А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций

А. И. МАРКУП!ЕВИЧ КРАТКИ Й КУРС ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Доаутено Министерством высшею образования СССР а нанесшее учебнына двя гасударственные университетов ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОе! ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1957 СОДЕРЖАНИЕ Предисловие Введение 1. Предмет теории аналитаческих функций (7). 2.

Аналитические функции комплексного переменного (8). 10 Г л а за !. Комплексные числа и их геометрическое представление 1. Геометрическое представление комплексных чисел на плоскости (10). 2. Операции над комплексными числами (11). 3, Предел цоследовательности (14). 4.

Бесконечность и стереографическая проекция (15). 5. Множества точек иа плоскости (18). Глава П. Функции комплексного переменного. Производная и ее геометрический и гидромеханический смысл...... 2! 1. Функция комплексного переменного (21), 2. Предел функции в точке (22). 3. Непрерывность (23). 4, Непрерывная кривая (24). 5. Производная и дифференциал (27).' 6. Правила дифференцирования (29). 7. 1(еобходимые и достаточные условия дифференцируемости во внутренней точке области (30). 8. Геометрический смысл аргумента производной (36). 9. Геометрический смысл модуля производной (38).

10. Пример: линейная н дробно-линейная функции (38). 11. Угол с вершиной в бесконечно удаленной точке (40). 12. Гармонические и сопряженные гармонические функции (42). 13. Гидромеханическое истолкование аналитической функции (45). 14. Примеры (50). Глава !!!. длементарные аналитические функции и соответствутощне им конформные отображения....... 52 1. Многочлен (52).

2. Точки, в которых конформность отображения нарушается (53). 3. Отображение 'вида ш = (л — а)" (54). 4. Групповые свойства дробно-линейных преобразований (57). 5. Круговое свойство (60). 6. Инвариантность двойного отношения (Я). 7. Отобран<ение областей,' ограниченных прямыми или окружностями (68). 8. Симметрия и ее сохранение (70). 9. Примеры (73). 10. Функция Жуковского (76). 11.

Опредедение показательной функции (81). 12. Отображение п9средством показательной функции (83). 13. Тригодометрические функции (88). 14. Геометрическое поведение (92). 15. Продолжение (95). 16. Однозначные ветви многозначных функций (97). 17. Функция ш = ')/л (99), 18. Функция ш =~/Р(з) (104). 19. Логарифм (108). 20. Общие степенная и показательная функции (1!3).

21. Обратные тригонометрические функции (118). соднгжлннв Г лава !Ч. Ряды с комплексными членами. Степенные ряды 1. Сходящиеся и расходящиеся ряды (123). 2. Теорема Коши — Адамара (125). 3. Хналитичность суммы степенного ряда (127). 4. Равномерная сходимость (130). Глава Ч. Интегрирование функций комплексного переменного., Интеграл от функции комплексного переменного (132). 2.

Свойства интегралов (134). 3. Свеление к вычислению обыкновенного интеграла (136). 4. Интегральная теорема Коши (137). 5. Продолжение доказательства (14!). 6.. Применение к вычислению определенных интегралов (143). 7. Интеграл и первообразная (152). 8. Обобщение интегральной теоремы Коши на случай, когда функция не является аналитической на контуре интегрирования (154). 9. Теорема о составном контуре (155).:10. Интеграл как функция точки в многосвязной области (158). Глава ЧК Интегральная формула Коши н ее следствия....

1, Интегральная формуле Коши(162). 2. Разложение аналитаческой функции в степенной ряд. Тепрема Лиувилля (164). 3. Бесконечная дифференцируемость аналитических и гармонических функций (167). 4. Теорема церера (170). 5. Теорема Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах аналитических функций (!71). 6. Теорема елинственности (174). 7. А-точки и, в частности, нули (177). 8. Ряд степенных рядов (178).

9. Подстановка ряда в ряд (180). 10. Леление степенных рядов (184). 11. Разложение в степенные ряды функций с!8 ц !8 л, сзс з и вес з (189). 12. Разложение гармонических функций в ряд. Интеграл Пуассона и формула Шварца (192). Г л а в а ЧП, Ряд Лорана.

Изолированные особые точки однозначного характера. Целые и мероморфные функции... 1. Ряд Лорана (197). 2. Теорема Лорана (200). 3. Изолированные особые точки однозначного характера (203). 4. Теорема Сохоцкого (208). 5. Особые точки производных и рациональных комбинаций аналитических функций (212). 6. Случай бесконечно удаленной точки (215). 7, целые и мероморфные функции (216). 8. Разложение целой функции в произведение (221). 9.

Порядок и тип целой функции (227). Глава Ч1!!. Вычеты н их приложения. Принцип аргумента 1. Теорема о вычетах и ее применение к вычислению определенных интегралов (229). 2. Принцип аргумента и его следствия (235). 3. Вычет относительно бесконечно удаленной точки (241). 4, Применение теоремы о вычетах к разложению мероморфных функций на простейшие дроби (243). 5. Разложение лесю с!па, сзсл и 1пг на простейшие дроби (248). Г л а в а !Х.

Аналитическое продолжение. Понятие римановой поверхности. Особые точки !. Задача аналитического продолжения (256). 2. Непосредственное аналитическое продолжение (258). 3. Построение аналитической функции по ее элементам (259). 4. Построение римановой поверхности (261). 5. Принцип симметрии Римана — Шварца (263). 6. Особые точки на границе круга сходимости степенного ряда (267), 7.

Критерий для обнаружения особых точек (27!). 8. Определение радиуса сходимости степенного ряда по известному расположению особых 123 132 162 содвгжлнив 331 333 точек функции (275). 9. Изолированные особые точки многозначного характера (278). Г л а в а Х. Отображения посредством аналитических функций. Понятие об эллиптических функциях. Формула Христоффеля — Шварца......,...,,...

283 1 Отобоажение области посредством аналитической функции (283). 2. 7(ринцип максимума модуля и лемма Шварца (284). 3. Локальный критерий однолистности (286). 4, Обращение аналитической функции (287). 5. Распространение понятия однолистности на случай функций, имеющих полюсы (291). 6. Понятие о теореме Римана. Единственность отображения (293).

7. Понятие о соответствии границ Обратная теорема (294). 8. Отображение верхней полуплоскости посредством вллиптического интеграла (300). 9. Понятие об эллиптической функции Якоби вп ш (306). 10. Интеграл Христоффеля — Шварца (309). 11. Обтекание кругового цилиндра (без циркуляции) (317). 12. Гидромеханическое истолкование простейших особых точек (318).

13. Общее решение задачи об обтекании кругового цилиндра (323). 14. Определение подъемной силы крыла аэроплана (326). Литература для дальнейшего изучения Предметный указатель ПРЕДИСЛОВИЕ Эта книга представляет собой учебник теории аналитических функций в объеме, предусмотренном программой физико-математических факультетов университетов. Многочисленные примеры, служащие для иллюстрации общих положений и методов, напечатаны здесь петитом, Петитом же напечатаны и некоторые(впрочем, немногие) вопросы и детали, дополняющие основной курс. Читателя, желающего углубить свои познания в этой области, автор отсылает к монографиям, список которых приложен к книге. При подготовке настоящего учебника автор широко пользовался своей книгой еТеория аналитических функцийь (Гостехнздат, 1950).

Автор ВВЕДЕНИЕ 1. Предмет теории аналитических функций. Предмет, излагаемый в этой книге, носит двоякое название: теории аналитических функций и теории функций комплексного переменного. Каждое из этих названий подчеркивает лишь одну сторону дела, так как мы будем изучать аналитические функции комплексного переменного. Функция у(х) действительного переменного х, определенная в некотором интервале (а, Ь) (конечном или бесконечном), называется а н а л и т и ч е с к о й в этом интервале, если в окрестности каждой его точки хз она представляется в виде суммы степенного ряда, расположенного по целым неотрицательным степеням х — хе: .г(х) = Ар+ Аг(х хо)+ Аз(х ха) + ° ° + Ач(х хо)" + Произвольный многочлен, функции е ', з)пх, созх являются аналитическими на всей числовой оси; каждая рациональная функция. функции 1д х, с1а х, вес х, сзсх †аналитическ в интервалах, не содержащих точек, в которых соответствующая функция не определена (обращается в бесконечность); функция 1пх — аналитическая в интервале (О, со).

Все эти утверждения легко проверяются. Например, если х ) О, то пРи 1х — хе((1х ~. Сумма, разность, произведение и частное аналитических функций (в интервале, в котором делитель не обращается в нуль) являются аналитическими функциями; аналитическими являются также производная и интеграл от аналитической функции.

С некоторыми оговорками справедливы следующие предложения: а) функция,' обратная по отношению к аналитической, есть аналитическая; б) если Ат(х) У = О 1, ..., а) — аналитические функции, то функция У'(х), определяемая уравнением Ао(х)+ А,(х)у(х)+ ... +А„(х)У(х)1 =О введения или уравнением Аз(х) + А, (х) — +... + А„(х) — = О, ах лх" является аналитической. Отправляясь от этих предложений, легко понять, что все наиболее важные функции, к которым приводят задачи математического анализа, геометрии, механики и физики, являются аналитическими. И в самом деле, не только названные выше элементарные функции, но также и такие функции, как гамма-функция, цилиндрические (бесселевы) функции, эллиптические функции и многие другие являются аналитическими в соответствующих интервалах. Это обстоятельство объясняет, почему аналитические функции играют такую большую роль в математике и ее приложениях и вместе с тем служат достаточным основанием для выделения общего учения об аналитических функциях в особую математическую дисциплину.