Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.С. Давыдов - Квантовая механика

А.С. Давыдов - Квантовая механика, страница 59

DJVU-файл А.С. Давыдов - Квантовая механика, страница 59 Физика (2684): Книга - 4 семестрА.С. Давыдов - Квантовая механика: Физика - DJVU, страница 59 (2684) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.С. Давыдов - Квантовая механика", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 59 - страница

(73,5) где Но(1, 2) = — — (7777+ «77) — Ее 1 — + — 1 (73,1а) яи 1 то 7'о) — оператор Гамильтона двух электронов в кулоновском поле ядра, Уьо = — — оператор взаимодействия между электрогн нами. В нулевом приближении (когда не учитывается взаимодействие между электранамн) задача для обоих электронов сводится к рассмотренной в $38 задаче о движении электрона в кулоновском поле — Еео/г, ',Энергия каждого электрона в этом случае определяется формулой е'е' е = яеео' где а = йо/(«оео) †боровск радиус, п †главн квантовое'число. Уровню энергии з соответствуют волновые функции ~р 7 = = ры(г) «7т(0, у). Основное состояние системы в нулевом приближении соответствует состоянию, в котором оба электрона находятся в состояно(и 1з. Энергия этого состояния равна Хеео Ео=2е, = — —, (73,2) е З4О квантовая теоэия систем одинаковых частиц тгл.

!х - Для вычисления интеграла (73,5) удобно разложить !/г!2 по сферическим функциям: 4а т1 ! Г22!! —,~~ (т!+ !) ( —,) у (Ен р,)у, (Е„ы, если г,) г;, ,7~ (З! ! !) 1; ) уь2 (6! ° %) уь2 (622 Ч2)1 ь ЕСЛИ Г2 > Г„ ГЫ ~ 21 — 22! (73,6) Подставляя (73,6) и (73,2) в (73,4), находим энергию основ- ного состояния системы в первом приближении теории возл2у- щений ге' (~ г) (73,7) Вычислим энергию нонизации атома гелия и соответствуюшнх гелиеподобных атомов.

Энергия ионизации У, т. е. энергия, требуемая для. отрыва одного электрона, равна разности энергии —.32е2Д2а) оставшегося электрона в поле заряда Яе и энергии (73,7). Таким образом, (~ а) 2 2 ( 4) (73'6) Можно получить более точные значения энергии и волновоГ! функции основного состояния системы двух электронов, используя прямой вариационный метод. В основном состоянии оба электрона находятся в состояниях с нулевым орбитальным моментом и с антипараллельными спинами. Поэтому нормирован- где 6!,ф! и 02,!р2 — соответственно полярные углы радиусов век- торов г! н г2. Есаи подставить это разложение и (73,3) в (73,5) и учесть, что функция (73,3) не зависит от угловых переменных, то при интегрировании по угловым переменным обратятся в нуль все члены, кроме тех, для которых (= гл = О.

Таким образом, интеграл (73,5) преобразуется к виду г! о ОΠà Π— — ) ~ е "~ — ~ е "гэг(г+~ е "гг(г юг. я э г, 2 2 2 2 1 1' о о l) Путем интегрирования по частям получим окончательное выра- жение для среднего значения энергии взаимодействия элек- тронов Э 731 ОСНОВНОЕ СОСТОЯНИЕ АТОМОВ О ДВУМЯ ЭЛЕКТРОНАМИ 541 ную пробную функцию можно выбрать в виде (73,3), заменив Х вариационным параметром В: (73,9) Согласно $ 51, задача определения энергии основного состояния сводится к вычислению интеграла Е(В) = ~ фоНфодт.

где Н вЂ” оператор Гамильтона (73,1). Подставляя в Е(В) явное выражение Н из (73,1) и учитывая, что 591о = аео, представим Е(В) в.виде суммы трех слагаемых Е(В)=Е, (В)+ Ее(В)+ Ез(В)~ Следовательно, энергия основного состояния системы 5 251 ео Ео = Е (Во) = (Х 5 Х + ) 256) е а волновая функция фо= — „~ —,) ехр~— (73,11) (73,12) (73, 13) где Х*= Х вЂ”вЂ” 5 16 — эффективный заряд ядра. Волновая 'функция (73,12) отличается от водородоподобной функции (73,3) тем, что в (73,12) входит не заряд ядра, а эффективный заряд, учитывающий тот факт, что каждый электрон частично экранирует ядро от другого электрона. где Е,(В) =- — '," ~ф,(Р;+~;) ф,~.,а;= В"-.*, I ! 11 е' Ее(В) = — Хат 1 фо1 — + — )е(т,дт,= — 2Х —, ,а 1 5 ее Ез(В) =~',~ ф~ —,.

Таким образом, энергия системы как функция параметра В имеет вид Е(В) = — „(В' — (2Х вЂ” 6) В1. АЕ Теперь из условия минимума — =О находим лр Во= Х вЂ” —. б 16' КВАНТОРАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ 1гл. !х :342 Вычисляя с помощью (73,11) энергию ионизации, получаем Хаа* с' l В 25 1 У = — Еа — — „= — (Яа — — г+ —,~). (73,!4) 2а 2а ! 4 1хз1' 'В табл.

1! приведены экспериментальные значения энергии иони.зации (в атомных единицах) и значения, полученные на основе формул (73,8) и (73,14). Таблааа 11 Звергвв аааяааявв лаухааехтраавых састси Из табл. 11 следует, что уже простой вариационный метод .дает удовлетворительное согласие с экспериментом. Хиллераас [55] показал„ что путем использования пробной волновой функ.цяи с несколькими варнацнонными параметрами можно получить энергию двухэлектроиных систем со спектроскопической точностью, т, е.

порядка 10 а. При использовании функции с 8 параметрами Хиллераас получил для энергии ионизации атома гелия величину У = 0,9037, что хорошо согласуется с экспериментальным значением. 2 74. Возбужденные состояния атома гелия. Орте- и парагелий Ф, = = [1ри (1) щ, (2) + ~рм (2) <рт, (1)1, т2 е.= —,, [р,(!) ь(2) — ч,.(2) .(!)). (74,1) ,Полная волновая функция должна быть антисимметричной, по- В нулевом 'приближении в основном состоянии атома гелия два электрона находятся в водородоподобных состояниях 1з.

Это состояние кратко записывается в виде (14)а. В скобках указано электронное состояние. а показатель степени указывает чи-сло электронов в этом состоянии. Такое изображение состояний называется электронной конфигурацией. Первому возбужденному состоянию атома гелия будет соответствовать электронная конфигурация (1з)'(2э)'. Волновые функции этой конфигурации, Относящиеся к двум схемам Юнга [21 и [1, Ц, можно записать в виде ВОЗВУХ«ДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ 'АТОМА ГЕЛИЯ Зчэ этому, в соответствии с 2 72, можно сказать, что координатная волновая функция Ф, должна соответствовать спиновому состдя.' нию с антипараллельными спинами (общий спин равен О), а вол-' новая функция Ф, — спиновому состоянию с параллельнымьч спинами (общий спин равен 1).

'Состояния, имеющие антипараллельные спины, называются парасостояниями Состояние, соответствующее функциям Ф, (в частности, основное состояние. атома гелия), относится к парасостояниям. Состояния, в которых электроны имеют параллельные спины, называются ортосостояниями. В нулевом приближении пара- и ортосостояния Ф, н Ф, конфигурации (1з) (2з)' имеют одинаковую энергию. Однако, если- учесть взаимодействие между электронами, то энергйя этих состояний оказывается различной: энергия парасостояния Ф Н««м«в ыщр р р в.. в ю убедиться на основе простых качественных соображений. Иэ вида' функций (74,1) следует, что функция Ф равна нулю, а функция Ф, имеет наибольшее значение, когда координаты обоих электронов совпадают, Таким образом, в состоянии Ф электроны находятся чаще далеко друг от друга, чем в состоянии Ф Поэтому средняя энергия кулоновского отталкивания электронов в состоянии Ф меньше, че«4 в состоянии Ф,.

Следовательно, разница в энергии пара- и ортосостояний конфигурации (1з)' (2з)' является следствием корреляции в движении электронов, возникающей из условий симметрии волновых функций по отношению к перестановке пространственных координат. Для получения энергии орта- и парасостояннй (74,1) в первом приближении теории возмущений достаточно вычислить- среднее значение оператора Гамильтона (74,!) в этих состояниях. Таким образом, учитывая, что ф«, н фм являются водородоподобными функциями, соответствующими энергиям а«, и зр„получим энергию парасостояния Е, = ) Ф,НФ, «!т = а„+ з~, + !г + А, (74,2) и энергию ортосостояния Е = ) Ф НФ «(т=а„+ея, +(с — А, где ~ ф«в(1) «!зв(2) — «!'Г««!Ям (74,4). А = ~ ф«в (1) фм (2) —, ф«(2) фр, (1) «(т««(тм (74,5)" Интеграл Я обычно называют кулоновским интегралом. Он определяет среднее значение кулоновской энергии взанмодействня« 344 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ (ГЛ.!Х электронов без учета корреляции движения электронов, обусловленной симметрией функций.

Интеграл А обычно называют Обменным интегралом. Он определяет часть кулоновского взаилюдействия, существенно связанную с корреляцией движений обоих электронов. Добавку к энергии, обусловленную интегралом А, обычно называют обменной энергией. В некоторых книгах по квантовой механике (например, [53), стр.

211) отмечается, что обменный интеграл «определяет частоту, с которой оба электрона обмениваются своими квантовыми состояниямив. Такая интерпретация основана на пренебрежении спиновыми состояниями электронов. Она не отражает никакого реального процесса*). Обменная энергия является частью кулоновской энергии взаимодействия электронов, возникающей из-за особой корреляции в движении электронов, обусловленной соответствующей Симметрией (по отношению к перестановке пространственных координат, а не самих частиц) координатных волновых функций.

') Эта интерпретация обычно базируется на следующем рассуждении: двум стационарным состояниям с энергиями Е, и Е, определяемыми формулами (74,2) и (74,3), соответствуют две координатные волновые функции Ч/з = Фз ехр ~ — /Ез — ! и Ч/я = Фаехр 1 — !Ео-~), (А) где Ф. и Ф определены (74,1). Рассмотрим далее нестационарное состояние, 1 описываемое функнией ф (/) = — (Ч'з+ Ч'е).

Подставляя в зго выражение )' 2 значения (А) и учитывая (74,1) — (74,3), получим ф (/) (еи (1) ~р (2) соз Ь/+ Ьр,з (2) югз (1) з!пй!) е где ! А аз= — (взз+ а„+ !)), Ь й й При / = 0 функция ф(0) юм(1)~рз,(2). Функция ф(0) изображает состояние, в котором первый электрон находится в состоянии !з, а второй — в со! зья я вй стоянии 2з.

При /=.— = — функция ф ~ — ) = !Ч~ (2) ф (1) е 2Ь 2А 12Ь/ Эта функция изображает состояние, в котором первый электрон находится в состоянии 2з, а второй — в состоянии 1з. Поэтому и говорят, чга электроны меняются своими нвантовыми состояниями. Легко, однако, видеть, что при учете спиновых состояний приведенные выше рассуждения оназываются неправильными. Действительно, с учетам спинозой переменной стационарные состояния с энергиями Е, и Е определяются не функциями (А), а функциями /Ъ / Ч/,=Фз ехР( — !Š— ! и Ч" =Фек,ехР! — !Е, й), (Б) где Ф, и Ф„определены (74,1), а сливовые функции Х, и Х, определяются рыражениями (74,8) и (749).

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4995
Авторов
на СтудИзбе
467
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее