А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций, страница 2

2. Аналитические функции комплексного переменного. Уже при изучении наиболее простой аналитической функции — иногочлена Дх)=аз+а,х+... +а„х (а„чь 0) выявляется целесообразность рассмотрения ее как функции комплексного переменного. В самом деле, только при таком подходе обнаруживается, что эта функция каждое значение, в частности значение, равное нулю, принимает при и значениях х (некоторые из них могут совпадать между собой). Отсюда, далее, вытекает основное следствие о том, что многочлен может быть представлен в виде произведения линейных множителей у(х) = а„(х — х,нх — х,)...(х — х„), и другие, связанные с этим предложения. Естественно, что при изучении многочленов как функций комплексного переменного в качестве значений их коэффициентов допускаются произвольные комплексные числа.

Подобно этому, при изучении наиболее общих аналитических функций комплексного переменного л= х+ гу используются степенные ряды ~ А„(г — зз)", о в которых коэффициенты А„А,, ..., А„, ..., а также число л являются комплексными числами.

Функция г(г) называется аналитической на некотором множестве точек комплексной плоскости (изображающих комплексные числа), если в окрестности любой из этих точек она представляется в виде суммы степенного ряда Э л)=Х .( —,)" ввздзниз Выясняется, что вообще на функции комплексного переменного можно распространить основные понятия математического анализа и среди них понятия производной ~'(е) н интеграла ) г(г) йг, взятого вдоль какой-либо плоской кривой 1.. В нашем курсе будут доказаны следующие фундаментальные факты. Для того чтобы функция у(г) была аналитической в некотором круге плоскости комплексного переменного г, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось какое-либо одно из следующйх четырех условий: а) функция г (г) имеет производную ('(г) в каждой точке круга; б) если У(г)=и(х, у)+!о(х, у), где и(х, у) и о(х, у) — две действительные функции действительных переменных х и у, то и и(х, у) и о(х, у) являются дважды дифференцируемыми функ. циями, удовлетворяющими дифференциальному уравнению Лапласа дгт дав дхг дуг — + — =0 и связанными друг с другом уравнениями ди до ди до .

дк ду ' ду дх' в) функция у(г) непрерывна в круге и интеграл от нее по любой замкнутой кривой, лежащей в круге, равен нулю; г) в любом концентрическом круге меньшего радиуса функция г(е) может быть приближена многочленами с произвольной степенью точности. На этих предложениях строится вся теория аналитических функций комплексного переменного. Любое из свойств а), б), в) и г) может быть положено в основу определения понятия аналитической функции комплексного переменного. Мы в нашем курсе будем пользоваться определением, основанным на свойстве а), и лишь впоследствии покажем, что это определение эквивалентно тому, в котором участвуют степенные ряды.

Отметим, что многие приложения теории аналитических функций в физике и механике основаны на свойстве б); например, так называемые плоские задачи теплового или электрического равновесия, задачи обтекания плоских контуров установившимися потоками жидкости или гзза приводят именно к уравнению Лапласа, из различных решений которого построены все аналитические'функции. ГЛАВА 1 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 1. Геометрическое представление комплексных чисел нв плоскости. Теория комплексных чисел излагается в курсах высшей алгебры *).

Мы напомним здесь только основные определения и результаты этой теории и несколько пополним их в интересах дальнейшего изложения. Каждое комплексное число с имеет вид а +Ь1, где а и Ь вЂ действительные числа, а ! †т называемая мнимая единица; а называется действительной частью с, Ь вЂ” мнимой частью с. Обозначения: а = Ке с, Ь = 1в с (Ке — начальные буквы латинского геайз — действительный, !в — начальные буквы !вая!напив — мнимый). Два комплексных числа с' и с" равны между собой тогда и только тогда, когда Кес'=Кес" н !вс'= !вс".

Если !в с=О, то с= Кес есть действительное число; если !вс+О, то с называется мнимым числом и при добавочном условии Кес=б — чисто мнимым. Для геометрического иэображения комплексных чисел на плоскости выбирают прямоугольную декартову систему координат и каждую точку А4(х, у) рассматривают как образ комплексного числа л=х+уй число х+уг называют аффиксом точки М.

Это условие устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек плоскости и множеством всех комплексных чисел. При этом множество всех действительных чисел изображается осью абсцисс, которая называется поэтому действительной осью, множество всех мнимых точек — множеством точек, не лежащих на оси абсцисс, и, в частности, множество чисто мнимых чисел — осью ординат, называемой м н и м о й о с ь ю (заметим, что одна точка мнимой оси, а именно начало координат, изображает действительное число — О).

Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью (иногда гауссовой плоскостью), а также плоскостью (з), плоскостью (в) и т. п., в зависимости от того, какой буквой (з, в, ...) обозначаются комплексные числа. *) См., например, А. Г. Курев, Курс высшей алгебры, изд. 4-е, М., Гостехнздзт, 1955. 2. опвгации над комплвксными числами Термины «комплексное число х+1у» и «точка х+1у» употребляются как синонимы. Для геометрического представления числа г = х + 1у, кроме точки (х у), используется еще и вектор с проекциями х и у на координатные оси; начало его может быть помещено в произвольной точке (черт. 1).

Поэтому можно употреблять как синонимы термины «комплексное числов и «вектор». Длина )г~ вектора называется м о д у л е м комплексного /лу числа г и угол Агдг между положи- У тельным направлением действительной оси и вектором (здесь предполагается, что г чь 0) — аргументом я; по- ст Ю следний определен с точностью до целого, кратного 2«. Одно и только Черт.

1. одно значение а аргумента удовлетворяет условию — к(а(я; оно называется главным значением аргумента и обозначается аггел. Очевидно, что Агйх = ага я+ 2й«, где й обозначает любое целое число. Отметим еще следующие соотношения: Если г= х+1у, то ( л(='Ргха+уз1 зг г = агс(я — при х ) О, У х ага»=агс1д — +я при х(0 и у)~ О, У х агам =агс12 — — я при х < 0 и у < О.

У Действительная и мнимая части г выражаются через модуль и аргумент так: Кех=1г~созАгйг, 1шз=(г~янАгяг; поэтому само г может быть представлено в виде я= ~а((сояАгдх+1з!п Агах), который называется тригонометрической формой л. Два комплексных числа х+1у и х — )у называются сопряженными (взаимно). Если одно из них обозначить г, то другое обозначается х. Очевидно, что точки г и я симметричны относительно действительной оси. Поэтому ~ г ! = ~ г ); кроме того, агд я = — агам, если я не есть действительное отрицательное число; в последнем случае аг2 г = агях я, 2.

Операции над комплексными числами. Действия сложе- ния и умножения комплексных чисел определяются следующими 12 Гл. ь комплексныР числА и их ГРометРическое ИРедстАвление равенствами: (а„+!Ь,) +(па+ И2) = (а2+ аз)+ 2'(Ь1 + Ье) (а, + 2Ь,)(па+ И,) =(агпз — Ь2Ь2)+ 2(а,Ь, + азЬ1). а вычитание и деление †к соответствующие обратные действия. Из этих определений вытекают важные следствия: сложение и умножение обладают переместительным и сочетательным свойствами, умножение обладает распределительным свойством относительно сложения; произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда.

по крайней мере, один из сомножителей равен нулю; вычитание возможно всегда, деление возможно при условии, что делитель отличен от нуля. Все это означает, что комплексные числа образуют поле. Отметим частный случай умножения: если с= а +(Ь, то с ° с = аз + Ьз = |с|2, отсюда |с| = г' с ° с.

Геометрически сложение чисел с, = а,+И2 и с, =,аа +И2 производится по правилу сложения векторов (черт. 2, а). Разность с — с 1 2 Черт. 2. представляется вектором, конец которого находится в точке е с„ а начало — в точке с, (черт. 2, б). Отсюда вытекает, что расстояние д у точек с, = а, +2Ь, и сз= па+Из равно модулю разности: р(с„с,) = |с,— с,|. Далее отметим важные неравенства для модуля суммы и разности |С,+С2|~(|С,|+|Се|, |С,— С2|' Р ||С,| — |Сэ||; знаки равенства могут иметь здесь место лишь при условии, что векторы с, и с коллинеарны и одинаково направлены.

Первое неравенство распространяется на любое число слагаемых: |С,+С,+... +С„|~~| С,|+... +|Сь!; и здесь равенство может осуществляться только при условии, что все л векторов с,, са, ..., с„ коллинеарны и направлены в одну сторону. 2, опввлции нлд комплвксными числами Для геометрического истолкования умножения запишем с, и с в тригонометрической форме с, = [с,[(сов Асс, +1з[п Асс), се= [се [(сов Асс +1а[п Атас ); тогда определение умножения дает: с= с,се = [с„[[с,[[соз(Атас, +Агдса)+[з1п(Агнс, + Агкс )[. Отсюда следует, что [с, се[=[с,[[сз[ и Агя(с, с)=Агяс,+Агясз (последнее соотношение нужно понимать в том смысле, что, образуя всевозможные суммы значений Асс, и Атас„мы получаем множество чисел, совпадаюшее со множеством значений Агд(с, сз)).

Геометрически умножение с, на с, (с, чь 0 и се+0) означает, что вектор с, растягивается в )с,[ раз и поворачивается (около своего начала) на угол Агпса. Для частного с,: с, = †' (с, + О, се чь 0) посв лучаем равенства [с,: сз [= [с, [: [с, [ и Агд (с,: са) = Агя с, — Агдса. Из последнего равенства вытекает, что угол между векторами с; н с„отсчитываемый от са к с, против часовой стрелки (и определяемый с точностью до целого, кратного 2п), равен Агц — ': сз ' е с, с,=Агя —.

1 сз ' Из правила умножения следует, что с" = [ с [" (соз и Агя с + 1 з1п и Агд с), где п †натуральн число; очевидно, что эта формула справедлива и при и = 0 (сз = 1). Замечая, что с-"= †, получаем: 1 сю с " = [ с [ " [сов ( — и Агя с) +1 з1 и ( — и Агд с)[. Итак, для любого т целого справедлива формула с = [с [~(созт Агйс+1з[пт Асс). Если р и о в целые числа, причем 1г )~ 2 и дробь — несократима, Р я то правая часть формулы се = 7 св = К ~, с [и ~соа ( — ' А гн с) +1 а[и ( — ' А га с) [, У где [1[с[в обозначает положительное значение степени [с[а, дает я д различных значений степени с 14 гл. ь комплексные числА и их геометРичзскоВ пРедстАзление Чтобы получить их все, достаточно, фиксировав какое-либо одно значение Атис, равное ср, подставить в правую часть д следующих значений Атис: чс, чс+ 2п, ..., ср+(~у — 1) 2в, 3.