А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций, страница 6

Примерами обобщенных жордаиовых кривых могут служить: прямая линия г=(а(+р)+((Т(+й) ( — оо (((+со), где а«+то+О и функция г обращается в со при г=='-со, парабола г=(а(г+рс+Т)+ +((Ы+о), где а~О и г обращается в оо снова при г= «-со, и (1 + Р) + 2(вг Гипербола г=, ( — со~((~(+с«ь), где ачьО и Ьчьб, является обобщенной непрерывной кривой, но не кривой Жордана, так как точка г = с«з есть кратная точка кривой (она соответствует двум различным значениям Е -+ 1). 6. Производная и дифференциал.

Пусть 7(г) †функц комплексного переменного, определенная и однозначная на некотором множестве Е, н пусть - †как-либо точка этого множества, являющаяся предельной для него. Составим разностное отношение г — го Очевидно, оно представляет функцию от е, определенную для всех точек множества Е, отличных от г„. Если существует предел 7 (г) — 7 (го) «.ь «,, «(в 28 гл.

и. егнкции комплвксного пвввманного. пгоизводнля то он называется производной от функции Дг) по мно. / ж е с т в у Е в то ч к е ле и обозначается через Ув(л„) или, короче, У'(ле). Сама функциями(л), обладающая производной, называется диф- ференцируемой или моногенной по множеству Е в точке вз.

В частном случае, когда Е является интервалом действительной оси (конечным или бесконечным), У(г) есть функция действительного переменного я=х, принимающая, вообще говоря, комплексные зна- чения /'(л)=у(х)=~(х)+Гф(х). Если у(х)— = О, т. е. если и зна- чения г(в) действительны, то наше определение производной и диф- ференцируемости, очевидно, совпадает с обычными определениями дифференциального исчисления. Если ф(х) йы О, то, переписывая у(х) — у(хе) В (х) — т (хе) .

ф (х) — ф (х„) в виде + Г ' ", заключаем в силу п. 2, х — хе / х — хв х — х о что производная у (х) существует тогда и только тогда, когда суще- ствуют производные и'(х) й ф'(х), причем )'(х)=э'(х)+Гф'(х). Так, например, если У(х)= асозх+Иапх, то у'(х)= — аз!их+ + гп со 5 х. Обозначая У(л) — г (ге) через ЬУ(л) (приращение функции) и г — ва через Ьг (приращение независимого переменного), запишем условие дифференцируемости так: 4~'=У'(я,)+. (г„, Ьл), где в(ле, Ьг)-ьО при Ьг-+О (г~Е). Отсюда следует, что прира- щение дифференцируемой функции может быть представлено в виде Ы'(~) = А Ь~+ (~,, Ь~) Ь~ (А =У'(ва)) (1) с А, не зависящим от Ьг, и е, стремящимся к нулю вместе с Ьг. Обратно: всякая функция, для которой приращение может быть представлено в виде (1) при тех же условиях относительно А и е (ле, Ьг), является дифференцируемой и ее производная равна А. В самом деле, из (1) вытекает, что предел 11ш — ~ — (бл= л — л~; гЕ Е) ау (г) ле-ьо существует и равен А.

Таким образом, представпмость приращения функции в виде (1) с А, не зависящим от Ьг, и е, стремящимся к нулю вместе с Ьл, является необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции. Заметим, что из (1) непосредственно следует, что функция, дифференцируемая в точке з„~ Е, является непрерывной в этой точке (на атом множестве). Обозначая Ьг через г(г (дифференциал независимого переменного) и А ° Ьл=,у' (л)Ж через г(у(л)=г(л)(г) (дифференциал функции) получим для производной следующее выражение через дифференциалы: лг 6. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 2() Поясним на примере, какую роль в определении понятия диф,р енцируемости играет множество Е, по которому берется произ.

ферен водная. Пусть сначала Е есть действительная ось и у'(г) = У(х) =-х, тогда производная Ув(х) сушествует при любом х ~ Е и равна единице, т. е. функция дифференцируема всюду на Е. Продолжим теперь функцию У(х) на всю комплексную плоскость Е„полагая попрежнему 7(г) = х. Очевидно, эта функция непрерывна при любом г и совпадает с исходной функцией, когда г~Е (т. е. когда У=О). Разностное отношение здесь таково: хс*) — ~рр с* — ~) гр (««р)+1(У Ур)' Оно не имеет пРедела длЯ г-+гр (гр — любви точка плоскости), ибо пРи х=хе и У +Ур Равно нУлю, а при х чь хр и У=Уз Равно единице. Итак, функция У(г) не днфференцируема по плоскости ни в одной точке. 6.

Правила дифференцирования, Из определения производной и свойств пределов функций комплексного переменного вытекает, что основные правила, известные из дифференциального исчисления, распространяются и на производные по множеству от функций комплексных переменных. Вот эти правила: 1. Если ((г) =с, то — = О.

ау (г) аг 2, — =с —. И [ру (г)[ иу (г) аг а'г 3. — =1. аг 4 ~ [у (г)+у (г)+...+у (г)[- ~~ ( )+~~ ( ) +. „+ У~ ( 1 б — '"у(,),у(,) у (,)[=((гу(,) у (,)'У "+ аг +у()у,() ~.()"'„,"+ +Ы Ч.() "~.,()"У"„(" 6. — [У(г)["=пЩг)[Р ' У'(г). б'. — (г")= пг -'. 7 у(ар+а,г+... +а,,г")= а,+2а,г+... +Ла„г" '. /р(г) †„ — Л (г) ЛЛ (г) а/р (г) д, (г)~ [Уз (г)[' чдесь все функции у(г), Л(г), уз(г), ... предполагаются днфб е Ференцируемыми в данной точке г множества Е. В правиле 8 треУется еще, чтобы у (г) была отличной от нуля. 30 Гл. н. Функции комплаксного ПИРвманного.

ПРОизноднля 9. Правило диф фере н цирован и я сложных функций, Допустим, что функция тв=у(г) дифференцируема в точке го~Е; рассмотрим функцию Е= ой(я), определенную на множестве Р зна. чений этой функции, лифференцируемую в точке а!о=у(го) по этому множеству. Тогда сложная функция 2=.!((!(г)] лифференцируема в точке го по множеству Е, причем и,у[у(г)) ив" (и) 1Р !(г) иг иш !1г 10. Правило дифференцирования Обратных функций.

Пусть функция хи=/(г) устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками лвух множеств Е и Р, прнчел! обратная ей функция г= у(тв) непрерывна на Р. Тогда, если Дг) дифференцируема в точке г ~ Е и у',(г,) гь О, то и обратная функция = =- о(ш) лифференцируема в точке оно=у(го)~ Р и 1 ту( о) ! ( В самом деле, в силу взаимной однозначности отображения ш = Дг) г Рь го пРи ти Ф юо, поэтомУ Разностное отношение лла функции !У(ти) может быть представлено в виде ч (еи) 9 (юо) г — - го ыо м — шо 'о ма г — го и так как при юнтао г= !й(в)-+го= й(юо), то У (н1) — т (гио) 1 1 ! 1!и! о -ооэ оо„ш — мо ш — шо у(г) — у(го! Г' Гг ! ' !пп Иш - — — — .Р(о) :-+=, г ге о-А „г 7О что и требовалось доназать.

7. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости во внутренней точке области. Мы будем преимущественно рассматривать функции, определенные в некоторой области Е=- О, и в этом илу (г) иу (г) случае вместо У' (г) или ' будем писать коро 1е; Р(г) или иг Пусть Дг)=и(х, у)+!на(», у); напомним, что функция двух действительных переменных и (х, у) называется лнфференцнруемой в точке (хо, уо) области, где она определена, если имеет место соотношение и(л., у) — и(хо уо) А(хо, уо)(х — хо) + В(хо, 1„)(у --уо)+ + е,(х, У; хо, 1„)(х — хо) — 'е,(х, 1; хо, 1!о)(У вЂ” Уо), гле 1!ше, (х, У; л.о, Уо)= — Вшее (л, У; хо, Уо)=0. х.+х„У.ФУ, х-э!.х У-лр !.

Условия ди о диФФВРВИЦНРУемости ВО ВнУтРенней точке Овллсти 31 Коэффициенты о о А(х, у ) и В(хо, уо) в правой части равенства представляют ча частные производные функ ии и(х ди(х, у) 1 ди (х, у) Б(хт уо)= : =ха !г=-в, е=у, Дока>кем следующее важное пре до>к Лля и>ОеО ч>пОбо! функция г(е) и(, +. определенная и некоторой' области П, была дпфференцируема в точке этой облагти каи функция камплекснага пере,нениаго, необходимо и достаточно, тпобы функции и(х, у) и т (х, у> были дифференяируел>ы в >пай же >почке (ка>г функции двух дейгтвителвных переменных) и чтабгл, !грети тога, вылплнялит, условия (2) дх ду ' ду дх' При выполнении всех условий теоремы производная у'(е) л>ожет быть представлена в одной из следчю>цих форм: ди,до до,ди ди .ди до,до .Г (е)= — +г — =- — — 1 — = — — ' — =- — + !'д — (3) дх 'дх ду ду дх ду ду х' Условия (2) имеют основное значение в теории аналитических функций и в приложениях этой теории к задачам механики и физики.

Они называются условиями (илн уравнениями) Коши— Римана. Следует отметить, что это общепринятое в учебной и научной литературе наименование несправедливо с исторической точки зрения, так как условия (2) изучались еще в ХА(1! в. Даламбером н в особенности Эйлером в работах, посвященных применению функций комплексного переменного к гидромеханике (Даламбер и Эйлер), картографии и интегральнол>у исчислению (Эйлер), Поэтому правильнее изменить установившуюся терминологию и называть уравнения (2) уравнениями Даламбера — Эйлера.

Обратимся к доказательству теоремы и покажем сначала, жо ее условия необходимы для дифференцируемости функции 1(е). В самом деле, сслн 7(е) днфференцируема в точке е области О, го М(е) =-= Г (е) йе+ =- ~е, (4) где Ле=з, — з=-(х, — х)+1(у,— у) = Лх+ГЬу, ОГ(е) = 1(е!) — УГе) == 1п Гх,, у,) — и (х, у)1+ +'Го(х! у!) о(х >4 =- ди г Гйч' /'(е) ==- а — г/>, в =.—. о, -' га „ Зг гл. сс. етнкции комплаксного пагвманного.