Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 75
Текст из файла (страница 75)
6.20. Фурье-анализ одиночного прямоугольного импульса. Рассмотрим прямо- )гольный импУльс ф(Г), Равньш нУлю Дла всех Г, кРоме интеРвала от Г, До (г. Внутри этого интервала ф(!) имеет постоянное значение 1!М, где 0!=ге — Г,. Пусть (г — время в центре этого интервала. Покажите, что функция ф(!) ьюжет быть представлена следующим образом: Э ф Р) = ) А (ы) шпы(! — (,) бы+) В(со) совы(! — (г)дсо, о о 1 з!пЧгйгы А(ы)=0, В(ы)=— и )гугш Постройте график зависимости В от го. В пределе, когда Л! стремится к нулю, ф(!) стремится к дельта-функции, которую обозначим 5(! — (г). Чему равно В (ы) для дельтаф> нкции? 6.21.
Фурье-анализ цуга синугоидальных колебаний. Пусть функция ф(!) равна нулю вне интервала, простирающегося от (г до Гз. Длина интервала равна 81= =1,— !ы а централ~нос значение 1;=')г((г+!г), Положим, что ф(!)=созга(! — !г) внутри этого интервала. а) Покагюпе, что ф(Г) может быть записана в виде ф (() = ) В (ы) соз ы(! — !«) Йа, о мп ((м»+о») 1»Л() 3!п ((ы» — м) !'.Л!) ма+го ' «з« — «о б) Покажите, что если Л( значительно меньше л~обаго периода, каторьш мы интересуемся, то лВ(ы) имеет постоянное значение, равное в] Покажите, что если Л! содержит много колебан~б), т. е. сели щ ЛГ:д1, то для «о, достаточно близкого к со«, коэффициент В (ю) практически апр;",еляется одним вторым членом: зьп Еь»«ы) Е«Л!) пВ (ьз) (ю„— ы)::.
) Фч — 'ьз( ы,— го г) Постройте графики ф(Г) и В(га) длл случая в). Эта задача пот,он ш и": гоня гь ригилгрение спектрачьных линий из-зи гтолнноггнищ Нсйозч щен шт а;::",ч испускающий почти монохроматический внлимьг1 спет, и. еш среднее время высь«- чнвания порядка 10-г сгн. Поэтому спектр Фурье это~а изл,ченпя залп;шст полосу частот шириной Ла 10' гц. Если атомы находятся в газсргзрядпол лампе, то полоса частот испускаемого света (илн «ширина лшп«н» в опшшсск; и терминологии) оказывается порядка 10» гц, а не 10" гц. Тзкос ригииц«гн«м гигьлп-ольнои ,шнии отчасти свлзано с тем, что атомы претерпевают алолкноггния, которые прп.
водят к резкому изменению амплитуды н фазы. Действие столкновения аналоги ь но внезапному прекращению гармонического колебания. Данный атом может пронес~и бачьшую часть времени «невозбу»хденным». Несжпзшшо ан возб, ждзется, и колебания элементов в возбух«денном атоме саответству:ат колебаниям гзтутгю. щего гармонического осцпллятора с временем затухания порядка 10 г с«к(мы рассуждаем классически; более точная картина требует знг|пш квантовои щханики). Однако в течение времени ЛГ, равного примерно 10-' сгн (в гишшпом ггзорззрг(- ном световом исто«шике), атом испытывает столкновение, в резтльтглс которо~ з колебание обрывается случайныы образом.
Если сложить свет от мнопгх атомов, то полоса частот Лч определится как Лч (1(ЛО 10» щ. 6.22. Фурье-анализ ло«тг«периодически логторхющшогл прччоую ~ного импульса. Одиночный прямоугочьный импульс длптельпост»ю Л! имеет пгшрсрывпг«й частотный спектр. Наиболее важная его часть закл очсна в прслсл.". шстот ег нуля да мя»и =-Лг, где Лм- — -1)ЛГ.
(См. задачу 6 20 ) Перподпческп посто(мпощиься прямоугольный импульс длителшюсгью Л й с периодом повторения Т, (7',> > лг), дае г дигнрггпнь«й частотный сиектр, сосголщий из ж«ржанин (целых кр:лиых! частоты и,—. 1,'Т,. Наиболее важная часть этого спектра простнргегся от и) ля до м„,„,=Л», где Лмж!(Л!. (См, задачу 2.30.) Теперь рассмотрим «почти периодически» повторщзцнйсн прямоугольньй им. пульс длительностью Л! с геркодом Тм Время Т„„„„в течение которого происхолит многократное повторение и»шульсав, канечпо, больше периода Т,.
Если бы Т„„„, было бесионечно, то мы ныелп бы псрноди:сскп повторяюпьлпс«г пря. наугольный ямпульс, что соответствует рассмочрсппо су оыше случаю. Прп этом каждая гармоника была бы бесконечно узкой (по частоте). а) Покажите, что для конечного значения Тн„„спектр Фурье почел периодического пряыоугольного импульса представлнетсл суперпоыппей по |тн днскрг:;- иых гарзюник основной частоты м,=1,'7',. В действительности каждая гарь анина пРедставлена Узкой полосой частот шиРинай бч 1~То«, Наиболее «важные» ГаРМОНЯКИ ЛЕжат МсжДУ НУЛЕМ И Мм,„, !ГЛГ. НЕт НсабХОДПМОСтн ЗаииигЛЬСЯ ИП- тегрироианлем, используйте качественные рассуждения. б) нарисуйте графики, передающие форму ф(г) и фурье-коэффициентов А(«о) и В(ы). 6.23. Фиксация мод лазари длл получения узких иклу.шсаг видимого гзгп.и.
(Сначала сделайте задачу 6.22.) Схематически лазер мок«но представить в виде некоторой области дливой ь, иа концах которой устаиовлень« зерхзла для отражения света «туда и обратно». При соответствующих условиях, когда область Е запол- 1О,ь к„„р.р, 289 непа возбужденными атомами, излучение от каждого атома стимулирует излучение других возбужденных атомов, причем фазовые соотношения между всеми излучаю. шими атомами таковы, что в сумме для излучения по длине лазера имеет место конструктивная интерференция. При этом все атомы колеблются в фазе и колебания атолюв плюс излучение (имеется в аиду излучение между зеркалами) соответствуют нор»«аленой моде всей системы в целом.
Частоты возможных нормальных мод свободных колебаний являются гармониками основной частоты ты Период Т,= =1)т» определяет время, необходимое для прохождения света туда и обратно меж. ду зеркалами, т. с, Т»=2(1(с(п), где н — похазатель преломления. Тогда т»=1)Т» и возможные моды имеют частоты у —.-тех, где т= 1, 2, 3 и т. д. Далее, если бы не было зеркал, то возбужденные атомы независиыо испускали бы свое обычное излучение (свет). Для лазера, наполненного газовой смесью гелий — неон, это излучение соответствует красному свету с длиной волны 6328 А. Время затухания для отдельного атома в этом случае составляет примерно 1О-» сек, что дает полосу частот Лт порядка !0» гн.
Однако если возбуждена нормальная мода всей системы (атомы пшос излучение, т. е. присутствуют зеркала),то время затухания для этой моды значительно бочьше, чем время затухания т отдельного атома. Затухание моды вызвано утечкой света (излучення) через зеркала, отклонением пучка света от параллельности и другими причина»и. Время затухания Т„,„„ может быть в сотни н тысячи раз больше времени высвечивания свободного атома. Зго означает, что каждая мода имеет полосу частот 6»= НТ»»ту«, которая в сотни и тысячи раз )Чке естественной ширины линии Лю Однако естественная ширина линии Лт играет важную роль. Поскольку именно свободно высаечивающиеся агомы возбуждают всю сгстему, то в значительной степени будут возбуждаться только те моды, для которых частота моды шч, лежит где-то внутри полосы Лш Для видимого света н при длине 1.
порядиа метра номер моды и будет очень большим числом. а) Каков порядок величины шр б) Нарве) нте форму частотного спектра важных мод лазера. Другими словами, представьте графически то, что л~ы только что обсудили. Отметьте на этол~ графике интервал тг между соседннпн модами, ширину 6» каждой моды и ширину Л» наиболее легко возбудимых мод, Теперь продолжим наши рассуждения. Если возбуждается иакая-нибудь система, которая затем начинает колебаться, то колебания соответствуют более илн менее сложной суперпозиции нормальных мод.
Если системз возбуждена достаточно грубым образом, то ее колебания будут представлены большим количест. вом мод с произвольными фазовыми соотношениями л»ежду ними. Такую суперпознцию мы можем назвать «некогерснтной» суперпознписй мод. Обычно она имеет место при возбуждении неснольннх мод лазера. Например, нетрудно возбудить лазер таким образом, чтобы практически все люды в диапазоне Лч оказались возбужденнымн. Фазовые соотношения »~ежду различными модами «сл)чайны» в следующем смысле. если вы посмотрите на систел»у в данный момент времени и зафиксируете относительные фазы мод, а затем посмотрите в более позднее время, много большее, чем время Т„т. ю то относительные фазы отдельных мод изменятся непредсказуемым образо»«.
Зто происходит потому, что в течение времени порядка Т„,„„вся энергия, соответствующая данной моде и определяемая энергией возбуждения одной группы атомов, ослабнет (рассеется), но восполнится энергией других, вновь возбужденных атомов. Таким образом, в течение интервала Т„,т„ происходит по крайней мере одно вторичное возбуждение моды, т.
е, «включейие». «Время включения» случайно. Поэтому фазы меняются непредсказуемым образо»~ (произвольно) в течение времени порядка Т„, „. Отметим, что частотный спектр главных мод, который вы нарисовалн, очень похож на частотный фурье-спектр почти периодически повторяющегося прямоугольного импульса (задача 6.22). Однако есть одно крайне важное различие.
В случае почти периодической прямоугольной волны имеют место вполне определенные фазовые соотношения между частотными компонеатами суперпозиция. Для некогерентной смеси мод лазера фазовые соотношения не определены. в) Покажите, что суперпозиция некогерентной смеси мод лазера, каждая иэ которых имеет ширину по частоте Ь»=НТ„, „ при ширине всей суперпозиции Лу, соответствуетфункции ф(1), являющейся йочти периодической функцией 1 с периодом Т,.
Покажите, что эта почти периодическая функция будет сохранять подобие самой себе в течение последовательных временных интервалов Т„содержащихся во временных интервалах порядка Т»<» Понажите, что, хотя и может случиться так, что в течение данного временного интервала порядкз Та„у„ почти периодическая функция ф(1) будет иметь иид периодически повторяющейся прямоуголыюй волны длительностью б)лв11ат, это будет редкой случайностью.
Обычно мы ожидаем, что ф(1) значительно отличается от нуля в течение целого периода Т». Таиим образом, мы должны иметь б1>)1Ыш Теперь мы подготовлены для понцмания красивого изобретения, которое обеспечивает фиксацшо моды. Па.тащили чта каким-либо способол< (какил~ именно, пока нас не интересует) нам )далось получить все главные моды лазера в фазе друг с другах|. Тогда мы мажем а:кидать, что когерентная суперпозиция мод с одинаковылш фазовыми настоянными даст почти периодическуло функцию ф(г), сосгоящу<о из повторяющихся с периодом т, импульсов длительностью б1ш1)бт, форма которых остается примерно постоянной в течение времени порядка Т„< „. Это наше предположение может быть подтверждено опытным путель Вот опйсание остроумного метода фиксации мод, Включим лазер.
Какая-то мода около центра полосы йя возбудится первой. Назовем эту моду тш Теперь сделаем так, что (например) прозрачность среды (илц зеркал, или каких-либо предметов, через которые проходит свет) изменяется или <модулируется» по синусоиде относительно некоторого среднего значения. Частота модуляции выбрана равной основной частоте чл=-1<Т„где Т, — время прохожденяя излучения <туда и обратна> (между зеркаламн).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
