А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 42
Текст из файла (страница 42)
и волновые функции имеют следующий порядок величины: КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ >ГЛ. 1ЧП 246 Из (55,17), (55,19) н (55,20) следует, что если функция (55,22) соответствует решениям с положительным знаком заряда, то функция (65,23) будет' соответствовать решениям с отрицательным знаком заряда, и наоборот, если Ч" — решение для отрицательного заряда, то Ч',— решение для положительного заряда. Решение (бб,23) называют зарядово сопряженным решением по отношению к (55,22).
Связь между этими решениями определяется соотношением Ч", = т>Ч' . Преобразование Чг- Ч", сопровождается преобразованиями 1Уо1+>-~Хо1-'>. Хо>+>-~<Ро1->, Р-~ — Р и З вЂ” ~ — Е Если состояние движении некоторой частицы описывается функцией Ч", то частицы, соответствующие зарядово сопряженной функции Чг„называются -античастицами. Например, если и -мезон назвать частицей, то и+-мезон будет античастицей.
Операция зарядового сопряжения переводит частицы в античастицы и наоборот, поэтому зарядовое сопряжение иногда называют сопряжением частица — античастица. Если частица тождественна со своей античастицей, то она называется нейтральной частицей. Частицы и античастицы могут отличаться не только знаком электрического заряда, но и другими величинами (например, магнитным моментом, нуклониым зарядом и т. д.). При операции зарядового сопряжения все эти величины меняют знак.
Частицы, не имеющие электрического заряда, не всегда являются истинно нейтральными Например, яьтмезон и фотон являются истинно нейтральными частицами, нейтрон и нейтрино не являются истинно нейтральными частицами. Волновые функции истинно нейтральных частиц нулевого спина должны удовлетворять равенству Ч",— т,Ч'=аЧ", где ~ а(=1.. (55,24) Двукратное применение операции зарядового сопряжения эквивалентно тождественному преобразованию. Следовательно, должно выполняться равенство ссз = 1, или а = ~ 1. Итак, возможны два типа истинно нейтральных частиц: а) нейтральные частицы положительной зарядовой четности, для которых а = 1; б) нейтральные частицы отрицательной зарядовой четности, для % зя пгедстззлвние Фешазхх — ВиллАРСА которых а = — 1.
Волновые функции таких частиц удовлетворяют соответственно равенствам Ч;=т,Ч"-Р и-,=Х; (55,25) Ч".= — т,Ч'"= — Ч" или р= — у. (55,26) Подставляя (55,25) н (55,26) в (55,8), находим условия, которым удовлетворяют волновые функции (уравнения второго порядка по времени) для нейтральных частиц: ф, (ч>+% ) ф (55,27) для частиц с положительной зарядовой четностью; ф.=((ч-ч>') =ф. (55,28) для частиц с отрицательной зарядовой четностью. Итак, нейтральные частицы описываются действительными волновыми функциями.
Зарядовая четность нейтральных частиц определяется на опыте при исследовании их взаимодействий с другими частицами. Например, нейтральные пионы (яз-мезоны) являются частицами с положительной зарядовой четностью. Фотоны (кванты электромагнитного поля) являются частицами отрицательной зарядовой четности. Отрицательная зарядовая четность фотонов следует из того факта, что потенциалы электромагнитного поля меняют знак при зарядовом сопряжении, которое' меняет знак электрических зарядов. Положительная зарядовая четность пз-мезонов следует нз экспериментального факта распада пз-мезона на два фотона.
6 56*. Свободное движение частицы с нулевым спином в представлении Фешбаха — Вилларса Из равенств (55,18) и (55,20) следует, что состояния движения, соответствующие определенному знаку заряда, изображаются двумя компонентами ~р и ~, удовлетворяющими системе уравнений (55,9) первого порядка по времени. В нерелятивистском приближении в каждом зарядовом состоянии одна из этих компонент значительно больше другой и приближенно волновая функция сводится только к одной компоненте. Например, для состояний с положительным зарядом р>х+» > тч+ь Можно, однако, перейти к такому представлению (Фешбах и Вилларс [36)), в котором при свободном движении с определенным импульсом каждому из зарядовых состояний будет со' ответствовать только одна функция при любых по абсолютной величине импульсах частиц. Переход к новому представлению (Ф вЂ” предстаеление), волновые функции которого булез> КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [гл.
Тш [Е + Мсз) —, (Š— Мсз) = тз() 'сз— (56,2) 2У МдЕр Однако преобразование функций Ф=([Ч и Ф'=Ч'и' (56,3) оставляет неизменной нормировку (55,16) функций уравнения К вЂ” Г, т. е. 1 Ч тзЧсс[т= 1 Ф тзФс[т. (56,4) В соотвегствии с (56,4) можно назвать обобщенным скалярным произведениел[ или Ф-произведениел[ двух функций Ч" и Ч"' интеграл (Ч !Ч >,= ~Ч'т,ч'дт. Далее назовем Ф-унитарныи любой оператор А, не изменяющий Ф-произведения, т. е. удовлетворяющий равенству (Ч~) Ч~) =(АЧ~) АЧ~) .
Оператор А является Ф-унитарным, если выполняется операторное равенство — = тзА тз= А (56,4а) Если Ф-унитарный оператор коммутирует с тз, то он является унитарным и в обычном смысле. Средний заряд в состоянии Ч" определяется интегралом ()= ~Ч" зЧ"дт. Как будет показано в $139, средняя энергия в состоянии Ч" выражается интегралом вида Е= ~ Чс~т О[Чсдт. Это правило можно распространить на вычисление среднего значения любого оператора (Е) = [ '1' тзй'1 дт. обозначать буквой Ф, осуществляется матрицей [,Е, + Мсз)+ т, (Е, — Мсз) () Р 2 г' МсзЕР где Ер — — с )/рз+ Мзсз.
Матрица У не унитарна в обычном смысле, так как ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФЕШБАХА — ВИЛЛАРСА Условие действительности среднего значения требует выполнения равенства ~ Ч"',1.Ч" ( = Ц Ч"'т,1 Ч" г(т) . Это условие выполняется, если "+ "е =трр- тз= 5 Последнее равенство можно назвать обобн(енньаи условием эрмитовосги оператора.
Если оператор эрмитов в обычном смысле и коммутирует с тм то он эрмитов н в обобщенном смысле. Оператор Гамильтона (55,13) удовлетворяет обобщенному условию эрмитовости, т. е. и~~= Нв При преобразовании функций (56,3) все операторы изменяются по правилу (56,7) В представлении Фешбаха — Вилларса оператор Гамильтона (55,13) свободного движения частицы спина 0 с определенным значением импульса р изображаетсЯ простой диагональной ма- трицей н =ин,и '=,к,. (56,10) 1,в = ие.и (56,5) Производя в соответствии с правилом (56,3) преобразование функции ( ~ Ч<+1=$' 'р1 ~~+'~1ехр( — „(рх — ЕРТ)~, (566) ~ Хо <+1) изображающей состояния с положительным зарядом, находим при учете (55,18), функцию в Ф-представлении ФР <+~ — — 1Р ь( ) ехр~ л (рл — ЕР1) ~.
Преобразование функции ч",,=Р '( " ') р1ть РерР), изображающей состояния с отрицательным зарядом, приводит к функции в Ф-представлении Ф р р = 1' '*(, ) ехр~ — „' (рл+ Е,1)), (56,8) Если Р' йз, то импульс в (56,7) и (56,8) пробегает дискретные значения тррла, Рр= — ', п~ — — О, 1, ...; 1=1, 2, 3. (56,9) кВАзигелятиВистскАя кВАнтОВАя теогия 1гл. ки1 Таким образом, уравнение (55,12) в представлении Фешбаха— Виллврса имеет вид 16= . ТВЕРФР~„, ае, (56,11) где А = + для состояний с положительным зарядом (56,7) и А = — для состояний с отрицательным зарядом (56,6). Функции ФРА образуют полную ортонормированную систему ФР'ытз 1 РА 11Т йбР'Р61'А (56,12) где Х; Х = +, —; р', р пробегают значения, определяемые соот- ношениями (56,9).
В состоянии свободного движения' одна частица имеет' опре. деленное значение злектрического заряда. Однако уравнение (56,!1) допускает .и такие состояния, в которых одновременно имеются частицы обоих типов зарядов (Х = +, †). Такие со- стояния будут описываться волновыми функциями Ф, представ- ляющими линейную суперпозицию состояний ФРА, т.
е. Ф= Х аРАФРА= Х(аР+ФР++ а -ФР-) (56.16) р. ь Р Полыуясь условием ортогональности (56,12), легко показать, что аРА=Х ~ ФРАтзФВТ. (56,14) Из условия нормировки функции Ф тогда следует е ~ Ф1ТВФ дт = е ~„(1 аР+ à — ! ар Г1 = ~ Уе, где ~Уз — полный заряд системы (У может равняться и 1), е~1аР+ 11 — суммарный заряд всех частиц с положительным Р знаком заряда, е~~'„1ар 1з — полный заряд всех частиц, 'имею- Р щих отрицательный знак заряда, В 57*. Интегралы движения и собственные значения операторов в релятнвистской теории частицы нулевого спина В релятивистской теории частиц нулевого спина, так же как и в нерелятивнстской теории (см. ф 31), изменение состояний с течением времени характеризуется волновымИ функциями р(к, 1) (57, Ц 1 эл интеп~Алы движения чАстицы нулеВОГО спинА 251 зависимость которых от времени определяется уравнением 1" а~ (57,2) где Нт — ' оператор Гамильтона.
Оператор Гамильтона для случая свободного движения в обычном представлении был определен выражением (55,13). Операторы Гамильтона для частицы, находящейся под влиянием внешнего поля, будут указаны в следующем параграфе. Уравнение (57,2) позволяет вычислить значение функции (57,1) в любой момент времени 1, если известно значение этой функции в момент времени 1 = О.
Изменение состояния с течением времени можно описать и с помощью преобразования Ч"5, () =8(1) Ф ®, О), (57,3) где оператор преобразования Я (М) = ехр (--~ Н 11 ~ (57,4) удовлетворяет условию Ф-унитарности (1)=тзо (1)та=о (г) (57,5) Ч"ГВ)=Я '(1)Ч'($, (), Рг(1)=3 (1)РЯ(1). где оператор преобразования Я(1) определен (57,4), а 8 '(1)=ехр~ — ', Н11 ~. Из (57,7) следует (см., например, способ получения (31,8)) операторное уравнение 18 а [Р Н1) (57,8) (57,6) (57,7) которое по форме соответствует операторному уравнению(31,8) в нерелятивистской квантовой механике. Следствием (57,8) является утверждение, что физические величины Р, операторы Наряду с указанным выше шредингеровским представлением изменения состояния с течением времени в релятивистской теории существует другое — гайзенберговское представление изменения состояний Ь течением времени, при котором волновые функции сохраняются неизменными, а операторы изменяются с течением времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
