Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций

А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций, страница 3

DJVU-файл А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций, страница 3 Математический анализ (2662): Книга - 4 семестрА.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций: Математический анализ - DJVU, страница 3 (2662) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 3 - страница

Предел последовательности. Последовательность комплексных чисел (с„= а„+Ьйи) называется сходя щейся к пределу с= а+гРЬ (коротко: 1пп с„=силн си-ьс, и-+Со), если для любого в ) О существует положительное число А!(в) такое, что (си — с((в при и) А!(в). Так как (аи — а(((си — с((в и (Ьи — Ь( ( ((си — с((е при и) И(в), то 1пп аи=а и !пп ЬИ=Ь. Йтак,два последних соотношения являются следствием того, что Иа (а„+!Ьи)=- =а+И. Обратно, если Иа аи= а и Иа ЬИ=Ь, то тогда и + со и "Ь со (аи — а(( = и (Ьи — Ь(( = при п) М,(е); поэтому ус2 (а„+!Ьи — (а+ !Ь)(= (си — с(=)сс(аи — а)г -(- (Ьи — Ь)г (в при п) М,(в), т.

е. Иа си=с. Следовательно, соотношение Иа (аи+ гЬ„) = а+ И эквивалентно двум соотношениям: Иа аи= а и!Ип" Ь„=Ь. Это замечание и -Ь оо и -Ь со позволяет перенести всю теорию пределов последовательностей действительных чисел на последовательности комплексных чисел. Так, например, получается следующее необходимое и достаточное условие сходимости (критерий Коши): для каждого в) О существует А!(в) такое, что (си+,— с„((в, если и) М(в) и р — произвольное натуральное число. Далее, если Иа с'„= с' и 1пп с'„= с", то и -> со и -ьсо / l си с Иа (с'„-+ си)=с'~ с", Иа (с'„° с'„')=с'.с", Иа — "„= — „ и-ьсо и-Ьсо и.ь с„с (последнее при условии, что с„" + О (и = 1, 2, ...) и со + О).

Назовем р-окрестностью точки с внутренность круга с центром с и произвольным радиусом р. Очевидно, что точка г принадлежит этой окрестности тогда и только тогда, когда (г — с( ( р. Теперь определению предела последовательности (с„) можно придать следующую геометрическую форму: последовательность (с„) называется сходящейся к пределу с, если для любого в) О все точки последовательности, начиная с некоторого номера, принадлежат в-окрестности точки с.

Предлагаем читателю доказать, что из Иа си=с всегда слеп-~се дует, что 1пп (си(=(с(. Если, кроме того, с + О, то существует 4, БЕСКОНЕЧНОСТЬ И СТЕРЕОГРАФНЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ 15 — =О, а СО а — = СО. 0 О со Операции ОО -+- со, 0 со, —, — объявляются лишенными смысла. 'О' сю Чтобы получить геометрическое изображение числа со, прибегают к представлению комплексных чисел точками сферы. ПОСЛЕКОзатЕЛЬНОСтЬ ЗНаЧЕНИИ арГуМЕНтОВ Сон ПрЕдЕЛ КОтсрОй раВЕН одному из значений аргумента с; в качестве такой последовательности можно брать последовательность главных значений аргументов за исключением случая, когда с ( О, а среди с„ встречается бесконечно много точек, расположенных как выше, так и ниже действительной оси. Указанное здесь свойство аргументов последовательности !с„) условно записывается так: Иш Агясо = Асс.

Обратно, если последа -+ со нее условие выполнено и если, кроме того, Иш ! с„( = ! с (, то о + со 1нп с„=с. о .+ со 4. Бесконечность и стереографическая проекция. Для нужд теории аналитических функций к описанным выше с о б с т в е н н ы м (конечным) комплексным числам добавляют еще одно несобственн о е (бесконечное) комплексное число, обозначаемое символом со; оно называется бесконечностью или бесконечно удаленной точкой. Обращение с бесконечно удаленной точкой основывается на следующих определениях и правилах.

р-окрестностью точки ОО называется внешность круга с центром в начале координат н радиусом р. Очевидно, что точка г принадлежит этой окрестности тогда и только тогда, когда !я! ) р. ПОСЛЕдОВатЕЛЬНОСтЬ ! Со) НаЗЫВаЕтея СХОдящвйея К СО (КОРОТКО Иш с„=сю), если для любого р ) 0 все ее точки, начиная с некоторого номера, принадлежат окрестности !е~ ) р бесконечно удаленной точки. Иными словами, для любого р) 0 существует А!(р)) 0 такое, что (со))р, если и)М(р); следовательно, условие Иш с„= сс о.+ со ЭКВИВаЛЕНтНО УСЛОВИЮ !НП (Со)=+СО. ЗаМЕтИМ ЕЩЕ, ЧтО В СЛУЧаЕ, когда с„чь О, условие Иш с„= со эквивалентно условию Иш — = О.

1 о.+ о с„ Для несобственного комплексного числа понятия действительной и мнимой части, а также понятие аргумента не вводятся, точнее говоря, объявляются лишенными смысла (заметим, что понятие аргумента не имеет смысла и для числа 0). Что касается модуля числа со, то для него используется символ + со: !ОО ~ = + со. По определению устанавливается смысл следующих операций, в которых участвуют со и собственные комплексные числа а и п(п Ф 0): ОО а=а-+-СО=СО, СО К=К ° СО=СО СО=СО, 16 гл, ь комплзксныв числа н их гвометгичзскоз пгздстлвлениз Опишем для этого из точки О комплексной плоскости г, как из центра, сферу радиуса 1 (черт.

3). Введем для наглядности географическую терминологию. Окружность, по которой сфера пересекается комплексной плоскостью, назовем экватором, прямую, проходящую через О и перпендикулярную к плоскости, — осью сферы, а точки Черт. З. И н 5, в которых ось встречает сферу, — северным и южным полюсами соответственно. Далее будем пользоваться понятиями н терминами: северное и южное полушарие, меридианы, параллели, широта р и долгота )..

Отсчет широты ведется от экватора в пределах от — — (южный полюс) до — (северный полюс). Отсчет долготы 2 2 ведется в плоскости экватора от положительной части оси Ох в пределах от — и (исключительно) до я (включительно); при этом положительным направлением считается направление против часовой стрелки, если смотреть на экватор со стороны северного полюса. Будем теперь .соединять точку М с различными точками сферы прямолинейными лучами с началом в И и отмечать на каждом луче точку встречи его с плоскостью. Таким образом, все точки сферы, за исключением точки дГ, спроектируются на плоскость. Эта проекция (центральная проекция с центром в дГ) называется стерео- графической; она издавна употреблялась сначала в астрономии, а затем в географии,для изображения небесной или земной сферы на плоскости.

С помощью стереографической проекции каждую точку сферы (кроме М) можно рассматривать как изображение соответствующей точки плоскости и вместе с тем как изображение комплексного числа, представленного этой точкой плоскости. Выясним, как связаны широта и долгота точки сферы, изображающей комплексное число г = г(сов и+ Г з!и к) (а = ага л), с модулем и аргументом этого числа. Из черт. 4 заключаем, что ОБА = 4 + †. и, следовательно, 2 г = 1д ~ — + — ~; кроме того, очевидно, что а = 1; отсюда /я ~4 2!' 4 ввсконвчность и стеввогвлвичаскля провкция 17 =2~гсгдг — 4, Л х.

Если для последовательности !г„), для котоРой ~г„1= гч, выполнено Условие Иш ля=со, то !Ип г„=+со и "р сО и.р сО и, следовательно, Иш <рч = !пп 2 агсгд г„— —,2) = —, Таким ч +со»-+о» образом, точки сферы, изображающие числа я„, неограниченно приближаются к северному полюсу й7. л Справедливо и обратное: если ~р„-р — Ф У (каковы бы ни были значения долгот Л„), то г„=!я ~ — '+ —,~ -р Ля ч„! .4' -++со и, следовательно, Иш л„= = со .

Естественно поэтому усло- Р виться рассматривать точку 7ч' как а=.а изображение на сфере бесконечно 42 удаленной точки. С этим условием Черт. 4. вполне согласуется то обстоятельство, что окрестность !г~ ) р бесконечно удаленной точки на плоскости изображается на сфере около- полярной областью р ) 2 агс!К р — †; при р -+ со эта область стя- 2 ' гивается к северному полюсу. Комплексная плоскость, к которой мысленно присоединяется единственная бесконечно удаленная точка, называется р а с ш и р е н н о и комплексной плоскостью, или, короче, расширенной п л о с к о с т ь ю. Геометрически наглядным представлением расширенной плоскости яВляется вся сфера.

Комплексная плоскость, образованная лишь собственными (конечными) точками, называется конечной комплексной плоскостью, короче, конечной плоскостью. Из предыдущего следует, что конечную плоскость можно наглядно представить сферой, из которой исключена одна точка, а именно точка Лг. Отобразим сферу зеркально в ее экваториальной плоскости, при этом сфера перейдет в себя так, что северное полушарие перейдет в южное (и обратно), северный полюс — в южный (и обратно); экватор перейдет сам в себя. Вообще каждая точка с географическими координатами (е, Л) перейдет в точку ( — х, Л). Этому отображению сферы на себя будет соответствовать отображение расширенной плоскости на себя, при котором точка г с координатамн г = гя! — + — г! н х = Л перейдет в точку в' с коор- '!4 ' 27 динатамн г' = !д ~ — — — ) и х = л = х.

Очевидно, что л н г сва- г !4 2) 2 злк !бза л и маркгмеврч !8 Гл. н комплвксныв числА и их гвомяггическов пгвдстлвлвнив 1 заны соотношением г г'= 1, т. е. г'= —...Этопреобразованиепереводит внешность единичной окружности во внутренность (и обратно) и, в частности, точку со в 0 (и обратно).

Единичная окружность переходит при этом в себя. Преобразование е'= = можно рассматривать как преобразование симметрии расширенной плоскости относительно единичной окружности или зеркальное отображение в единичной окружности. Такая точка зрения оправдывается посредством рассмотрения того, что происходит при этом на сфере. Поэж« (гл. !И, п. 8) мы дадим более общее определение преобразования симметрии расширенной плоскости относительно произвольной окружности плоскости. 6. Множества точек на плоскости. Напомним некоторые известные из курса анализа определения и свойства множеств точек на плоскости и несколько дополним их в интересах дальнейшего изложения.

Точка гь называется п р е д е л ь н о й для некоторого множества Е, если каждая окрестность этой точки содержит бесконечное множество точек, принадле>кащих Е. Множество Е точек плоскости называется о г р а и и ч е н н ы м, если все его точки заключаются внутри некоторого круга с центром в начале координат. Множество Р (ограниченное или неограниченное) называется з а м к н у т ы м, если ни одна точка, не принадлежащая Р, не может быть предельной для него. Иными словами, замкнутое множество либо совсем не имеет предельных точек, либо содержит все свои предельные точки.

Каждое бесконечное ограниченное множество Е имеет, по крайней мере, одну предельную точку (теорема Боль цапов В е й е р ш т р а с с а). Если бесконечное множество Е неограниченно, то тогда имеются лишь две возможности: либо некоторый круг (г( <)ч> будет содержать бесконечное множество точек из Е, а следовательно, и предельную точку этого множества, либо в каждом таком круге будет находиться конечное число точек из Е, тогда бесконечное множество их будет лежать в любой окрестности )е( ) )г бесконечно удаленной точки и, следовательно, со будет предельной точкой Е. Итак, в расширенной плоскости гчждое бесконечное множество имеет, по крайней мере, одну предельную точку (конечную или бесконечно удаленную), Пусть,'К( — мнозкестео кругов, образующих покрытие ограниченного замкнутого множества Е, т.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5117
Авторов
на СтудИзбе
446
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее