Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.С. Давыдов - Квантовая механика

А.С. Давыдов - Квантовая механика, страница 22

DJVU-файл А.С. Давыдов - Квантовая механика, страница 22 Физика (2684): Книга - 4 семестрА.С. Давыдов - Квантовая механика: Физика - DJVU, страница 22 (2684) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.С. Давыдов - Квантовая механика", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 22 - страница

2 123). Предположим, что я характеризует виртуальный уровень 62З2 е„= —," — 1!о, (25,23) при котором 0 = 1. Определим величину бя, такую, чтобы при й=я„+бй коэффициент прохождения 0 24. Из (25,20) следует, что для этого необходимо выполнение равенства + — " ) з!и (а (йа+ бя)1 ~ 2. (25,24) Учитывая (25,21) и неравенство Ьй~ й„, можно. преобразовать (25,24) к виду (з!П(абй)! )абй) ВО зл Ф ои чАстицА В пеямоугольнои потенциАльнои яма 112 Т огда из (25,23) находим изменение энергии Ь 2ЬР«оао 2 „о«ЬА фйа ао аи! ~ ао — а ~ фй «о при котором Р уменьшается до Р1о.

Величину бе, определяемую равенством (25,25), можно условно назвать иолушириной виртуального уровня. Предположим, что частица с энергией е=й~йоо~(21й) < Уо проходит через потенциальный барьер ° Уо, если Ь в[х[„2Ь=а; У(х) = О, если Ь<[х[. В области барьера решение уравнения (25,3) имеет вид Ф= 'фр "р йр= рррр рр — 4 Вне барьера решения фт и фпг совпадают с соответствующими решениями для случая потенциальной прямоугольной ямы.

Следовательно, коэффициент прохождения прямоугольного барьера можно пай фи из (25.20) путем формального преобразования й-ф — 1у. Тогда, учитывая, что е е — е* зш(1~) = получаем Р=~1+ — ( — '+ — „" ) [вот +в от — 2[~ ° Обычно выполняется неравенство 2ау ~ 1, поэтому о-рр(,,).,р[ — — рррр«,—.~[. Если частица пролетаег над барьером, то Р снова определяется 1 ф р рюй ррррр), р р й о ррррр:"о.р. В заключение этого параграфа исследуем решение одномер- ного уравнения (25,3).

Для асимметричной потенциальной ямы Ць если х<0, Р(х) = О, если 0(х(а, Ун если х) а. Пусть' Е < Ро, Рф тогда, вводя обозначения у-1 — — й у =1 — — й у 2фйу 2фйуо о 2фрьрр о У Р Р вЂ” У Ьй ыв пяостаишиа пгиманвния квонтовои мкхлникн 1гл. 1т можно написать общие решения уравнения (25,3) в трех областях (с постоянными значениями потенциальной энергии) в виде Аое т" + Воет ' (х < О), ф(х)= Аз)п(йх+б) (О(х(а), А1е т" + В,ет" (х > а). Чтобы функция ф(х) была конечной при х- ~со, необходимо положить Ао = Во = О.

Если мы интересуемся только возмож- ными значениями энергии, то вместо требования непрерывности ф(х) и —, при х = О и а, достаточно потребовать непрерывей дх ' 1 ~Ьь ности логарифмической производной — при тех же апачей~ их ниах х. Таким образом получаем два уравнения у = й с(и б, у, = — й с15 (йа + 5). Подставляя значения у и уь можно преобразовать эти равен- ства к виду з)п б, — — зш (йа+ Ь). аь .

йв зиио * р 2ни, Исключая значение б, находим трансцендентное уравнение, определяющее значения й, йа пп- агсз!и = — агсз)п ей а» (25,26) Ф зиио пи~ где а = Г 2, 3, ... нумеруют возможные значения й в порядке их возрастания; значения арксинуса берутся в интервале О, н/2; значения й могут лежать в интервале Частица в яме имеет п дискретных энергетических уровней, если при й ='г'йрио/й значение ай больше правой части равенства (25,26), т. е. при выполнении условия — у 2!ь0~ > и ~я — — ( — агсз)п у — . В частности, при п = 1 из (25,27) получаем условие того, что в яме имеется по крайней мере один уровень. Если Уо Ф 0ь то всегда возможны столь малые значения а уЪо прн которых в яме не будет ни одного разрешенного уровня энергии. Напомним, что в классической механике частица может совершать фииитное движение в любой яме, если ее энергия достаточно глгмоничвскии осциллятог 119 мала,.

При На — — У~ условие (25,27) переходит в рассмотренное выше условие (25,18), которое всегда выполняется при п 1. Этот вывод относится ко всем одномерным задачам. Именно„ если асимптотические значения 0(со) = 0( — со) и между ними находится один минимум, то имеется по крайней мере один связанный уровень. Если 0(ое) Ф У( — ео), го связанного сосгояния может не быть.

В случае двух й трех измерений в неглубоких узких ямах может не быть связанных состояний — частица «не захватывается» ямой и совершает инфинитное движение. й 26. Гармонический осциллятор Потенциальная энергия многих физических систем обладает минимумом в некоторой точке пространства. Разлагая потенциальную энергию в ряд по степеням отклонений от этой точки, можно написать (26,1) где х — отклонение от положения равновесия, определяемого усГаи1 ловиеМ 1 — 1 = О. Если частица массы р совершает малые ко1дк 1о лебания около положения равновесия, то в ряду (26,1) можно сохранить только два первых члена. Будем отсчитывать энергию системы от значения 0(0); тогда классическая функция Гамильтона может быть записана в виде Нкл= Р + 9 Л', р~ а (26,2) где л ! — „~ .

Положим далее, что вид потенциальной энер/фЦ~ гии в (26,2) сохраняется и при больших значениях х (идеализация реальной системы). Классическое уравнение движения частицы, описываемой функцией Гамильтона (26,2), имеет простой вид: х(1) = Асов(а(+ р), ' где е= у'Й7р. (26,3) В этом случае говорят, что частица совершает гармонические колебания около положения равновесия, а соответствующие системы называют гармоническими осцилляторами. К такому роду движений можно отнести колебания атомов в молекулах и твердых телах, колебания поверхности сферических атомных ядер и др. Из (26,2) и (26,3) следует, что энергия классических колебаний гармонического осциллятора определяется выражением 4= 2 рА'м' р"'("Ъл (26.4) 12а пРОстеишие пРимеиения кВАнтОВОЯ мехАники 1гл.

1у т. е. зависит от квадрата амплитуды колебания А или среднегр значения квадрата отклонения (Ал)„, А' соз' (а1+ ()) = —. Определим стационарные состояния гармонического осциллятора методами квантовой механики. Заменяя в (26,2) классические величины соответствующими операторами в координатном представлении, получим уравнение Шредингера в~Р~х' + 2РЕ ~ Перейдем в этом уравнении к безразмерным переменным $=х у —,, е=. l ре 2Е (26,5) Тогда получим уравнение второго порядка ( — „, — $1 + е) ф (з) = О. (26,6) Подставив значение ф($) = о($) ехр ( — $112) в (26,6), находим уравнение для функции о($) о" — 2$о'+(е — 1)О=О, где штрих означает дифференцирование по $. Чтобы 1р(а) было конечным, необходимо, чгобы решения о представляли собой полиномы конечного порядка относительно $.

Такие решения существуют, если е — 1=2Ю, а=О, 1, 2, ... Каждому значению и соответствует полипом и-го порядка, который называется полиномом Эрмита Н„($) =. ( — 1)" еп — „„е 1'. Нормированные волновые функции стационарных состояний гармонического осциллягора имеют вид фн($) = 1П12" Г' П 1 Н„Я) ЕХр ( — $92).

(26,7) Используя (26,5), находим значение энергии Е„=йв(п+ 111), (26,8) которому соотвегствуег одна функция (26,7), следовагельно, вырождение отсутствует. Энергия основного состояния Е, = = аа/2 называегся нулевой энергией. Поскольку потенциальная энергия осциллятора инвариантна относительно преобразования инверсии, то стационарные со- х ГАРмоиическии осциллятоР 121 стояния подразделяются на четные н нечетные. Все состояния с четными и относятся к четным состояниям.

Состояния с нечет- ными и —.к нечетным, их волновые функции меняют знак при преобразовании х — — х. В этом легко убедиться, если выписать явный вид первых полиномов Эрмита Но(Ц =!. Н1(Ц =2$* Нз($) = аз — 2 Нз = 8$з 12~ В обшем случае условие четности определяется равенством (26,7). Полиномы Эрмита удовлетворяют простым рекуррент- ным соотношениям: $Н„(Я = аН„, (с) + — Н„+, ф), — =ОН„, К), ЛНл (26,9) (26,10) знание которых полезно при вычислениях. Вычислим, например, среднее квадратичное отклонение от среднего значения $ в состоянии ф„Д). Среднее значение %0 так как под интегралом стоит нечетная функция 5.

Поэтому ОО 6цз).=6').= ~ ИЧЪ В. сл Используя (26,9), находим л— 1~ 2 ф" ~+ 'г' 2 (26,11) (26,12) Применяя это соотношение еще раз, имеем Рфл (Р = 2 ~п (и — 1) ф - + (и + 2) Ф + .~-з~/~ зтпг+яз,. (26,13) Подставляя (26,13) в (26,11) и учитывая ортонормированность функций фл($), получаем (В )л=п+ 2 ~ или Юп = ~и + 2) (26,14) При написании последнего выражения мы учли (26,5).

Из (26,14) следует, что среднее значение квадрата амплитуды нуле-. вых колебаний определяется выражением Ь (Аз)о = ° '2ия ' гагмоиичаскии оециллятог 1зз волновой функции нулевого состояния: (26,21) Вид волновой функции фз с точностью до множителя нормировки может быть получен из условия йфз = О, которое следует из (26,19).

Подставляя явный вид оператора й в координатном представлении (26,21), получим дифференциальное уравнение (~+зй) (~)=' определяющее функции фз® в координатном представлении. Решение этого уравнения имеет простой вид $06) =у.е-ВР. Пользуясь (26,20), легко убедиться, что операторы удовлетворяют перестановочным соотношениям (й, й») =1. (26,22) Путем последовательного применения (26,19) можно доказать равенства йй»ф» — — (и+ 1) ф„, ) й»йФ„= а$„, 1 (26,23) из которых также следует (26,22). Из (26,23) находим, что собственные значения произведений операгоров йй» н й»й равны соответственно (и+1) и а.

Следовательно, матрицы этих операторов в своем собственном пред ставлении диагональны: (йй»)~ = (н + 1) 6„,„, (й»й)„= лб „. (26,24) Если использовать (26,24), то легко вычислить собственные значения оператора Гамильтона, получаемого из (26,2) при переходе к операторам. Действительно, при учете (26,5) и (26,18) находим н=ъ Я+В.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5119
Авторов
на СтудИзбе
445
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее