся теперь к изучению мягких (в объясненном в 8 98 смысле) фотонов. 1 420 ИСПУСКЛНИВ МНГКИХ ФОТОНОВ С НЕНУЛЕВОЙ Л1АССОИ 589 Произведенный в 2 98 вывод формул (98.6),(98.6) переносится на рассматриваемый случай с тем лишь изменением, что при раскрытии квадратов (р~ к) в знаменателях электронных пропагаторов прибавляется член )с2 = Л2.

В результате вместо (98.6) получим 1р')4) + лг/2 (рй) — лг)2 4ягьг где 4145 „р сечение того же процесса без излучения мягкого фо- тона (который называем условно «упругим» процессом). В даль- нейшем при интегрированиях по г)згг будут существенны значе- ния (1с) Л. При этом р )с р)с » Л, так что членами Л2 в зна- менателях можно пренебречь. Суммирование по поляризациям фотона осуществляется, как указано, с помощью (120.4). После сделанного пренебрежения второй член в (120.4) нс даст вклада в сечение, и остается ') ! Л1Р: ~~)~ 4ягы Таким образом, мы возвращаемся к формуле (98.7), в которой, однако4 надо понимать теперь щ как ю= Л(Ы+Л2.

(120.7) Формула (120.6) имеет совершенно общий характер. Она при- менима как при упругом, так и при неупругом рассеянии и даже при изменении сорта частиц. Результат же дальнейшего инте- грирования по 41' Й зависит от 4-векторов р и р', иными словами, от характера основного процесса рассеяния.

Рассмотрим случай упругого рассеяния, когда !р(=)р), с=е, и определим полную вероятность испускания фотонов с часто- тОй, МЕНЬШЕЙ ПЕКОтОРОГО Огпгах; ПРИ ЭТОМ ПРЕДПОЛаГаЕтСЯ, ЧтО (120.8) а сверху значение ог„, „ограничено условиями применимости тео- рии излучения мягких фотонов (98.9),.(98.10). Вычислим прежде всего интеграл гю 44~к в нерелятивистском пределе. При ~р~ = ~р ~ <( гп имеем ( — '- — )'= Р Р 1 '5Ч)с) Ч (Р'Ц (РЙ) г' гиг»54 пгг»гг 1 ) На первый взгляд могло бы возникнуть сомнение в допустимости пренебрежения Лг до усреднения ввиду наличия Лг в знаменателе второго члена в В20.4). Однако легко непосредственно убедиться в том, что этот член при 4 — г усреднении дает вклад Л Л которым можно пренебречь. гл.

хп 590 РАДИАЦИОННЫЕ 11О11РАВКИ 171 = р — р). Интегрирование этого выражения по направлениям 1с дает 4ЕЧТ ( 177 ( — - 1'). пггмг 13огг После этого имеем из 1120.6) ппго,/ ~ 31177 -~- ЛТ) ~ (1сг 4- Ло) х' о или, произведя интегрирование в предположении ю„, /Л» 1, Йт — Йтуггр ' (!и ), с1 « Тп . (120.9) В общем релятивистском случае для вычисления интеграла, воспользуемся формулой 1131.4). С се помощью имеем для интеграла по углам 1 х 71ое ЬЮОУЮ ! .I 1Жх -Р ФвН1 — х)Р ' о г г lг ИЛИ, РаСКРЫВ СКаЛЯРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ С Р = '1Е, Р)г Р = 1Е, Р ), 1 о с)огс 71х l 17 — 14 *+ р'11 — х)))о о Интеграл дои легко вычисляется в сферических координатах с полярной осью вдоль вектора рх + р'11 — х), после чего 1 1 т О 7 т 4 4пс1х Геог)о — 1рх -г р'11 — х))71сг,/ [то+ Чгх(1 — х)1с~ Е В~Л' о о Два других интеграла 1с (рА) и 1р'Й) в знаменателях) получаются отсюда при с) = О.

Заметив также, что рр' = е' — рр' = т + с)~772, ПОЛ)г СИЕТ вЂ” 1 т' 4- 977'2 Йт = — дх гг ./ ъ%'+ Л' (~т' -Р цгх(1 — х)1ст 4- етЛТ о о — 1сЬуор. ~120.10) Гт71,7+ЕТЛ74 1 Р. ИСПУСКЛНИЕ МЯГКИХ ФОТОНОВ О НЕНУЛЕВОЙ Л!ЛССОИ 591 1 12о Интегрирование по Щ сводится к вычислению интегралов вида ы м Г й'4Ц 1 Г Щ Л' Ё 8~И (а1се+Ле)~/Не+ Л! а / ~/из+Ля а / (а$сз+Лв)у!не+Ля О О О . ) (а,~, 1),~;е-~ — 1 о Во втором интеграле подставлено (Ц -э Лх и верхний предел (са ах/Л) заменен на Ос, что ДопУстимо ввиДУ схоДимости интеграла. Возникающие затем интегралы по х в (120.10) не могут быть полностью выражены через элементарные функции. Результат представим в виде ГЬ Гх[Р( ) 1п +Г11с(о р (120.11) где ') 1® 2[ 2с~т1 1 (с г~2 ) 2е е+ ~р~ 2т' Э- Чв 1 с1х 1+ з/Т вЂ” а я!!р~ ги кез / а~/Т вЂ” а уса о а = —,[гп + с1 х(1 — х)).

(120.12) (120.13) Найдем асимптотическое выражение для сечения в улырарелятивистском случае. При этом предполагается, что не только е » т! но и ~с1~ >> т! т. е. угол рассеяния не слишком мал. В этих условиях в интеграле (120.13) существенна область значений х, в которой а « 1; после соответствующих пренебрежений с1 1па ( 1 1 1п(Ч !се )+1пх+1п(1 — х) ( х. 2сгее а 2к / х(1 — х) ') Функция Е(5) уже встречалась в задачах к 8 98.

Это неудивительно, так как с логарифмической точностью (120.11) можно получить, интегрируя сечение испускания фотонов нулевой массы (98.8) по са в пределах от Л до ы, . Если ввести вместо 5 переменную е согласно 5 = в1с(0/2), то Е(В) = — (Оссйо — 1). 2 (120.12а) 592 РАДИАЦИОННЫВ ИОИРАВКИ 1Л. ХП Окончательно 2 2 21 сЬ = — [1п — 1п — ' — 1и — 1п — + — 1п — ~ 11лтир, г1 >> т . 2о~ Ч ы, г Ч 1 2Ч~ 2 2 тг А т и12 4 т21 (120.14) й 121.

Рассеяние электрона во внешнем поле во втором борновском приближении В первых двух приближениях по внешнему полю рассеяние электрона изображается диаграммами тг=Р' — у ! Р, (В=у — Р ! I'» (121.1) Р Р М(~ и" Первой из них отвечает амплитуда МП) яе21 рассмотренная в 9 80. Амплитуда же второго приближения М12) (Лез)2. Легко видеть, что члены такого же порядка возникают и от радиационных поправок. В третьем порядке теории возмущений радиационные поправки к амплитуде рассеяния изображаются диаграммами (121.2) Р а Р Р б м~гг Интеграл надо обрезать при а т2ггег, т. е. при л т~ггг1~ снизу и при 1 — х 212~/г1~ сверху. Тогда Г2 — — [2 1п —, 1и — — 1п — ~ = — [1п — — 4 1п — 1и — ~ .

ч'1 222 ег шг пгг 911 тг Л1 Нгг" Эта формула справедлива с точностью до квадратов логарифмов, как говорят, с двизкды логиридгмической точностью. С этой же точностью достаточно положить в первом члене в (120.11) Р® — — 1пг, ~ >> 1. 1 нн РАссеяние ВО ВтОРОм ВОРнОВскОм НР)иБлижении 593 При этом ЛХ(е) юе ег, и если У 1, то М)з) М)2). Согласно (64.26) сечение рассеяния ~М)П + М)е) + М)е))2 о (121 8) В стоящем здесь квадрате амплитуды мы имеем право сохра- )Н 2 нить, наряду с )МХ,.~)2, также и интерференционные члены меж- ну ЛХХ, и МХ, и между МХ,.

и МХ, . Таким образом, с точностью ))) )2) ))) )8) до членов е сечение представится суммой ,1П,1, (0 + Я, (г) +,Х, (121.4) где до:П) - сечение в первом борновском приближении (см. 8 80), а поправки к нему 1 00 2р М)ПМ)г)* ))о' Х$ Х~ 18 з ~ (121. 5) П) (3)* е)о сЬрад = 2 Йх., МХ МХ 11апоыниы (см. () 80), что ЛХХ,. — — ~ е (Б' уеи) Ф(с1), (121. 6) где Ф(с1) -- компонента Фурье скалярного потенциала постоянного внешнего поля (Ф = Ае' ) и учтено, что заряд электрона (е) е = — )е). Два выражения (121.5) могут, очевидно, вычисляться независимо. Первое будет рассмотрено в этом, а второе в шгедующем параграфе.

Амплитуда второго приближения, построенная по диаграмме (121.1), дается интегралоги ') 4зХ мь" = — ') ( )е')е',~)+, е' )е))е)Р' — ~)ел — Р) —,',; (121. 7) «4-импульсы» внешнего постоянного поля д1 = Х вЂ” р и чг = р — Х ) не имеют временных компонент. Поэтому Хо = е = е, (121. 8) где е и е —. начальная и конечная энергии электрона, совпадаю- щие друг с другом при упругом рассеянии.

) Напомним, что здесь надо пользоваться правилом диаграммной техники, относящимся к постоянному внешнему полю, — см. сформулированное в 8 77 правило 8. 594 Гл. хп РЛДИЛЦИОННМЬ ПОПРАВКИ )'(О) ехр ( — 2 — 1п !р/г) . Ф Но этот коэффициент и является амплитудой рассеяния электрона в поле, и мы видим, что ее фаза содержит расходягпияся (при г — > оо) член. При разложении амплитуды рассеяшгя по степеням Яа этот член приведет к расходимости всех членов разложения, начиная со второго (так как сама функция 7(2)) пропорциональна Уо). Ситуация в релятивистском случае имеет, разумеется, аналогичный характер. Эти рассуждения показывают в то же время, что расходящиеся члены должны сократиться при вычислении сечения рассеяния, в котором фаза амплитуды несущественна. Простейший путь корректного проведония вычислений состоит в том, чтобы рассмотреть сначала рассеяние в экранированном кулоповом поле, т, е, положить Ф(9) = (121.9) Ч2 .~ 22 с малой копстантой экранирования б (д « ~р~).

Тем самым устраняется расходимость в амплитуде рассеяния, а в окончательном ответе для сечения уже можно положить д = О. Подставив (121.9) в (121.7), получим где введены обозначения: 2 )Зу ,71 ((р 1)2 + 62)((2 р)2+ д2)(р2 12 + 20) 2 Р+Р' 7 ((Р' — 2)2-Р 42)((à — Р)2-> б2)(Р2 — 12-Р 20) 2 (121.10) Здесь р = е~ — шз = р и интеграл д симметричен по отпоше- 2 1Я нию к р и р', из соображений векторной симметрии очевидно, В чисто кулоцовом поле неподвижного заряда Я~с~: Ф( ) 42ГЯ~В~ ч' Для такого потенциала интеграл (121.7) логарифмичсски расходится (при 1 р и 4 р ). Эта расходимость специфична для кулонова поля и связана с медленностью его убывания на больших расстояниях.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4980
Авторов
на СтудИзбе
471
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее