Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций

А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций, страница 9

DJVU-файл А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций, страница 9 Математический анализ (2662): Книга - 4 семестрА.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций: Математический анализ - DJVU, страница 9 (2662) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 9 - страница

Отсюда следует, что действительная и мнимая оси пересекаются в бесконечно удаленной точке под тем же углом †, как н в начале координат. 2' Вообще будем говорить, что любые дзе кривые С, 'и С', проходящие через точку г= со, образуют е ней угол, равный О, если 1 образы С, и С, этих кривых ари отображении ч= — образуют е начале координат угол 0. Вернемся к общему случаю отображения посредством тв = г, (г) = — (ай — Ьс чь О, с чь 0). аг+ Ь сг+ й Пусть две кривые С, и С, образуют угол 0 с вершиной 0* й с' Так как г'.(0)=со, то образы этих кривых Сг —— Е(С,) и Сг =г.(Сг) проходят через точку чв= оо.

По определению, угол между ними должен равняться углу с вершинпй в начале координат между кри- П РГ 1 выми Сг и Сг, полученными в результате отображения ь —. Очей 1Р видно, что Сг и Сг суть образы кривых С, и С при результирую- 1 ее+и щем отображении ь= — '* —. Но последнее является дробно. ге аг -1- Ь' линейным и, следовательно, конформным в точке г* 0 (которую оно преобразует в конечную точку ч= 0). Поэтому кривые С," и С", образуют в точке ч = 0 угол 0, т, е.

кривые С,' и С,' образуют в точке ш = оо угол О. Итак, мы установили конформность отображения ш = Л(г) в точке 0, в которой дробно-линейная функция обращается з со. Этот результат справедлив, конечно, и для обратной функции г = Ь" (ш) в точке и. в которой эта функция обращается в со. Иными словами, отображение чв= г.(г) является конформным и в бесконечно удаленной точке (которую оно преобразует в точку и).

Окончательно получаем: каждая дробно-линейная Функция чв = †т-„ аг+ Ь ег, Ф 42 Гл. и. фь нк пни комплекснОГО пеРеменноГО. пгоизводнля (ай — Ьс чь О, с Гь 0) отобрижиет расширенную плоскость взаимно однозначно и конформно самое на себя. Читатель легко проверит, что это утвергкдение справедливо и для целой линейной функции ш = аг+ Ь; единственное отличие от предыдущего случая здесь в том, что бесконечно удаленная точка пре- '' образуется в себя. 12. Гармонические и сопряженные гармонические функции, В дальнейшем будет показано (и.

3 главы У!), что действительная и мнимая части и (х, у) и О(х, у) функции Г(г), аналитической в некоторой области, обладают дифференцнруемыми (следовательно, и непрерывными) частными производными любого конечного порядка. В этом ) пункте мы выведем некоторые следствия из этого факта. Дифференцируя первое из уравнений (2) по х, а второе — по у и замечая, дго дго что — =, получим, складывая почленно оба результата: дудх дкду ' иои де и — г+ — = О. дхг дуг Аналогичное уравнение получится и для функции о(х, у), если первое из уравнений (2) дифференцировать по у, второе по х и затем вычесть почленно второе равенство из первого: дго д-'о дхг дуг —,+ —,, =О. Уравнение дгт дгт дхг дуг — г+ —.=О (12) является дифференциальным уравнением с частными производными второго порядка.

Оно называется у р а в н е н и е м Л а п л а с а, а функции, обладающие в некоторой области непрерывными частными производными до второго порядка включительно и удовлетворяющие этому уравнению,— г а р м о н и ч е с к и м и функ~1иями. Следовательно, можгю утверждать, что действительная и мнимая части функции Гсомплексного переменного, аналитической в некоторой области, являются функциями, гармоническими в той же обласпги. Так, например, для функции г'=(х+гу)' = х' — у' + 21ху, аналитической во всей плоскости, действительная часть хг † и мнимая часть 2ху являются гармоническими во всей плоскости. В конце п. 7 указывалось, что функция у (г) = 1п 1 г 1 + + 1 Ага'г является аналитической в области Сп е Ф О, поэтому 1п ! г! и Агйг являются гармоническими функциялГи в этой области (это легко 1 проверить, замечая, что 1п1г( = — 1п (х'+у') и Агй г = агс1я У + С, 2 х х если х чь О, или Агя г = С вЂ” агс1д —, если у чв О).

Заметим, что Агдл у дает простейший пример многозначной гармонической функции; строго гогоря, определение гармоничности следует прилагать к однозначныМ непрерывным ветвям этой функции. 12, гАРмоническив и сопРяжвнныв ГАРмоническив Функции 43 Пусть Ф(х, у) — какая-либо функция, гармоническая (однозначная) в данной односвязной области б (например, в круге, полуплоскости или во всей плоскости).

Покажем, как найти функцию 1(г) = и(х, у)+ +(о(х, у), аналитическую в этой области, действительная часть оторой совпадает с х(х, у): и(х,у) = ф(х, у). Для отыскания мнимой части функции имеем два уравнении (уравнения Даламбера — Эйлера): ду ди ду ди —— — — — — Р(х, у), — = — =(;)(х, у).

функции Р(х, у) и (:,)(х, у) непрерывны в области 6 и обладают з ней непрерывными частными производными первого порядка (последние выражаются через частные производные второго порядка от и(х, у)) Прн этом выполняется условие дР даи дзи д(') ду дуа дха дх ' в силу которого криволинейный интеграл (х у) ~( Рдх+(;)ду (х„зд не зависит от вида пути, соединяюгцего точки (х, у ) и (х. у) обла-' сти О, и, следовательно, представляет однозначную функцию ф(х, у) точки (х, у)а), Эта функция имеет те же частные производные, что н искомая функция о(х.

у): дф до дф ди — =Р= —, дх дх ' ду ду поэтому о(х, у) может отличаться от ф(х, у) только на постоянное слагаемое: (х у) о(х, у) = ф(х, у)+С= ~ Р~х+(е((у+С (х., у) (х. У) — †.У,- их + — ((у + С ди ди у дх аа ую) (здесь С вЂ” действительное число). Вычисляя о по этой формуле, будем иметь две дифференцируемые в области 0 функции: и=~у(х, у), о=ф(х, у)+С, связанные уравнениями даламбера — Эйлера ди ду ди до 'Зх Зу ' 'Бу 7х ' ) Ом., например, Г. М.

Фихтенгольц, Основы математического аиа- т, 11, М., Гостехизхат, 1959, гл. 21, ф 4. 44 гл, и. етнкции комплзксного пвгамзниого, птонзводная Отсюда следует, что функция у(л)= и(х, у)+!о(х, у)=т(х у)+ +!ф(х, у)+ (С вЂ” аналитическая в области О. Итак, по функции ~р (х, у), гармонической в односвязной области О, можно найти аналитическую функцию г(г), действительная часть которой совпадает с э(х, у). Эта функция определена с точностью до постоянного чисто мнимого слагаемого. П р и м е р.

Пусть 6 получаетса нз плоскости исключением полуоси; 1 у О, х~О. Лепсо проверить, что функция и(х, у)= — !п(ха+уз) — гар. 2 ионическая в втой области. Для отыскания мнимой части имеем уравнении до ди у дх ду хь+ уз до ди х ду дх хз + уа поьтому ге и! о(х, у) = ) — —,— ах+ у хе.,'- уь и, о! -)-, ", йу+С. хз+ уа Черт. 7. Если, например, точка М(х, у) лежит в правой полу- плоскости (х ) 0), то, интегрируя вдоль двузвенной ломаной Ае!М (черт. т), найдем: о(х, у) = ~! — +С =агс!й — +С. хау у е х'+у' х о Если точка М(х, у) лежит во втором (цлн третьем) координатном угле (х ~ 0, у чь 0), то, интегрируя вдоль ломаной АЬ'М (соответственно Ай"М), получим: в Ф о (х, у) ~ 1 †— ~ -!†у + С ~ агс!й у — агс!й - + агс!й - + С. ! йу !" уйх х 1 +у "х+у у у Отсюда видно, что о(х, у) а!Ел+С во всех точках Сч следовательво, У(е) лк(п(ха+Уз)+ 1агйл+ гС !а !е!+ 1агйл+ гС, 1 Изложенный здесь прием отыскания аналитической функции по ее действительной части применим и для случая многосвязной области О, но в случае многосвязной области интеграл ф(х, у) ' др д(! й Рйх+Яйу при условии -ч- ° -ч- представляет, вооб!це У гидгомвхлиичзскоз истолкования ьнллнтичвской эвикции Фб говоря оря многозначную функцию точки (х, у); поэтому и функция ,Р(х, у)+ (ф(х, у)+(С, вообще говоря, оказывается многозначно „чной (хотя р(х, у) — попрежнему однозначная).

Все это легко ллюстрирозать, отыскивая аналитическую функцию У'(я) в области иллю 1 бй з~() по заданной действительной части <~(х, у) = — 1п(х'+у ). Г(олучим мнсгозначную аналитическую функцию у(я) = 1п ~ я )+ )Агп я. Заметим, наконец, что совершенно таким же путем можно находи'гь аналитическую функцию по ее мнимой части. Впрочем, если ф (х, у) есть мнимая часть для у(г), то она же является действительной 1 частью для; у(з). Гармонические функции встречаются во многих задачах физики н механики.

Так, например, температура однородной пластинки, находящейся в тепловом равновесии, электрический потенциал плоского проводника, потенциал скоростей плоского установившегося потока однородной, несжимаемой жидкости и т. д. являются гармоническими функциями декартовых координат х и у в соответствующих областях, Вначение теории аналитических функций для решения многих задач механики и физики заключается в том, что вместо того, чтобы искать гармонические функции и оперировать с ними, ищут аналитические функции, действительными или мнимыми частями которых служат эти гармонические функции.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5142
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее