Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций

А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций, страница 4

DJVU-файл А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций, страница 4 Математический анализ (2662): Книга - 4 семестрА.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций: Математический анализ - DJVU, страница 4 (2662) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 4 - страница

е. таких кругов, что лля каждой точки а~Р существует, по крайней мере, один круг из множества ( К >>, содержащий внутри эту точку; тогда из множества (К( можно выделить конечное число кругосс К,, Кг, ..., К>п образующих покрытие Е (т еор ем а Г ей не — Бор ел я). 5, множвствл точек нл плоскосю! Пусть Š— какое-либо множество точек плоскости. Р а с с т о янием то точки " до этого множества называется нижняя грань рань расстояний точки " ло всевозможных точек Е: р(г, Е)= =>п(~~ — »(, »~Е. Если р("-, Е)=0, то либо С~Е, либо "~Е, но тогда Е солержит точки, сколь угодно близкие к г, т. е.

является предельной точкой Е. В случае, когда Š†замкнут множество точка, пе принадлежацгая Е, не может быть прелельной для Е. Поел>оку из г ~Е гледует, что р(г, Е) > О. Пусть Е и Š— два множества точек; расстоянием между ними называется нижняя грань расстояний между всевозможными парами точек»' н " таких, жо»'~ Е н»" ~ Е: р(Е, Е)=- >п(!»' — »"!. Расстояние межлу Е и Е может равняться нулю и в том случае, когда Е и Е не имеют общих точек.

Но если оба замкнуты и, по крайней мере, олно из них, например Е, ограничено, то пз того, мто Е и Е ие имел>т общих шочем, следует, !то р(Е, Е) ) О. В самом деле, если»'~Е, то»'~Е и поэтому р(»', Е)) О. Опишем из»', как из центра, круг радиуса р(»', Е); внутри него не будет лежать нн олной точки из Е. Совокупность кругов с теми же центрами и вдвое меньшими радиусами образует покрытие множества Е. По теореме Гейне — Бореля существует конечное число > / кругов К,, К,, ..., К„с центрзми»о»е, ..., «„и радиусами ~ р(», Е) 2 р(»' ,Е), ..., ~ !«(»,'и Е), покрывающих Е. Обозначим наименьший из этих радиусов через б(о) 0). Пусть»'~Е, тогда »' ~ К>, и так как концентрический круг вдвое большего радиуса 2 .

— р(»., Е) не содержит ни одной точки из Е, то для любой ! 2 точки»" ц. Е имеем; !»' — »"))~ — р(»', Е))~6. Поэтому и р(»', »")= У =!п(!»' — »"!)~О) О, что и нужно было доказать. Точка некоторого множества Е называется в ну т р е н н е й (по отношению к этому множеству), если существует окрестность точки, содер>кащаяся в Е.

Множество Е, состоящее только из внутренних точек, называется открытым множеством. Точки, предельные лля открытого множества Е и не принадлежащие ему, называются г р ан и ч н ы м и; совокупность их составляет г р а н и ц у Г множества Е, Сама граница является замкнутым множеством. Замкнутыми являются множество Е = Е (! Г, получаемое объелинением множества Е и его границы Г и называемое з а мы канне и Е, а также множество всех точек плоскости, не приналлежащих Е. Последнее распалается на два подмножества: границу Г множества Е и множество Е, точек, не принадлежащих Е и не являющихся предельными для него, называемых в н е ш н и м и точками.

Для каждой внешней точки существует окрестность, не принадлежащая Е; такая окрестность заполнена только олними внешними точками. Поэтому множество Г> всех 20 гл. ь комплвксныи числа и их гиомитвичискои пгкдстлвлвнив внешних точек множества Е само является открытым. Важнейший частный случай открытого множества — о б л а с т ь. Открытое множество Е называется о б л а с т ь ю, если любые две точки Е можно соединить между собой ломаной, содержащейся в Е (в частном случае ломаная может сводиться к одному прямолинейному отрезку).

Области чаще всего обозначаются буквами: О (немецкое ОеЬ)е(), П (французское богпа)пе), В (немецкое Веге)сй). Примеры: а) Все точки ж удовлетворяющие неравенству )» — «э~ (р (у — фиксированное положительное число), образуют область Π— внутренность круга (или окружности) с центром «э и радиусом р. Граница этой области есть окружность Г: ~ » — «э( = р. Внешние точки характеризуются неравенством )« — «э),)р. Они в совокупности образуют также область От — внешность круга (или окружности). Точка со является также внешней по отношению к О, поэтому она принадлежит Оп Граница области бт — та же окружность Г.

Добавим еще, что каждая точка»с 0 является внешней по отношению к От так, что совокупность всех точек, внешних для Оь совпадает с О. б) Пусть Г: Ах+Ву+С=О (А, В и С вЂ” действительные числа, причем Аз+ Вэ Ф 0) — какая-либо прямая на плоскости «. Все точки, удовлетворяющие неравенству Ах+ Ву+С)0, составляют одну, а все точки, удовлетворяющие неравенству Ах+ Ву+ С с О, — другую из двух различных областей От и Оз, имеющих общую границу Г. Эти области От и Оа называются полу плоскостями (ограниченными прямой Г). Каждая из них состоит из точек, внешних по отношению к другой. Точка «= 'о является граничной точкой для От и Оэ (через эту точку проходит Г).

в) Множество точек Вт() « — «э ~(Вв — область (круговое кольцо), граница которой состоит нз двух концентрических окружностей Гд. '~« — »э) = Рт и Гз: ~ » — »э~ = Рз. Совокупность внешних точек распадается здесь на две области: внутренность круга ~ » — »э!с Й, и внешность круга )» — «э ! ) Вэ. ГЛАВА И ФУНКПИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО.

ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И ГИДРОМЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ 1. функция комплексного переменного. Понятие функции комплексного переменного является частным случаем общего математического понятия функции. Именно, если Š— некоторое множество точек комплексной плоскости (г) и каждому г поставлены в соответствие одно илн несколько комплексных чисел чо, то говорят, что на Е определена функция комплексного переменного г, значениями которой являются чо, коротко чо = у(г). Если каждому г соответствует лишь одно значение чо, то функция называется однозначной, если некоторым г соответствует более чем одно значение чо,— многозначной.

Так, например, чо=г» (и — натуральное), чв =1г ), чв = г, чо = Ке г, ш = 1ш г — однозначные функции, определенные на всей плоскости (конечной), чо = у' г — многозначная функция (п-зиачная), также определенная на всей плоскости, ш = Агдг — многозначная функция (бесконечнозначная), определенная на множестве всех точек, отличных от нуля.

Если Е расположено на действительной оси, то г= х является действительным переменным. Если все значения ю также действительны, то приходим к понятию действительной функции одного действительного переменного как весьма частному случаю функции комплексного переменного. В общем случае положим: г = х+ 1у и ш = и+ 1о. Тогда предложение «функции ш=.((г) (например, однозначная) определена на Е» эквивалентно следующему: «каждой точке из Е с координатами х и у поставлены в соответствие действительное число и и действительное число о».

Иными словами, на Е определены две действительные функции и = т(х, у) и о=т(х У) двух действительных переменных х н у. Итак, одно комплексное соотношение чв = Г"(г) эквивалентно двум соотношениям: и у(х, у) о = ф(х, у). Например, соотношение то = га = (х+ 1У)з = х' — у'+ 21ху эквивалентно следующим: и = хз — у', о = 2ху. 22 гл. и. охнкссии комплексного пвгвмвссссого. пгоизводнля 2. Предел функции в точке. Г!усть ти =У(г) — однозначная функция, определенная на Е, и го — предельная точка этого множества. Если для фиксированного комплексного числа А и для любого е > О найдется о(«) > О такое, что !с(г) — Л! < з при !г — го( < о(е), а~ Е (и г чь го), то говорят, что Г(г) ст р е кит с я к пределу А при г, стремящемся к =-„, и пишут: Иш с (г) = Л. «.+ -- «ал В дальнейшем для упрощения записи указание г~Е опускается всюду, где это не вызывает сомнения. Полагая А=В+сС, с(г)=сс(х, у)+с!я(х, у), г„=х„-,'-су и рассуждая так же, как и в п.

3 главы (, найдем, что предыдущее комплексное соотношение эквивалентно двум действительным соотношениям: !ссп и(х, у)=В, !Ип о(х, у)=С. ««.« '«а «в.«л Это замечание показывает, что простейшие предложения, относящиеся к пределам функций действительных переменных, без изменений распространяются на пределы функций комплексного переменного. Например, если функции д(г) и сс(г) определены на одном и том же множестве Е и для них Иш д(г) = А,, Ипс л (г) = А„ «.+ «« то Ипс (д(г) с-Д(г))=Ас='-Аз Иш и(г) й(г)=А, А,, «.+ =„ « '+ «« Л(г) Ас !пи — =— «.+ -„" (г) Аз (посчеднее при условии, что Аезьб). Аналогично рассматривается случай, когда вместо конечной точки берется бесконечно удаленная точка.

Именно, если точка г=со является предельной для Е и для фиксированного комплексного числа А и для любого е ) О существует Ас(з) такое, что ! с (г) — А ! < з прв !г!)АГ(в) (г~Е), то говорят, что с(г) стремится к преде,чу А при г, стремящемся к со, и пишут: Ипч Г(г) =А. Очевидно, отличие этого случая от предыдущего лишь в том, что вместо окрестности (г — го( < о(е) конечной точки г„здесь рассматривается окрестность !'г!) Ас'(г) бесконечно удаленной точки.

Наконец, если г — любая предельная точка множества Е (конечная или бесконечно удаленная) и для любого Ж) О можно указать такую окрестность точки, что неравенство !с'(г)( > И будет удов- 23 3. непРРРывность летворяться, пр надлежит этой окрестности ( то говорят, р мится к со при к г„, и пишут: 11ш ) (г) = ~ «+« Все три частных случая предела функции м о шим оп бщим определением: пусть гь — предельная точка множества Е (конечная или бесконечно удаленная) и А — комплексное число (собственное или несобственное); если каждой окрестности Ц точки А соответствует окрестность и, точки гь такая, что /(е) принадлежит К если г принадлежит иь (кроме того а~Е и г+гь), то говорят, что Дг) сгпремится к пределу А, когди г стремится к г„, и пишут: 1'пп У(г) = А.

«.+ «„, «ея 11ш о(х, Р)=о(хо Уо) выражающим непрерывность двух действительных функций и(х, у) и о(х, у) в-той же точке. Итак, функция комплексного переменного непрерывна в точке г тогда и только тогда, когда ее действительная и мнимая части, рассматриваемые как функции действительных переменных х и пч непрерывны в той же точке. Отсюда следует, что многие свойства непрерывных функций двух действительных переменных непосредственно переносятся на непрерывные функции комплексного переменного. Именно сумма, разность, произведение и частное двух непреРывных функций суть функции непрерывные (в случае частного При таком общем определении предела, когда возможно, что А = оо, мы не можем без оговорок пользоваться теоремами о пре- делах суммы, разности, произведения и частного функций, так как операции оо со, а со, — лишены смысла.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5142
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее