Ф. Крауфорд - Волны, страница 72

DJVU-файл Ф. Крауфорд - Волны, страница 72 Физика (2681): Книга - 4 семестрФ. Крауфорд - Волны: Физика - DJVU, страница 72 (2681) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "Ф. Крауфорд - Волны", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 72 - страница

(115) Сравнивая этн выражения с формулами (108) и (109), мы видим, что коэффициент В(в) для затухающих колебаний пропорционален запасенной знергии Е(в) вынужденных колебаний. Коэффициент А(в) для затухающих колебаний состоит из двух слагаемых: одно из них пропорционально вА„(в), а второе пропорционально 273 (111) (112) В лсобой таблице определенных интегралов мы найдем е- з!пЬ Нх Ь+ао' о о е "'соз(охс(х=— (со- ао Равенства (102) и (103) дают ч (в) =,„,,' Р. Г.,, +,, „,',,, (105) (сотсас) т( ДГ) ' (в — вс) +('(оГ)" Воспользуемся равенством (100) для замены в,' на в,'.

После ряда преобразований получим 2в (во — во) ~ вГ (108) (в,'— соо) тГ'в' 2лВ (со) Г (со во) (в; —.о)-'„Гово ' 1 (оэ) = =12пА (в)) о+ [2пВ (в))о =-, + . (110) (в', — во) т Гово Сравнение свободно затрхасои(его колебания о вьснужденньслс колебаниехк Интересно сравнить полученные результаты частотного фурье-анализа колебаний свободно затухающего гармонического осциллятора с результатами частотного анализа установившихся вынужденных колебаний, Приведем результаты, которые были получены для такой системы в п.

3.2 (равенства (3.17) н (3.32)— (3.35)): А„(ь2). При достаточно слабом затухании слагаемое, пропорциональное А„, пренебрежимо мало, за исключением значений рь, очень близких к резонансу рь,; поэтому А(ь2) в этом случае практически пропорционально ь2А2(ь2). Интенсивность 1(ч2), определяемая как А*(рь)+В'(ь2), состоит из двух частей: одна часть пропорциональна поглощаемой мощности Р(ь2), а вторая часть, при достаточно слабом затухании, т. е. при Г'(( ь22, пренебрежимо мала. Поэтому можно считать, что интенсивность 1(рь) для свободного затухания практически пропорциональна поглощаемой мощпостц Р(ь2) для вынужденных колебаний. ,)7оренр(евскин форма линии; связь с резонансной кривой. В случае слабого затухания для 22, близких к ш„коэффициент В(ь2) и интенсивность 1(ь2) пропорциональны функции 1(ь2): (1! Г)2 ( ) (м 12)2+ (1! (')2 (116) Эта функция называется лорен2(евской формой линии.

Коэффициент затухания Г равен величине интервала частот, внутри которого Ць2):='1,1.(рвр). Этот интервал частот называется шириной линии 1221 частотного спектра, описывающего затухающие колебания: (Лв), „=Г. (117) Лоренцевская форма линии (116) совпадает с брейт-вигнеровской резонансной кривой 1((ь2), которая дает (для слабого затухания) частотную зависимость величин А„(ы), )А1'-', Е(со) и Р(1ь) при вынужденных колебаниях (равенство (3.36), и. 3.2)1: ( ~,Г)1 ( ' — )'+(')2Г)' ' (118) Полная ширина резонанса на уровне половины макснмалыюго значения равна ("(ь') 222 (119) Таким образом, мы пришли к замечательному выводу, что для слабо затухающего гармонического осциллятора (который мы взяли в качестве модели излучающего атома) преобразование Фурье дает ту же частотную зависимость, что и резонансные характеристики вынужденных колебаний: (120) Измерение собственной частоты и полосы частот.

Тот факт, что фурье-преобразование для затухающих свободных колебаний совпадает с резонансной кривой для установившихся вынужденных колебаний, имеет важные экспериментальные следствия. Допустим, что мы хотим определить а) первую моду рояльной струны и б) энергию первого возбужденного состояния атома. Рассмотрим три способа, которыми это можно сделать: 1. Временная зависимость свободных колебаний.

В зависимости от того, с какой из двух систем мы имеем дело, мы можем воспользоваться либо молоточком рояля, либо столкновением атома с другим атомом для внезапного возбуждения системы в момент «=0, Произведя скоростные фотоснимки движения затухающего осциллятора, мы можем построить график смещения в зависимости от времени. Зто возможно для рояльной струны, но для атома невозможно, даже в принципе. (В томе «Квантовая физика> будет показано, почему зто невозможно.) 2.

Резонансная характеристика вынужденного колебания. Пусть в установившемся режиме на систему воздействует гармоническая сила Ро соз а)й Будем менять частоту внешней силы и измерять поглощаемую мощность Р((а) как функцию частоты.

Зто можно «;-лагг Рнс. 6.11. Слабо засуха~сына гармонический осциллнтор, о) импульс т (о=-ехр( — о«ни сов ы( прн ге,—.рлг, т. е. т=«тк б) еурьенсом(хрнциенты лла непРеРывной суперпозанин гармоннеесквх нленов. )(Л(ы) а1п и1+В(ы) соз мг) гы. а сделать не только для струны рояля, но н для некоторых возбугкденных состояний атомов, если на них действует установившееся электромагнитное излучение, Снимая зависимость Р от е), можно найти «)в и Г. 3.

Фурье-анализ испускаемого спектра. Выполним фурье-анализ излучения для системы, внезапно приведенной в возбужден- 2зо ное состояние. Это возможно как для струны рояля, так и для некоторых возбужденных состояний атома, если измерять частоты испускаемого атохюм света. Легче всего измерить интенсивность излучения в зависимости от частоты. Эта величина пропорциональна интенсивности!(«о), получаемой из фурье-анализа. Зная функцию 1(в), мы можем получить частоту в, и ширину полосы Г. На рис. 6.11 показаны затухающие колебания гармонического осцил.

лятора и коэффициенты Фурье А(а) и В(в). Для того чтобы в произведении ширины полосы на интервал времени Лв Л1) 2л получить точное равенство, мы должны определить длительность Лг как произведение 2л на среднее время жизни т. Тогда равенство (120) примет вид Лв Лг'=-2п. 6.5. Фурье-анализ бегущих волновых пакетов Предположим, что передатчик в точке г=О воздействует нз непрерывную, однородную, одномерную открытую систему таким образом, что волновая функция ф(г, 1) бегущих волн в точке г=-0 имеет известную зависимость от времени )(1): ф (О, г) = 1' (г) . (121) Любая «разумная» функция 1(1) может быть представлена суперпозицией гармонических колебаний.

Если Д1) не периодическая функция времени, то суперпозиция непрерывна (по частоте) и выражается через интеграл Фурье: 1" (1) = — ) [А (в) з1пв1+В(«о) сова() дв. (122) о Бегущие солим в однородной диспергирующей среде. Каждая гармоническая составляющая суперпозиции (122) определяет свою собственную гармошгческую бегущ)чо волну с волновым числом я, значение которого следует из дисперсионного соотношения й =- й ( «о) . (123) Каждая частотная составляющая бегущей волны распространяется со своей собственной фазовой скоростью о ь(а) (124) Вся бе1 ущая волна ф(г, Г) 'является суперпозицкей этих гармонических бегущих волн.

Это значит, что мы получим Щ(г, г) и ф(0, Г) заменой аг на вà — йг=вà — й(в)г в каждой гармонической составляющей суперпозиции (122): » «у (О, 1) = — ~ [А(в) з(пв1-,'-В(о~) созв1[йв, (126) а=о 2 «р(г, 1) = ) [А (а) зйп [а1 — й(в) г)+В(в)соз [в1 — й(в) г))пв. (126) 281 В общем случае диспергирующих сред фазовая скорость о„, зависит от частоты в.

Поэтому форма ф(г, г) не остается постоянной с течением времени. Недиспереирующие волны (специальный случай). Для особого случая, когда фазовая скорость иэ не зависит от частоты, волновая функцияф(г, Г) имеетодну и тужеформудля всех(. Этот результат можно получить из общего выражения (12б) следующим образом. Пусть о — фазовая скорость, одинаковая.для всех гармоник: о= —, т. е. п(ы)= —. (127) Тогда уравнение (126) примет внд ф(г, ()=) [А(ы) з1па(1 — — ~~+В(в)созе (! — — у)~ йы, (128) о где и постоянна (по предположению), т. е, не зависит от частоты.

Мы видим, что каждый член суперпозиции (128) получается из суперпозцции (125), соответствующей ф(0, г), простой заменой Г в ф(0, )) на à — (г/о). Таким образом, для недиспергирующих волн имеем ф(г, ))=ф(0, Р), (129) Заметим, что в этом случае нет необходимости иметь дело с преобразованием Фурье. Зная ф(0, г), мы всегда сможем получить ф (г, )), используя равенство (129). Смысл этого равенства заключается в том, что бегущая волна в недиспергирующей среде не изменяет свою форму. Это значит, что смещение (нли электрическое поле, или какой-нибудь другой параметр) в какой-то точке имеет то же значение во время Г, что и смещение в г = О во время г' — (г/и). Примером недиспергирующих волн являются, например, слышимые звуковые волны или волны света в вакууме.

Пусть в точке г=О смещение равно ф (О, г) = Ае-0/ ~ п1". (130) Выражение (130) представляет собой импульс в форме гауссовской кривой. Он имеет максимум при 1 = 0 и очень быстро уменьшается для Г(0 и г)0 (уменьшение практически до нуля происходит в пределах нескольких значений т). Мы мотли бы применить преобразование Фурье к уравнению (130), однако в этом нет необходньюстп, поскольку, по предположению, среда недиспергируюшая, и мы можем сразу же написать выражение для бегущей волны: ф(г, ()=ф(0„(')=Ае-игигииг"=-Ае и)дп-и~ь))'н'. (131) Недиспергирующие волны и классическое волновое уравнение.

Любая гармоническая бегущая волна вида ф(г, г) =Асов [ш) — к(гв) г~ (132) удовлетворяет (покажите это) дифференциальному уравнению дьр (г, )) оР дЬр (г, )) а ~ , дь) (г, Г) (133) 282 Для специального случая (недиспергирующих волн) имеем оф — — о, т. е. скорость постоянна и не зависит от частоты. В этом случае каждый член в суперпозиции бегущих гармонических волн 1см., например, разложение (128)! удовлетворяет одному и тому же дифференциальному уравнению: (13-1) где через ф(г, 1) ооозначена любая из гармонических бегущих волн суперпозиции (128).

Так как каждый член суперпозиции (128) удовлетворяет уравнению (134), то оно справедливо и для всей суперпозиции, т. е. общая волновая функция ф(г, 1) удовлетворяет уравнению (134). Это уравнение в частных производных называется классическим волновым уравнением для недисиергирующих волн илн просто классическим волновым уравнением. Волны, сохраняющие свою 4орму, удовлетворяют классическому волновому уравнению. Любая бегущая волна, сохраняющая свою форму по мере распространения, должна удовлетворять уравнению (134). Предположим, что задано ф(0, г) =1(г) и мы знаем, что волна распространяется, сохраняя свою форму, т.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4990
Авторов
на СтудИзбе
468
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее