Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций

А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций, страница 8

DJVU-файл А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций, страница 8 Математический анализ (2662): Книга - 4 семестрА.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций: Математический анализ - DJVU, страница 8 (2662) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 8 - страница

Эта кривая преобразуется посредством отобоажеиия то=у(г) в кривую Л, расположенную в плоскости яю я = ((Л(г))= — р(г) (а(С-(р, р,(гь)=/(гв)=твв). Так как по правилу дифференцирования сложных функций функция р(Г) дифференцируема в точке с = ьв и (ь'(гв)=У'(гь) Л'(ьь) чь О, то кривая Л облалает касательной в точке гав=ага), причем угол между касательйой н действительной осью равен АгК Р (го) = АгК!Л (го)У'(ео)) = Агй Л'(го)+ Агру'(яо).

Отсюда вытекает, что при переходе от кривой Л к ее образу Л угол наклона касательной в начальной точке кривой изменяется на величину Агд ре(го) Агд Л (го) = Агйу'(го) не зависящую от этой кривой. Если из точки гв выходят какие-либо две кривые ~, и Лг, обладающие касательными Т, и Т, в точке г, , то касательные т, и тг к их образам Л, и Лг в точке воз=У(гь) получатся из Т, и Т, посредством поворота на один и тот же угол Агру'(ль) и, следовательно, угол между кривыми А, и Аг будет равен (по величине и по направлению отсчета) углу между Л, и Лг.

Таким образом, при отображении посредством непрерывной функции тв = У(г), обладающей отличной от нуля производной у'(ль), все кривые плоскости л, проходящие через точку г и обладающие касательными в этой точке, преобразуются в кривые плоскости то, проходящие через точку сов= г(еь) и также обладающие касательными в втой точке, причем углы между кривыми при этом преобразовании сохраняются. Отображение посредством непрерывной функции, сохраняющее углы между кривыми, проходящими через данную точку, называется конформным в этой точке. Если при этом сохраняются не только величины углов, но и направления их отсчета (как это имело место в рассмотренном выше отображении), то говорят о конформном отображении первого Рода; если же направления отсчета углов изменяются на противоположныв (например, в случае зеркального отражения в действительной оси: то л), то говорят о конформном отображении второго рода, 38 Гл.

н ° Функции кОмплекснОГО пеРемьннОГО. пРОизэоднли Итак, отображение посредством аналитической в квкотород области О функииа комп.гвксного переменного является конформ. кым отображением первого рода во всех точках, в которых производная отлична от нуля. Если отображение является кои формным во всех без исключения точках области О, то его называют конформны м отображением области О. Общий пример конформного отображения второго рода дают ото. бражения, осуществляемые посредством функций, сопряженных с аналитическими: т»=7(») (предполагается, что г'(х) чь О).

Предлагаем читателю доказать, что если производная в некоторой точке равна нулю, то углы могут как сохраняться, так н изменяться (рассмотреть отображения у! (») = »а (соз Ф + ! з!и Ф) и Уг (») = Гз (соз 2Ф+ ! в!и 2Ф) = »г з точке»=*0). 9. Геометрический смысл модуля производной. В предыдущем пункте было показано, что Агд('(»е) выражает собой угол поворота касательной к кривой Е в некоторой ее точке »е при переходе к ее обРазУ Л и к точке тае =,Г(»е). В частности, если !'(»е) †действительное положительное число, то векторы касательных к г.

в » и о к Л в Г(»е) параллельны и направлены в одну и ту же сторону. Выясним теперь геометрический смысл модуля производной !)'(»в) ~. С этой целью заметим, что 1у'(» )! — ((ш 1~( ) .Г( в ! и что числа !» — »е! и (г(») — Г'(»в)! представляют собой соответственно расстояния между точками» и»е плоскости» и между их образами Г(») и 7(»е) в плоскости ш. Если отношение 1» — »ь! можно рассматривать как растяжение вектор໠— » в результате отображения посредством функции Гв= Г(») (это растяжение может быть меньше единицы, равно единице и больше единицы), то модуль производной ~)'(х ) / можно рассматривать как растяжение в точке» при отображении посредством фуккции чв= Г'(»). Величина растяжения в точке»е, как следует из только что сказанного, не зависит от того, какой берется вектор» — »е, выходящий из этой точки; однако она не совпадает с растяжением вектора » †»„ а представляет собой предел этого растяжения при условии, что » стремится к »в.

10. Пример: линейная и дробно-линейная функции. В виде иллюстрации рассмотрим дробно-линейную функцию С(»)= а»+6 = — (по крайней мере, одно из чисел с или б отлично от нуля) с»+а Пусть сначала с= О. Тогда Е(») можно переписать в виде ~(»)=а»+ ., 10. пгимвг: линвйнля и дговно-лннвйнля егнкции 39 «Ьэ, +яг(а — —, р= — ); это — целая линейная функция.

Она определена прн всех значениях г и имеет производную 1. (л)=а, храняющую постоянное значение и отличную от нуля, если а Ф О. Следовательно, функция 1.(л) производит конформное отображение всей плоскости комплексного переменного г. При этом отображении касательные ко всем кривым плоскости г поворачиваются на один и тот же угол, равный Агфа, н растяжение во всех точках оказывается равным )а). Если сс= 1, то Агиа= 2«я, (а(= 1, и как поворот, так н растяжение фактически отсутствуют. Так как ото5ражение в этом случае пэинимает вид ш=л+р, то оно, очевидно, сводится к сдвигу всей плоскости как целого на вектор р.

Если же а ~ 1 (и а Ф 0), то отображение можно представить в виде я в Т= = «(я — т), где Т определяется из уравнения Т = «Т +~. Отсюда следует, что каждый вектор г — Т, выходящий из точки Т, в результате отображения поворачивается на угол, равный Агда, н подвергается растяжению в ) а! раз, превращаясь в вектор ш — Т, выходящий нз той же точки Т. Это означает, что отображение 1.(л)=ал+р при а Ф 1 (и а ~ 0) сводится к повороту всей плоскости как целого вокруг точки Т = — на угол Агд«и к растяжению относительно 1 — « этой точки в (а! раз.

Очевидно,— это отображение подобия с центром в точке Т = — и коэффициентом подобия (а~, сопровождающееся поворотом вокруг той же точки на угол Ага«. Таково конформное отображение в простейшем случае. Пусть теперь с чь О. Тогда при г Ф 6= — — существует произс водная ૠ— Ьс аИ вЂ” Ьс 1 (сс -1- «)с - са ' (с — о)с Если определитель аб — Ьс Ф 0 (а равенство нулю выражения ас( — Ьс « означает справедливость пропорции — = — = Л, откуда а = сЛ, с Ь= с(Л и Е(л) = = амЛ~, то с'(я) чь 0 при всех «с+ Ь сЛх+ аь с«+ «' сс -1- Н з чь Ь.

Следовательно, отображение тв = 1. (л) является конформным во всех конечных точках, отличных от 3. При этом отображегии касательные к кривым, проходящим через произвольную точку г+ 3, Поворачиваются на угол, равный асс — Ьс Агре(л) = Агд —,, — 2 Ага'(г — В). ся стол поворота касательной, очевидно. меняется от точки к точке. сохРаняя одно и то же значение для тех точек, для которых Ага (х — В) со"Раняет одно и то же значение, т.

е. для точек кзждого из прямолинейных лучей, выходящих из точки В. Растяжение длины в точке в 40 гл. и. этнкции комплексного пагвмвнного. пгонзводнля при данном отображении есть 1(.'(г)~=~, ~: ~г — Ь1з и также ст меняется от точки к точке. Оно сохраняет одно и то же значение для тех точек, для которых величина ~ г — 3~ †од и та же, т. е. для точек каждой окружности с центром в точке 3. В частности, Изомечрическая это растяжение равно единн- акрутяяясть це в каждой точке окружности Й у //аааттт ссаз т: ~г — Ь( = — )/!аа' — Ьс ((изо- 1 ~(т) метрическая окружность Р дробно-линейного преобр а з о в а н и я), больше единицы внутри т., стремясь к бесконечДгю~/>7 /ЙЪ/</ ности при г, стремящемся к 3, и меньше единицы вне т, стремясь к нулю при г.

стремящемся к бесконечности (черт. 6). Черт. б. 11. Угол с вершиной в бес- конечно удаленной точке. Пусть попрежнему с чь О и аН вЂ” Ьс ~ О. Тогда, очевидно, аз+ Ь а ,.ь гг+ Ф а Дополним определение функции Е(г), положив Е (3) = оо и 1. (оо) = а. Т еперь функция те=(.(г) определена во всей расширенной плоскости г, причем конечную точку Ь она преобразует в бесконечно уда. ленную точку плоскости ш, а бесконечно удаленную точку плоскости г — в конечную точку а.

аг+ Ь Из уравнения тв — „получаем для обратной функции г (," (тв) следующее выражение: При этом мы предполагаем сначала, что течь оо и а~ чье (тогда г чье и гчь оо). Для тэ со и тэ=а имеем следующие аначения: Ь (оо)=Ь и Е (а)=оо. Итак, функция, обратная по отношению к дробно-линейной, сама является дробно-линейной. Мы видим при этом, что дробно-линейная функция ез= С(г) осуществляет взаимно однозначное отображение расширенной комплексной плоскости самое на себя и что это отобра. жение валяется конформным при глава и гчьоо. Чтобы иметь возможность говорить о конформности отображения и в втих точках. 11. ьгол с вггшиной в ввсконвчно ьдллгнной точке 41 нужно дать целесообразное определение угла с вершиной з бесконечно удаленной точке. Пусть С, и С,— две непрерывные кривые, проходящие через начало координат, в котором они образуют угол 0.

1 Отобразим плоскость самое на себя посредством ч = —. Тогда С, и Сг отобразятся на непрерывные (в обобщенном смысле) кривые С, 'и С,', проходящие через бесконечно удаленную точку. Будем говорить по определению, что С', и С' образуют в бесконечно удаленной точке также угол 0. Так, например, действительная и мнимая оси составляют между собой в начале координат угол †. Посредством ото- 1 2' бражения ч= — кажлая из них преобразуется в самое себя, а точка г=0 преобразуется в точку ч= со.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4990
Авторов
на СтудИзбе
468
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее