А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций, страница 7

пеоизводнля причем е, и ее стремятся к нулю, когда Ьх и Ьу одновременно стремятся к нулю. Отделяя в соотношении (4) действительные н мнимые части, будем иметь: Ьи = аЬх — Ь Ьу+е, Ьх — е,Ьу, Ьо = Ь Ьх + а Ьу+ е, Ьх — е, Ьу. Отсюда в силу того, что 1!ще, = йщее = О, вытекает: ои, ов.+о ои. ои->о 1) функции и(х, у) и о(х, у) двух действительных переменных х и у дифференцируемы в точке (х, у); 2) их частные производные в втой точке таковы: ди ди до до — =а, — = — Ь, — =Ь, и, следовательно, удовлетворяют условиям ди до ди ди дх ду ' ду дх ' Наконец, для 7'(г) получаем: ди .до до ди ди ди до .ди У' (г) = а + с'Ь = — + с — = — — 1 — = — — 1 — = — + с' — .

дх дх ду ду дх ду ду дх ' Итак, необходимость условий теоремы доказана. Докажем достаточность условий теоремы. Пусть они выполнены. Тогда Ьи= — Ьх+ — Ьу+и, Ьх+аеЬу, ди ди дх ду Ьо= — Ьх+ — Ьу+ рс Ьх+ 1с Ьу, до до где и„а,. 'рс и р стремятся к нулю при Ьх и Ьу, стремящихся к нулю. Кроме того, ди ди ди до дх ду ' ду дх (6) Следовательно, Ьи = а Ьх — Ь Ьу+ и, Ьх+ ие Ьу, Ьо =- Ь Ьх+ а Ьу+ рс Ьх+ Зс Ьу Ьу(г)= Ьи+с Ьо= а(Ьх+ с Ьу) + сЬ(Ьх+ с Ьу)+ + (х, .+ с 3 с) Ьх+ (из+ сре) Ьу = (а + ГЬ) Ьг + + ~(ас + срс) — -+- (сс, + Гре) — "~ Ьг = А Ьг+ е Ьг. (7) 7 овна днефвввнцивувмостн во внутввннвй точка овллсти ЗЗ 7, условия Так как ' ' 1 = ( ("~ + Ф~) ~ + («а + ~'Р~) — у ! < / а, + ср, ( ( ~'~ ~ + +~;+Е.~$!<!,+ Р,~+~.,+;Ц~< „, + З то «вместе с ао го иа ра стремится к нулю прн стремяшем я ящемся к нулю.

Отсюда и из соотношения (7) следует, что / функция г"(з) дифференцируема и ее производная 1 (г) равна А: ди .до /'(я) = А = а + 1ч = — + 7 — =... дх дх Этим н заканчивается доказательство, Из общего курса анализа известно, что для дифференцируемости функций и(х, у) и о(х, у) достаточно существования и непрерывди ди до до н ости их частных производных: —, —, —, —. Поэтому для диф' дх' ду' дх' ду ' ференцируемости функции у'(я) = и+(о достаточно, чтобы частные ди ди до до производные †, †, — .

— существовали, были непрерывными и дх' ду ' дх' ду удовлетворяли уравнениям (2). Функция У(е), дифференцируемая в каждой точке области О, называется дифференцируемой в этой области, а также голоморф- ной, или аналитической (иногда регулярной, нлн пра- вильной). Название голоморфный (подобный целому, от греческих слов олос — весь, целый и роррос — форма, вид) было введено уче- никами Коши — Брио и Буке.

«Этим названием мы указываем,— писали онн, — что она (т. е, голоморфная функция. — А. М.) подобна целым функциям (т. е. многочленам.— А. М), обладающим теми же свойствами во всей плоскости». Смысл термийа «аналитический», употреблявшегося ранее Лагранжем, а позднее Вейерштрассом и в настоящее время общепринятого, разъяснен во введении; его при- менимость к функциям комплексного переменного, днфференцнруемым в некоторой области, будет оправдана в дальнейшем изложении, когда мы покажем, что такая функция может быть представлена в некоторой окрестности любой точки области в виде суммы сходя- щегося степенного ряда. Пока же мы будем употреблять термин «аналитическая функция» в качестве синонима термина «дифферен- цируемая в данной области функция комплексного переменного».

В виде примера рассмотрим функцию 7(г) = е»(сову+ Гзшу), определенную во всей плоскости. Здесь и=е сову, о=е«з1пу, ди до ди . до — = е 'сову = — и — = — е*а1пу = — —. ох ду ду дх' 3 зв«!аза А и мрр«1рввнч 34 гл. и.

Функции комплвксного пвгвмвнного, пгоизводнля Таким образом, условия (2) выполнены, и функция у'(г) является аналитической во всей плоскости. Для ее производной имеем; ди ,до у'(г)= — +! — = е'сову+!е*з!ну=у(а). дх дх В примере, рассмотренном в конце п. 5, у(в) = х, и =, х, о= О,' ди ди до до дх ' ду ' дх ' ду — =1, — =О, — =О, — =О и условия даламбера — Эйлера не ди до выполнены: —.+ —. Мы видели, что эта функция нигде не диффе' дх' ду' ренцируема (по плоскости).

Во многих случаях важно иметь условия дифференцируемости функции комплексного переменного у(г)= и + !о в точке г + О, выраженные с помощью полярных координат (х! = г и Агам = Ф. Условия эти (необходимые 1ь достаточные) таковы: 1') и и о являются дифференцируемыми функциями г и Ф; 2') их частные производные связаны соотношениями ди 1 до до 1 ди д1 г дФ' дг г дФ' (8) и обратный переход от условий (8) Читатель легко выполнит к условиям (2). Записывая уравнения (9) в ди ди дг дх до до дг дх виде до соз ф — — 5!П Ф, дх соя Ф+ — з!и Ф, ди дх получаем из них: ди ди дх д!' — = — сов Ф+ — 51п Ф, — = — 51п Ф+.ф- сов Ф, до .

до ди . до дг ' дх дг ог Чтобы убедиться в этом, достаточно показать, что и и о диф- ференцируемы как функции г и Ф (г Ф О) тогда и только тогда, когда они дифференцируемы как функции х и у, и'что при этих условиях уравнения (8) эквивалентны уравнениям (2). Но выполнение' первого требования следует из того, известного из общего курса анализа факта, что дифференцируемая функция (например, и = и(х, у)) от дифференцируемых функций (например, х = г сов Ф и у = г гйп Ф) является также дифференцируемой (относительно переменных г и Ф).

Второе утверждение проверяется непосредственно. Например, если условие 1') выполнено и, кроме того, выполнены условия (2), то ди ди ди , до до . 1 до дг дх — = — соя Ф+ — з!и Ф = — соз Ф вЂ” — з!и Ф = — —, ду ду дх г дФ' до до до . ди ди . 1 ди (9) д дх — = — соя Ф+ — з!и Ф = — — сов Ф+ — гйп Ф = — — —.

ду ду дх г дФ' Условия диФФБРенциРУемости ВО ЕИУГРенней точке ОБлАсти 35 и следовательно, ( !тпФ)! ! ( Ф ди .до ди дх дг ' дг Гди,, до! 1дг ' дг) — — — ) (соз Ф вЂ” ! Б,п Ф) г /ди дот дг! ' Эта формула удобна для вычисления / (я) с помощью полярных координат. Уравнения (8) позволяют записывать /'(я) также в виде )'(2)=-,~ — — ! — ).

1 /до ди! 2 1дФ дФ)' (11) В качестве примера рассмотрим функцию я~ т т — „ / гл Агя 2 гп Агя 21 -„ / еФ тФ1 2 = 121 !тсоз + ! Б1п — ) = г !1соз — +! 3!и — ), +1 ' л л )' где т — целое число и л — натуральное. Функция зта определена в области (л т 2 =/= О и является многозначной, если рациональное число — не является л гя целыч (см. гл. 1, и. 2).Многозначность функции 2" обусловлена многозначно. стью аргумента Ф.

Чтобы' иметь возможность говорить о производной втой многозначной фуниции в некоторой точке 2 области б, возьмем в втой области какую-либо окрестность точки т не содержащую начала координат, и, фиксировав одно из значений Ф в точке 2, будем брать во всех других точках 2! той же окрестности значения Фт, удовлетворяющие условию 1Ф! — Ф!с.— 2 (черт. 5). Тогда получим в рассматриваемой окрестности о днов н ач н у ю и непрерывную ветвь функ- т ции 2" .

Будем обозначать зту однозначную функцию тем же зная! .г ком: у(2) =2". Очевидно, в атом случае Э3 т г — тФ вЂ” „еФ и=2! соз —, О=Г„Б!П вЂ”, ' ! 1 ! ! ! ~а ди е „-' тФ 1 до — = — г" соз — = — —, дг и + и г,дФ' ~„"ф т д = — г+ з!и — = — — —, дя !п „"' !пФ ! ди Черт. 5. г л + л гдФ' и следовательно, у(2) является дифференцируемой функцией. Для ее производной получаем в силу формулы (1О)! г /т — "„-' тФ т — „-' т /" (2) = — ~ — Г СОЗ вЂ” + — Г и 51П вЂ” Ф) 21л + л л + л т т „ / тФ еФ1 1 т/(2) — — !' с05 — + 3!и — ) — = — —.

л + (, л Л 2 Л 2 36 гл. и. отнкции комплзксного пвввмвниого, пвоизводнля Читатель видит, таким образом, что правило дифференцирования одроб. ной степенн» а о формально остается тем же, что и для соответствующей функции действительного переменного х ". Нужно помнить, что наща выкладка выполнялась прн условии л + О, которое можно опустить только в том случае, когда — является неотрицательным целым числом. л В виде упражнения предлагаем читателю убедиться в том, что функция у(л) =!и г -[- се, определенная в той же области О, днфференцнруема и про.

1 извозная ее равна — (злесь также необходимо выделять- однозначные я непрерывные ветви функции). 8. Геометрический смысл аргумента производной. Рассмотрим сначала комплексную функцию я = Л (с) действительного перемен. ного А определенную и непрерывную на некотором сегменте Е: [а, р[ действительной оси. Как указывалось в п. 4, такая функция определяет непрерывную кривую Л. Предположим, что в некоторой точке сегмента [а, р[ существует производная (по множеству Е) Л'(г) +0, Покажем, что тогда в соответствующей точке во= Л(оо) кривой Л существует касательная Т к ней (понимаемая как предельное положение секущей, проходящей через л ), причем угол между Т и действительной осью совпадает с АгпЛ'(го).

В самом деле, проведем секущую через точки ло —— Л(со) и лс = Л(сс) кривой Е. Можно предполагать, что точки эти не совпадают для всех г„отличных от г и достаточно близких к с (в противном случае найдется последовательность [Сс„[ -« г такая, что Л((со) — Л(г,о)= 0 при всех и, и, следовательно, Л'(Со)= [сни ''" ' =О). лс \ — лс) ссо — со Замечая, что направление секущей одинаково с направлением вектора — 'о, заключаем, что секущая, наверное, имеет предельное сс со положение и р и Гс — со (лс -+ зо), если только угол между последним лс — ло вектором и действительной осью, равный Агд —, имеет предел при сс-+го.

Но В силу условия существует предел Игп — ' — — ~ =Л'(С) + 0; с,,с, сс — со поэтому существует и предел Ипс Агп с — о Агп Ло((о)~ с,-о с, Сс — Со чем и завеошается доказательство. 8. гаомвтгичвский смысл АРГументА пгоизводной 87 ь(так, длл комплексной Функции действительного переменного налич линие отличной от нуля производной означает существование касат сательной к соответствующей кривой; угол наклона касательно ой к действительной оси совпадает с аРгУментом пРоизводной. Обратимся теперь к функции комплексного переменного в=у(г), определенной и непрерывной в некоторой области О, и допустим, 'что в точке гв~ О существует произзолнач 1'(гь) ~= О. Пооведем через точку гь какую-либо кривую йл г= Л(г) (а(С.(р, Л(а) = гь), для которой существует производная Л'(с ) Ф О; по-предыдущему кривая Л обладает касательной в точке ге= Л(а) с углом наклона, равным АгиЛ'(Сь).