Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей

Московский юсуАарственный университет имени М.В. Ломоносова Б. В. Гнеденко КУРС ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕИ Лопушено Министерством высшего и среднего спеииального образования СССР в качестве учебника для студентов математических спеииальностей университетов Издание восьмое, исправленное и дополненное Издательство УРСС МОСКВА,- ББК 22.171я73 Пнеденко Борис Владимирович Курс теории вероятностей: Учебник.

Изд. 8-е, испр. и доп. — М.: Едиториал УРСС, 2005. — 448 с. (Классический университетский учебник.) 1БВИ 5 — 354 — 01091 — 8 Научная библиотека МГУ 22000792 Издательство «Едиториал УРСС». 117312, г. Москва, пр-т 60-летия Октября, 9 Лицензия ИД М 05175 от 25.06.2001 г. Подписано к печати 13.12.2004 г. Формат 60х90/16. Бумага офсетная. Печ. л. 28.

Зак. М 59 Отпечатано с готовых диапозитивов во ФГУП ИПК «Ульяновский Дом печати» 432980, г. Ульяновск, ул. Гончарова, 14 1БВХ 5 — 354 — 01091-8 © Б. В. Гнеденко, 1988, 2001, 2004 © Едиториал УРСС, 2004 3058! О 25650 785354 010912 > Дается систематическое изложение основ теории вероятностей, проиллюстрированное большим числом подробно рассмотренных примеров, в том числе и прикладного содержания. Серьезное внимание уделено рассмотрению вопросов методологического характера.

В настоящее издание возвращен очерк по истории теории вероятностей. Для студентов математических специальностей университетов и педагогических институтов. Предисловие к серии Уважаемый читатель! Вы открыли одну из замечательных книг, изданных в серии «Классический университетский учебник», посвященной 250-летию Московского университета. Серия включает свыше 150 учебников и учебных пособий, рекомендованных к изданию Учеными советами факультетов, редакционным советом серии и издаваемых к юбилею по решению Ученого совета МГУ. Московский университет всегда славился своими профессорами и преподавателями, воспитавшими не одно поколение студентов, впоследствии внесших заметный вклад в развитие нашей страны, составивших гордость отечественной и мировой науки, культуры и образования.

Высокий уровень образования, которое дает Московский университет, в первую очередь обеспечивается высоким уровнем написанных выдающимися учеными и педагогами учебников и учебных пособий, в которых сочетаются как глубина, так и доступность излагаемого материала. В этих книгах аккумулируется бесценный опыт методики и методологии преподавания, который становится достоянием не только Московского университета, но и других университетов России и всего мира. Издание серии «Классический университетский учебник» наглядно демонстрирует тот вклад, который вносит Московский университет в классическое университетское образование в нашей стране и, несомненно, служит его развитию. Решение этой благородной задачи было бы невозможным без активной помощи со стороны издательств, принявших участие в издании книг серии «Классический университетский учебник». Мы расцениваем это как поддержку ими позиции, которую занимает Московский университет в вопросах науки и образования.

Это служит также свидетельством того, что 250-летний юбилей Московского университета — выдающееся событие в жизни всей нашей страны, мирового образовательного сообщества. Сй~А З.А. Садовничий Ректор Московского университета академик РАН, крофессор Оглавление Предисловие. к седьмому изданию Предисловие к шестому изданию. 13 Из предисловия ко второму пзданпю Из предисловии к первому изданию . 13 15 Введение Случайные события и их вероятности.........,...... 20 Интуитивные представления о случайных событиях,.....

20 24 32 40 46 49 55 62 71 71 75 82 89 93 98 Глава 3 015 016 017 104 104 105 .. 106 Глава 1 41 02 03 84 05 06 $7 08 Глава 2. 09. 0 !О. 0!!. 0 !2. 0 !3. 0 14. Глава 4 018 019 020 02! 022 Псле событий. Классическое определение вероятности Примеры . Геометрические вероятности . О статистической оценке неизвестной вероятности Аксиоматическое построение теории вероятностей Условная вероятность и простейшие основные формулы Примеры . Последовательность независилгых испытаний Вводные замечания Локальная предельная теорема................. Интегральная предельная теорема...............

Применения интегральной теоремы Муавра — Лапласа . Теорема Пуассона Иллюстрация схемы независимых испытаний....... Пепи Маркова . Определение цепи Маркова . Матрица перехода Теорема о предельных вероятностях. Случаиные величины и функции распределения Основные свойства функций распределения Непрерывные и дискретные распределения Многомерные функции распределения Функции от случайных величин........ Интеграл Стилтьеса 111 1!1 117 121 129 140 Оглавление ..

149 Вгава 5. Числовые характеристики случайных величин 8 23. Математическое ожидание 149 8 24. Дисперсия 154 8 25. Теоремы о математическом ожидании и дисперсии ...... 160 165 826. Моменты . 174 Вгава 6. Закон больших чисел . 174 177 8 27.

Массовые явления и закон больших чисел . 8 28. Закон больших чисел в форме Чебышева .. 8 29. Необходимое и достаточное условие для закона больших чисел 8 30. Усиленный закон больших чисел....., .. 83!. Теорема В.И.Гливенко 18! 184 190 Впав 7. Характеристические функции 8 32.

Определение и простейшие свойства характеристических 198 198 .. 203 208 Предельные теоремы для характеристических функций ... 212 Положительно определенные функции .............. 216 222 . 226 838 Вгава 8. Хлассическая предельная теорема 8 39. Постановка задачи б 40. Теорема Линдеберга 841. Локальная предельная теорема . Теория безгранично двлимых законовраспргдгления........ 249 Безгранично делимые законы и их основные свойства....

249 252 Предельная теорема для безгранично делимых законов ... 257 Постановка задачи о предельных теоремах для сумм ..... 260 Предельные теоремы для сумм.................... 261 264 267 Вгава 1О. Теория стохастических процессов .. 273 849. Вволные замечания 273 850. Процесс Пуассона. 277 8 51. Процессы гибели и размножения .................. 282 852. Условные функции распределения и формула Байеса..... 293 833 834 835 836 837 Глава 9 842 843 $44 845 846 847 848 функций . формула обрашения и теорема единственности ..

Теоремы Хеппи Характеристические функции многомерных случайных величин . Преобразование Лапласа — Стилтьеса............ Каноническое представление безгранично делимых законов . Условия сходимости к законам нормальному и Пуассона Суммирование независимых случайных величин в случайном числе .. 234 234 237 .. 242 Оглавление 653. Обобщенное уравнение Маркова............... б 54. Непрерывный случайный процесс. Уравнения Колмогорова б 55.

Чисто разрывный процесс. Уравнения Колмогорова — Феллера 856. Однородные случайные процессы с независимыми приращениями 857. Понятие стационарного случайного процесса. Теорема Хинчина о корреляционной функции ........... б 58. Понятие стохастического интеграла. Спектральное разложение стационарных процессов............

859. Эргодическая теорема Биркгофа — Хинчина ......, 297 298 306 3!3 3!8 323 326 331 Глава ! 1. Элементы статистики . .. 331 334 344 б 60. Основные задачи математической статистики б 61. Классический метод определения параметров распределения 8 62. Исчерпывающие статистики .

863. Доверительные границы и доверительные вероятности.... 345 864. Проверка статистических гипотез.................. 352 Дополнение 1. Определение математического олсидания в аксиоматике Колмогорова .. 360 Дополнение 2. Пемма Боргля — Кантелли и ее применение Дополнение 3. Очерк по истории теории вероятностей .. 363 .. 366 366 366 368 371 17юва 1 81 62 63 64 374 379 383 85 86 386 386 . 390 . 394 399 406 13!ава 2 87 88 09 б!О 611 б!2 б!3 Предыстория понятия вероятности и случайного события Первые данные Исследования Дж.

Кардано и Н. Тарталья .......... Исследования Галилео Галилея ................. Вклад Б. Паскаля и П. Ферма в развитие теории вероятностей Работа Х. Гюйгенса О первых исследованиях по демографии Период формирования основ теории вероятностей..... Возникновение классического определения вероятности О формировании понятия геометрической вероятности Основные теоремы теории вероятностей Задача о разорении игрока . Возникновение предельных теорем теории вероятностей .. 400 Статистический контроль качества продукции ......... 403 Дальнейшее развитие понятий случайного события и его вероятности .

ПЗ Оглавление . 427 1)гава 4. К истории теории случайных процессов............. 021. Общие представления . б 22. Дальнейшее развитие 1 ( хз~ Таблица значений функции р(ж) = — ехр ~- — )(......... ч'2к 1 2 ) Таблица значений функции Ф(х) = — / ехр ~ — — ) йх чГ2я 2 о а" ехр ( — а) Таблица значений функции 2»ь(а) = в1 а'" ехр (-а) Таблица значений функции 2, т=о 430 430 434 436 437 438 440 Список литературы .

441 Список изданий книги Б. В. П«еленка «Курс теории вероятностей».... 442 О Борвсе Владимировиче 1'пеленке 443 Алфавитный указатель 444 Пгава 3 б 14 015 016 б 17 б 18 в 19 020 К истории формирования лонятия случайной величины Развитие теории ошибок наблюдений .......... Формирование понятия случайной величины..... Закон больших чисел Центральная предельная теорема Общие предельные распределения для сумм...... Закон повторного логарифма Формирование понятий математического ожидания и дисперсии . 408 . 408 .

411 . 414 . 416 . 422 . 425 Предисловие к седьмому изданию Вряд ли можно назвать в российской, да и в мировой научно- учебной литературе в целом учебник или учебное пособие, выдержавшее, такое количество изданий, как книга Бориса Владимировича Гнеденко «Курс теории вероятностей». Первое издание этой книги появилось полстолетия тому назад— в 1950 году и затем неоднократно переиздавалось. Настоящее издание является седьмым, что уже само по себе уникально даже без учета того, что девять изданий этой книги вышло на немецком языке, 8 изданий вышло в США, по два издания — в Японии и Китае, по одному— в Италии, Египте, Испании, Вьетнаме. Шесть раз издательство «Мир» выпускало книгу на английском языке. Общий замысел учебника, состоящего из двух частей — элементарной (главы 1-6) и специальной (главы 7-11), практически не менялся во всех изданиях.

Менялся (а иногда и не помещался) лишь некоторый материал, относящийся к математической статистике, массовому обслуживанию и истории теории вероятностей. Так, в предлагаемое издание не вошел «Очерк истории теории вероятностей*, поскольку он параллельно выходит отдельной книгой в издательстве «УРСС». Многочисленные рецензии на данный «Курс теории вероятностей» особо отмечают тщательность изложения, большое педагогическое мастерство Бориса Владимировича, удачный отбор излагаемого материала. Нет сомнения, что настоящее издание этого классического учебника по теории вероятностей будет интересно и полезно как широкому кругу специалистов и преподавателей, так и всем тем, кто начал или хочет познакомиться с основами теории вероятностей, с ее понятиями, концепциями, методами и самыми разнообразными приложениями.

А. Н. Ширяев Предисловие к шестому изданию Более трети века прошло со времени выхода в свет первого издания настоящей книги. С тех пор в нашей стране и за ее пределами вышли многочисленные учебники по теории вероятностей, заслуживающие самой высокой оценки. Отличительная черта подавляющего числа этих 1г Предисловие к шестому изданию книг — стремление дать возможно более строгое в теоретическом плане изложение теории и показать силу математической абстракции. Настоящая книга ставит перед собой совсем иную цель: восходя от интуитивных представлений и рассматривая большое число примеров, подойти хотя бы к некоторым исследованиям, активно развивающимся в наши дни.