Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций

А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций, страница 2

DJVU-файл А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций, страница 2 Математический анализ (2662): Книга - 4 семестрА.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций: Математический анализ - DJVU, страница 2 (2662) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 2 - страница

2. Аналитические функции комплексного переменного. Уже при изучении наиболее простой аналитической функции — иногочлена Дх)=аз+а,х+... +а„х (а„чь 0) выявляется целесообразность рассмотрения ее как функции комплексного переменного. В самом деле, только при таком подходе обнаруживается, что эта функция каждое значение, в частности значение, равное нулю, принимает при и значениях х (некоторые из них могут совпадать между собой). Отсюда, далее, вытекает основное следствие о том, что многочлен может быть представлен в виде произведения линейных множителей у(х) = а„(х — х,нх — х,)...(х — х„), и другие, связанные с этим предложения. Естественно, что при изучении многочленов как функций комплексного переменного в качестве значений их коэффициентов допускаются произвольные комплексные числа.

Подобно этому, при изучении наиболее общих аналитических функций комплексного переменного л= х+ гу используются степенные ряды ~ А„(г — зз)", о в которых коэффициенты А„А,, ..., А„, ..., а также число л являются комплексными числами.

Функция г(г) называется аналитической на некотором множестве точек комплексной плоскости (изображающих комплексные числа), если в окрестности любой из этих точек она представляется в виде суммы степенного ряда Э л)=Х .( —,)" ввздзниз Выясняется, что вообще на функции комплексного переменного можно распространить основные понятия математического анализа и среди них понятия производной ~'(е) н интеграла ) г(г) йг, взятого вдоль какой-либо плоской кривой 1.. В нашем курсе будут доказаны следующие фундаментальные факты. Для того чтобы функция у(г) была аналитической в некотором круге плоскости комплексного переменного г, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось какое-либо одно из следующйх четырех условий: а) функция г (г) имеет производную ('(г) в каждой точке круга; б) если У(г)=и(х, у)+!о(х, у), где и(х, у) и о(х, у) — две действительные функции действительных переменных х и у, то и и(х, у) и о(х, у) являются дважды дифференцируемыми функ. циями, удовлетворяющими дифференциальному уравнению Лапласа дгт дав дхг дуг — + — =0 и связанными друг с другом уравнениями ди до ди до .

дк ду ' ду дх' в) функция у(г) непрерывна в круге и интеграл от нее по любой замкнутой кривой, лежащей в круге, равен нулю; г) в любом концентрическом круге меньшего радиуса функция г(е) может быть приближена многочленами с произвольной степенью точности. На этих предложениях строится вся теория аналитических функций комплексного переменного. Любое из свойств а), б), в) и г) может быть положено в основу определения понятия аналитической функции комплексного переменного. Мы в нашем курсе будем пользоваться определением, основанным на свойстве а), и лишь впоследствии покажем, что это определение эквивалентно тому, в котором участвуют степенные ряды.

Отметим, что многие приложения теории аналитических функций в физике и механике основаны на свойстве б); например, так называемые плоские задачи теплового или электрического равновесия, задачи обтекания плоских контуров установившимися потоками жидкости или гзза приводят именно к уравнению Лапласа, из различных решений которого построены все аналитические'функции. ГЛАВА 1 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 1. Геометрическое представление комплексных чисел нв плоскости. Теория комплексных чисел излагается в курсах высшей алгебры *).

Мы напомним здесь только основные определения и результаты этой теории и несколько пополним их в интересах дальнейшего изложения. Каждое комплексное число с имеет вид а +Ь1, где а и Ь вЂ действительные числа, а ! †т называемая мнимая единица; а называется действительной частью с, Ь вЂ” мнимой частью с. Обозначения: а = Ке с, Ь = 1в с (Ке — начальные буквы латинского геайз — действительный, !в — начальные буквы !вая!напив — мнимый). Два комплексных числа с' и с" равны между собой тогда и только тогда, когда Кес'=Кес" н !вс'= !вс".

Если !в с=О, то с= Кес есть действительное число; если !вс+О, то с называется мнимым числом и при добавочном условии Кес=б — чисто мнимым. Для геометрического иэображения комплексных чисел на плоскости выбирают прямоугольную декартову систему координат и каждую точку А4(х, у) рассматривают как образ комплексного числа л=х+уй число х+уг называют аффиксом точки М.

Это условие устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек плоскости и множеством всех комплексных чисел. При этом множество всех действительных чисел изображается осью абсцисс, которая называется поэтому действительной осью, множество всех мнимых точек — множеством точек, не лежащих на оси абсцисс, и, в частности, множество чисто мнимых чисел — осью ординат, называемой м н и м о й о с ь ю (заметим, что одна точка мнимой оси, а именно начало координат, изображает действительное число — О).

Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью (иногда гауссовой плоскостью), а также плоскостью (з), плоскостью (в) и т. п., в зависимости от того, какой буквой (з, в, ...) обозначаются комплексные числа. *) См., например, А. Г. Курев, Курс высшей алгебры, изд. 4-е, М., Гостехнздзт, 1955. 2. опвгации над комплвксными числами Термины «комплексное число х+1у» и «точка х+1у» употребляются как синонимы. Для геометрического представления числа г = х + 1у, кроме точки (х у), используется еще и вектор с проекциями х и у на координатные оси; начало его может быть помещено в произвольной точке (черт. 1).

Поэтому можно употреблять как синонимы термины «комплексное числов и «вектор». Длина )г~ вектора называется м о д у л е м комплексного /лу числа г и угол Агдг между положи- У тельным направлением действительной оси и вектором (здесь предполагается, что г чь 0) — аргументом я; по- ст Ю следний определен с точностью до целого, кратного 2«. Одно и только Черт.

1. одно значение а аргумента удовлетворяет условию — к(а(я; оно называется главным значением аргумента и обозначается аггел. Очевидно, что Агйх = ага я+ 2й«, где й обозначает любое целое число. Отметим еще следующие соотношения: Если г= х+1у, то ( л(='Ргха+уз1 зг г = агс(я — при х ) О, У х ага»=агс1д — +я при х(0 и у)~ О, У х агам =агс12 — — я при х < 0 и у < О.

У Действительная и мнимая части г выражаются через модуль и аргумент так: Кех=1г~созАгйг, 1шз=(г~янАгяг; поэтому само г может быть представлено в виде я= ~а((сояАгдх+1з!п Агах), который называется тригонометрической формой л. Два комплексных числа х+1у и х — )у называются сопряженными (взаимно). Если одно из них обозначить г, то другое обозначается х. Очевидно, что точки г и я симметричны относительно действительной оси. Поэтому ~ г ! = ~ г ); кроме того, агд я = — агам, если я не есть действительное отрицательное число; в последнем случае аг2 г = агях я, 2.

Операции над комплексными числами. Действия сложе- ния и умножения комплексных чисел определяются следующими 12 Гл. ь комплексныР числА и их ГРометРическое ИРедстАвление равенствами: (а„+!Ь,) +(па+ И2) = (а2+ аз)+ 2'(Ь1 + Ье) (а, + 2Ь,)(па+ И,) =(агпз — Ь2Ь2)+ 2(а,Ь, + азЬ1). а вычитание и деление †к соответствующие обратные действия. Из этих определений вытекают важные следствия: сложение и умножение обладают переместительным и сочетательным свойствами, умножение обладает распределительным свойством относительно сложения; произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда.

по крайней мере, один из сомножителей равен нулю; вычитание возможно всегда, деление возможно при условии, что делитель отличен от нуля. Все это означает, что комплексные числа образуют поле. Отметим частный случай умножения: если с= а +(Ь, то с ° с = аз + Ьз = |с|2, отсюда |с| = г' с ° с.

Геометрически сложение чисел с, = а,+И2 и с, =,аа +И2 производится по правилу сложения векторов (черт. 2, а). Разность с — с 1 2 Черт. 2. представляется вектором, конец которого находится в точке е с„ а начало — в точке с, (черт. 2, б). Отсюда вытекает, что расстояние д у точек с, = а, +2Ь, и сз= па+Из равно модулю разности: р(с„с,) = |с,— с,|. Далее отметим важные неравенства для модуля суммы и разности |С,+С2|~(|С,|+|Се|, |С,— С2|' Р ||С,| — |Сэ||; знаки равенства могут иметь здесь место лишь при условии, что векторы с, и с коллинеарны и одинаково направлены.

Первое неравенство распространяется на любое число слагаемых: |С,+С,+... +С„|~~| С,|+... +|Сь!; и здесь равенство может осуществляться только при условии, что все л векторов с,, са, ..., с„ коллинеарны и направлены в одну сторону. 2, опввлции нлд комплвксными числами Для геометрического истолкования умножения запишем с, и с в тригонометрической форме с, = [с,[(сов Асс, +1з[п Асс), се= [се [(сов Асс +1а[п Атас ); тогда определение умножения дает: с= с,се = [с„[[с,[[соз(Атас, +Агдса)+[з1п(Агнс, + Агкс )[. Отсюда следует, что [с, се[=[с,[[сз[ и Агя(с, с)=Агяс,+Агясз (последнее соотношение нужно понимать в том смысле, что, образуя всевозможные суммы значений Асс, и Атас„мы получаем множество чисел, совпадаюшее со множеством значений Агд(с, сз)).

Геометрически умножение с, на с, (с, чь 0 и се+0) означает, что вектор с, растягивается в )с,[ раз и поворачивается (около своего начала) на угол Агпса. Для частного с,: с, = †' (с, + О, се чь 0) посв лучаем равенства [с,: сз [= [с, [: [с, [ и Агд (с,: са) = Агя с, — Агдса. Из последнего равенства вытекает, что угол между векторами с; н с„отсчитываемый от са к с, против часовой стрелки (и определяемый с точностью до целого, кратного 2п), равен Агц — ': сз ' е с, с,=Агя —.

1 сз ' Из правила умножения следует, что с" = [ с [" (соз и Агя с + 1 з1п и Агд с), где п †натуральн число; очевидно, что эта формула справедлива и при и = 0 (сз = 1). Замечая, что с-"= †, получаем: 1 сю с " = [ с [ " [сов ( — и Агя с) +1 з1 и ( — и Агд с)[. Итак, для любого т целого справедлива формула с = [с [~(созт Агйс+1з[пт Асс). Если р и о в целые числа, причем 1г )~ 2 и дробь — несократима, Р я то правая часть формулы се = 7 св = К ~, с [и ~соа ( — ' А гн с) +1 а[и ( — ' А га с) [, У где [1[с[в обозначает положительное значение степени [с[а, дает я д различных значений степени с 14 гл. ь комплексные числА и их геометРичзскоВ пРедстАзление Чтобы получить их все, достаточно, фиксировав какое-либо одно значение Атис, равное ср, подставить в правую часть д следующих значений Атис: чс, чс+ 2п, ..., ср+(~у — 1) 2в, 3.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
470
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее