А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 22
Текст из файла (страница 22)
2 123). Предположим, что я характеризует виртуальный уровень 62З2 е„= —," — 1!о, (25,23) при котором 0 = 1. Определим величину бя, такую, чтобы при й=я„+бй коэффициент прохождения 0 24. Из (25,20) следует, что для этого необходимо выполнение равенства + — " ) з!и (а (йа+ бя)1 ~ 2. (25,24) Учитывая (25,21) и неравенство Ьй~ й„, можно. преобразовать (25,24) к виду (з!П(абй)! )абй) ВО зл Ф ои чАстицА В пеямоугольнои потенциАльнои яма 112 Т огда из (25,23) находим изменение энергии Ь 2ЬР«оао 2 „о«ЬА фйа ао аи! ~ ао — а ~ фй «о при котором Р уменьшается до Р1о.
Величину бе, определяемую равенством (25,25), можно условно назвать иолушириной виртуального уровня. Предположим, что частица с энергией е=й~йоо~(21й) < Уо проходит через потенциальный барьер ° Уо, если Ь в[х[„2Ь=а; У(х) = О, если Ь<[х[. В области барьера решение уравнения (25,3) имеет вид Ф= 'фр "р йр= рррр рр — 4 Вне барьера решения фт и фпг совпадают с соответствующими решениями для случая потенциальной прямоугольной ямы.
Следовательно, коэффициент прохождения прямоугольного барьера можно пай фи из (25.20) путем формального преобразования й-ф — 1у. Тогда, учитывая, что е е — е* зш(1~) = получаем Р=~1+ — ( — '+ — „" ) [вот +в от — 2[~ ° Обычно выполняется неравенство 2ау ~ 1, поэтому о-рр(,,).,р[ — — рррр«,—.~[. Если частица пролетаег над барьером, то Р снова определяется 1 ф р рюй ррррр), р р й о ррррр:"о.р. В заключение этого параграфа исследуем решение одномер- ного уравнения (25,3).
Для асимметричной потенциальной ямы Ць если х<0, Р(х) = О, если 0(х(а, Ун если х) а. Пусть' Е < Ро, Рф тогда, вводя обозначения у-1 — — й у =1 — — й у 2фйу 2фйуо о 2фрьрр о У Р Р вЂ” У Ьй ыв пяостаишиа пгиманвния квонтовои мкхлникн 1гл. 1т можно написать общие решения уравнения (25,3) в трех областях (с постоянными значениями потенциальной энергии) в виде Аое т" + Воет ' (х < О), ф(х)= Аз)п(йх+б) (О(х(а), А1е т" + В,ет" (х > а). Чтобы функция ф(х) была конечной при х- ~со, необходимо положить Ао = Во = О.
Если мы интересуемся только возмож- ными значениями энергии, то вместо требования непрерывности ф(х) и —, при х = О и а, достаточно потребовать непрерывей дх ' 1 ~Ьь ности логарифмической производной — при тех же апачей~ их ниах х. Таким образом получаем два уравнения у = й с(и б, у, = — й с15 (йа + 5). Подставляя значения у и уь можно преобразовать эти равен- ства к виду з)п б, — — зш (йа+ Ь). аь .
йв зиио * р 2ни, Исключая значение б, находим трансцендентное уравнение, определяющее значения й, йа пп- агсз!и = — агсз)п ей а» (25,26) Ф зиио пи~ где а = Г 2, 3, ... нумеруют возможные значения й в порядке их возрастания; значения арксинуса берутся в интервале О, н/2; значения й могут лежать в интервале Частица в яме имеет п дискретных энергетических уровней, если при й ='г'йрио/й значение ай больше правой части равенства (25,26), т. е. при выполнении условия — у 2!ь0~ > и ~я — — ( — агсз)п у — . В частности, при п = 1 из (25,27) получаем условие того, что в яме имеется по крайней мере один уровень. Если Уо Ф 0ь то всегда возможны столь малые значения а уЪо прн которых в яме не будет ни одного разрешенного уровня энергии. Напомним, что в классической механике частица может совершать фииитное движение в любой яме, если ее энергия достаточно глгмоничвскии осциллятог 119 мала,.
При На — — У~ условие (25,27) переходит в рассмотренное выше условие (25,18), которое всегда выполняется при п 1. Этот вывод относится ко всем одномерным задачам. Именно„ если асимптотические значения 0(со) = 0( — со) и между ними находится один минимум, то имеется по крайней мере один связанный уровень. Если 0(ое) Ф У( — ео), го связанного сосгояния может не быть.
В случае двух й трех измерений в неглубоких узких ямах может не быть связанных состояний — частица «не захватывается» ямой и совершает инфинитное движение. й 26. Гармонический осциллятор Потенциальная энергия многих физических систем обладает минимумом в некоторой точке пространства. Разлагая потенциальную энергию в ряд по степеням отклонений от этой точки, можно написать (26,1) где х — отклонение от положения равновесия, определяемого усГаи1 ловиеМ 1 — 1 = О. Если частица массы р совершает малые ко1дк 1о лебания около положения равновесия, то в ряду (26,1) можно сохранить только два первых члена. Будем отсчитывать энергию системы от значения 0(0); тогда классическая функция Гамильтона может быть записана в виде Нкл= Р + 9 Л', р~ а (26,2) где л ! — „~ .
Положим далее, что вид потенциальной энер/фЦ~ гии в (26,2) сохраняется и при больших значениях х (идеализация реальной системы). Классическое уравнение движения частицы, описываемой функцией Гамильтона (26,2), имеет простой вид: х(1) = Асов(а(+ р), ' где е= у'Й7р. (26,3) В этом случае говорят, что частица совершает гармонические колебания около положения равновесия, а соответствующие системы называют гармоническими осцилляторами. К такому роду движений можно отнести колебания атомов в молекулах и твердых телах, колебания поверхности сферических атомных ядер и др. Из (26,2) и (26,3) следует, что энергия классических колебаний гармонического осциллятора определяется выражением 4= 2 рА'м' р"'("Ъл (26.4) 12а пРОстеишие пРимеиения кВАнтОВОЯ мехАники 1гл.
1у т. е. зависит от квадрата амплитуды колебания А или среднегр значения квадрата отклонения (Ал)„, А' соз' (а1+ ()) = —. Определим стационарные состояния гармонического осциллятора методами квантовой механики. Заменяя в (26,2) классические величины соответствующими операторами в координатном представлении, получим уравнение Шредингера в~Р~х' + 2РЕ ~ Перейдем в этом уравнении к безразмерным переменным $=х у —,, е=. l ре 2Е (26,5) Тогда получим уравнение второго порядка ( — „, — $1 + е) ф (з) = О. (26,6) Подставив значение ф($) = о($) ехр ( — $112) в (26,6), находим уравнение для функции о($) о" — 2$о'+(е — 1)О=О, где штрих означает дифференцирование по $. Чтобы 1р(а) было конечным, необходимо, чгобы решения о представляли собой полиномы конечного порядка относительно $.
Такие решения существуют, если е — 1=2Ю, а=О, 1, 2, ... Каждому значению и соответствует полипом и-го порядка, который называется полиномом Эрмита Н„($) =. ( — 1)" еп — „„е 1'. Нормированные волновые функции стационарных состояний гармонического осциллягора имеют вид фн($) = 1П12" Г' П 1 Н„Я) ЕХр ( — $92).
(26,7) Используя (26,5), находим значение энергии Е„=йв(п+ 111), (26,8) которому соотвегствуег одна функция (26,7), следовагельно, вырождение отсутствует. Энергия основного состояния Е, = = аа/2 называегся нулевой энергией. Поскольку потенциальная энергия осциллятора инвариантна относительно преобразования инверсии, то стационарные со- х ГАРмоиическии осциллятоР 121 стояния подразделяются на четные н нечетные. Все состояния с четными и относятся к четным состояниям.
Состояния с нечет- ными и —.к нечетным, их волновые функции меняют знак при преобразовании х — — х. В этом легко убедиться, если выписать явный вид первых полиномов Эрмита Но(Ц =!. Н1(Ц =2$* Нз($) = аз — 2 Нз = 8$з 12~ В обшем случае условие четности определяется равенством (26,7). Полиномы Эрмита удовлетворяют простым рекуррент- ным соотношениям: $Н„(Я = аН„, (с) + — Н„+, ф), — =ОН„, К), ЛНл (26,9) (26,10) знание которых полезно при вычислениях. Вычислим, например, среднее квадратичное отклонение от среднего значения $ в состоянии ф„Д). Среднее значение %0 так как под интегралом стоит нечетная функция 5.
Поэтому ОО 6цз).=6').= ~ ИЧЪ В. сл Используя (26,9), находим л— 1~ 2 ф" ~+ 'г' 2 (26,11) (26,12) Применяя это соотношение еще раз, имеем Рфл (Р = 2 ~п (и — 1) ф - + (и + 2) Ф + .~-з~/~ зтпг+яз,. (26,13) Подставляя (26,13) в (26,11) и учитывая ортонормированность функций фл($), получаем (В )л=п+ 2 ~ или Юп = ~и + 2) (26,14) При написании последнего выражения мы учли (26,5).
Из (26,14) следует, что среднее значение квадрата амплитуды нуле-. вых колебаний определяется выражением Ь (Аз)о = ° '2ия ' гагмоиичаскии оециллятог 1зз волновой функции нулевого состояния: (26,21) Вид волновой функции фз с точностью до множителя нормировки может быть получен из условия йфз = О, которое следует из (26,19).
Подставляя явный вид оператора й в координатном представлении (26,21), получим дифференциальное уравнение (~+зй) (~)=' определяющее функции фз® в координатном представлении. Решение этого уравнения имеет простой вид $06) =у.е-ВР. Пользуясь (26,20), легко убедиться, что операторы удовлетворяют перестановочным соотношениям (й, й») =1. (26,22) Путем последовательного применения (26,19) можно доказать равенства йй»ф» — — (и+ 1) ф„, ) й»йФ„= а$„, 1 (26,23) из которых также следует (26,22). Из (26,23) находим, что собственные значения произведений операгоров йй» н й»й равны соответственно (и+1) и а.
Следовательно, матрицы этих операторов в своем собственном пред ставлении диагональны: (йй»)~ = (н + 1) 6„,„, (й»й)„= лб „. (26,24) Если использовать (26,24), то легко вычислить собственные значения оператора Гамильтона, получаемого из (26,2) при переходе к операторам. Действительно, при учете (26,5) и (26,18) находим н=ъ Я+В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
