Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики

Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики, страница 12

DJVU-файл Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики, страница 12 Теория вероятностей и математическая статистика (2673): Книга - 4 семестрБ.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики: Теория вероятностей и математическая статистика - DJVU, страница 12 (2673) -2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 12 - страница

6 вндно, что приближенная формула (27) дает значения вероятностей Р (л11»п (1пз) с точностью до трех-четырех знаков после запятой даже при л порядка нескольких сотен. Обычно применяемаяформула (26) такой точности не дает„ 9 уа Прнменення ПРеДельных теОРеМ 75 Таблица 6 и 100; Р=0,5 л-300; р=0,5 0,9267 0,9167 1 0,9265 0,7747 0,7518 0,7747 0,1361 0,1238 О.И61 135 165 140 160 160 180 н 509; р=0,5 0,9334 0,9264 0,9333 0,6523 0,6289 0,6523 0,1950 0,1819 0,1946 230 270 240 260 260 280 н 1000; р 0,5 530 560 0,9463 ! 0,9422 ! 0,9463 0,03095 ~ 0,02882 ~ 0,03097 и=!00; р 0,25 л 300! р 0,25 а=500 р=0,25 0,9659 0,96!! 0,9658 0,7219 0,6983 0,7218 0,1621 0,1499 0,1624 105 145 1!5 135 135 155 Значения вероятностей Р (л21 н~!ьмо п22! ~', С„ Рж (1 — Р) ж ип в схеме Бернулли. 40 45 55 !5 20 30 60 70 80 -! 35 30 40 Точное знпчеипе но формуле(21 0,9648 О,'7287 0,1832 0,9852 0,7967 0,1492 0,9615 0,5366 0,2510 Нормальное приближение по ФоРмуле (тб> 0.9545 0,6827 0,1573 0,9791 0,7518 О,! 238 0,9545 0,4950 0,2297 Уточненное пормольное приближение по Формуле 22Н 0,9643 0,7287 О,!831 0,9845 0,7960 0,1492 0,9612 0,5366 0,2545 уь гл.

а прядяльныя тяовямы в снимя вярнтллн Задачи 1. В большом городе в год рождается 20 000 детей. Считая вероятность рождения мальчика р = 0,51, найти такое число й чтобы с вероятностью 0,99 можно было утверждать, что среди рожденных И течение года в этом городе детей число мальчннов превышает число девочек ие менее чем иа й 2. Сколько надо произвести бросаний правильной монеты, чтобы с вероятностью 0,99 относительная частота выпадения герба отличалась от 1/2 не более чем иа 0,01? 3.

В таблипе случайных чисел каждая цифра появляется независимо от других с вероятностью 1/10. Сколько надо набрать таних Случайных чисел, чтобы с вероятностью 0,999 среди них появилось ие менее !ОО нулей? 4. В большои городе в среднем в течение одного дневного часа поступает один вызов иа скорую помощь. С какой вероятностью за 3 дневных часа поступит более !О вызовов? 3. Какова вероятность, что в группе, состояшей из 30 студентов, винто ие родился в январе месяце? Вычислить эту вероятность по точной формуле и по пуассоиовскому приближению.

Г л а в а 5. ЦЕПИ МАРКОВА 5 24. Марковская зависимость испытаний Очень часто реальные случайные явления можно изучать с помощью следующей модели, Пусть состояние некоторой системы описывается точкой фазового пространства Е =(вьем ..., е,), В дальнейшем точки из Е будем обозначать просто числами 1, 2, ..., т. Пред. положим, что время ! дискретно и принимает значения ~ = О, 1, 2, ..., Т. Эволюция изучаемой системы описывается траекторией а =(вы во, ыт), где он = с', если в момент 1 система находится в состоянии 1.

В описываемом случае вероятностное пространство (О, Ф, Р) определяется пространством траекторий 12=(ы), алгеброй Ф всевозможных подмнохгеств й и вероятностью Р, задаваемой элементарными вероятностями р(в). События А;(1) = (вк ьи = 1), 1= 1, ..., т, при каждом определяют разбиение аь которое порождает алгебру событий Фь Исходя из принятой нами в $11 терминологии, мы будем говорить, что Фы Фь вд2 -~т (1) есть последовательность случайных испытаний.

В $ !! мы описали модель последовательности независимых испытаний. В 1907 г. А. А. Марков ввел такой класс зависимых испытаний (1), который может служить моделью многих случайных явлений. Этот класс впоследствии изучался очень интенсивно и привел к сильно продвинутой в настоящее время теории марковских процессов. Простейшая модель марковского процесса — цепь Маркова — определяется следующим образом. В последовательности испытаний (1) зафиксируем какой-нибудь момент времени й Алгебру событий Ф~ назовем настоящим, алгебру Ф,' ', порожденную алгеб.

рами Фо, Фь ° ., Ф~ н назовем прошлым, алгебру Гл о, цепи МАРковл тз событий ЛУо+ь порожденную алгебрами Ф,+ь ..., Фп— т будуи(им. Любое событие из .Уо также назовем про- ие|ын, из,Ф~+1-будущим, из Ф~ — насюящам. Наприт мор, событие (в: найдется такое й, что 1< я < Т и в, = во+1) принадлежит будущему, а событие (в: дзя всех я, 0 < й < 1, во ~ г) — прошлому. Оп ре деление 1.

Последовательность испытаний (1) мы будем называть цепью лтаркоаа, если при любом фиксированном настоящем в,=й прошлое зоо и бу- дущее Ф~о~ независимы, т. е. для любых 1<й<г, т !=1, 2, ...,Т вЂ” 1, Ае=лУо, ВяФ~~о1 Р (АВ) в, Ц = Р (41в, = Ц Р (В1в, = Ц. (2) Поскольку из определения условных вероятностей следует, что для любых событий А, В, С с Р (АС) ) 0 ! 1 = Р(В1АС), Р!л!с! = то условие (2) равносильно условию Р(В1в,=й, А)=Р(В1в,=й), (3) 5 26. Переходные вероятности Вычислим вероятность того, что траектория в = ,=(во,вь ", вг) равна ((о, (ь ° ., (г).

Для этого вос'вользуемся введенными выше обозначениями А~(1) =- --= (в: в~ = 1) и теоремой умиожеяия из 2 6. Имеем Р (в — ((в (ь, 1г)) т ' Р(А' (0))~[Р(40(!) !А' (0) Аг (1) ' ' АУф- (Г !)) (4) )!з условия (Э) получаем для цепей Маркова Р(4;,(1) !Ао(0) Ац(1)... А,,(1 — 1))= — РЖю(') !Аг,,(! — 1)), поэтому (4) запишется проще: т Р (в=(!о. (ь ° ° .1(г))=Р (Ая,(0)) Д Р(Ас,(т) ) А,, (1 — 1)) (5) 5 М. ПЕРЕХОДНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ В дальнейшем мы будем рассматривать однородные цепи Маркова, в которых условные вероятности Р(А~ (~)! А ~(т — 1)) = рц, называемые переходными вероятностями, не зависят от й Таким образом, чтобы вычислить вероятность любой траектории са в цепи Маркова, достаточно задать начальное распределение р;(0)=Р(А,(0)) н матрицу нереходных вероятностей Ро Ри ° ° Р|г Рн Рм ° ° Ргг Рп Ргг ° ° Ргг -1 (6) Р(0=ерц(()6 также будет стохастической.

Переходные вероятности удовлетворяют при любых целых г) О, з) 0 уравне- нию ри ((+ е) = 7, Р„Я рм(е). (О) Это уравнение выводится с помощью формулы полной вероятности рц (т + е) = Р (Аф + е) ! А, (0)) = г „Е Р (А~ (1 + з) ) Аю (0) Аа (е)) Р (Аь (е)! А~ (0)) Вероятность (5) записывается тогда так: т Р(м ((м ц ° ° )г))=р~,(0)Прг,,~; (7) Ф ! Элементы матрицы переходных вероятностей обладают следующими свойствами: г рц!Э О, Х рц=( ° (8) 1 ! Любая квадратная матрица (6), элементы которойудовлетворяют условиям (8), называется стохастической.

Введем переходные вероятности за г шагов: рц(г) = Р(А~(т+ е) ~А~(е)). Матрица 80 ГЛ, 5. ЦЕПИ МАРКОВА Так как Р (А1 (! + э) ! А; (0) А» (э)) = Р (Ат(! + э) ! А» (э)) в силу марковостн и Р(А1(1+ э) !А»(з)) = Р(А1(1) )А»(0)) в силу однородности, то отсюда получаем (9). Уравнення (9) можно записать в матричной форме Р (1 + з) = Р Я Р (з), откуда имеем РЯ= Р', где Р(1) = Р— матрица (6), Предполагая ри(0) = бц (би = О, если 1 ~ д би = 1,', мы распространяем уравнения (9) на случай 1) О, э)0, Через начальные вероятности р~(0) н переходныевсроятностн рн(1) мы можем выразить с помощью формулы полной вероятности распределснне вероятностей р,(1)= Р(А,(1)) прн любом Е г р» (1) — ~ р»(0) р»»(1).

(! 0) »-1 Пример 1. Блуждание с поглощением. Пусть по точкам О, 1, 2, ..., 1т' прямой блуждает частица. Время 1 дискретно. Если в момент ! частица была в точке Е то в следуюшнй момент 1+ 1 она нсзавнснмо от ее положеннй в более ранние моменты времени с вероя:- ностью ри попадает в точку !. Если !~р;Д задается равснствамп рьь = рнн =!. Рины = р, рь; 1=! — Р,если 1 <1< Л1 — ! н ри =0 прн 11 — Д> 1, то мы получаем цепь Маркова, которая описывает блуждание частицы по целым точкам отрезка (О,а(1 с поглощением на концах.

Пример 2. Блуждание с отражением. Пусть переходные вероятности рь~+ь рь; ~ для 1(1(Л' — 1 и ру для 11 — !'() ! остаются теми же самыми. Если определять еще рьо = 1 — р, реч = р, рнн = р, рн н-1 =!— — р, то полученная цепь Маркова моделнруст блужданне частицы по целым точкам отрезка ( — --, М+ — ) 1 1х 2' 2г с отраженном на концах.

$2б. Теорема о предельных вероятностях Теорема 1. Если при некоторая ть все элементы рц(1») лаатриць» Р' положительны, то существуют пределы !Цпр»~у)=рн 1'=1, ..., г. (11) 1+а А»О. ТЕОРЕМА О ПРЕДЕЛЬНЫХ ВЕРОЯТНОСТЯХ в! Предельные вероятности р! не зависят от начальноео состояния ! и являются единственным решением системы г г х»р»! — — х!, 1=1, ..., т, ~ х! — — 1.

(12) »-! с-! Доказательство. Обозначим М!(!) П»ах р!!(!), я»!(!) = та(п р,! (1). ! Так как т!(!)< Р»!(1)< М!(!) при любом я, то из равенства Ри(»+ 1) = ' Р!»Р»!(!) следует, что при всех ! и!!Я~ри(!+1) <М,(!). Отсюда вытекает т(!)< ((+1)<М (!+1)<М (!). Таким образом, при Г-Рою имеются пределы у последовательностей а»!(!) и М!(!).

Докажем, что зти пределы совпадают. пусть ! и ! таковы, что р!»(т+ !о) =м»(ТФ +!о), р!»()+То)=л!»(!+!о). Вычитая друг из друга равенства г М»(!+!о) =Р!»((+Го) = 2' Ри(!о)РР»(!)~ ! 1 Г л!»(! + "о) = Р!»(!+ !о) = Х Р)! (го) Р!»(!) ! ! получаем М»(! + !о) — о!»(Т+»о) = Х (Ри(!о) Р!г(то)) Ры (!) ! ! Разобьем сумму справа К на сумму ~ положитель.

ных слагаемых и сумму ~ отрицательных слагаемых, Тогда М»(!+!о) — л!»(!+То) ~<М»(!) Е (Ри(!о) — Р!!(То)) + ! + гп» (!) Х (Ри (!о) Р!! (!о)) (1З) гл. а цепи млгковл 82 и 0~(М~(Е) — т«(/) ~сЕ !' -»О Я при / — «со. Так как т!,(/)(Рга(/) =Ма(/), то отсюда следует утверждение (11).

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
470
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее