Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций

А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций, страница 12

DJVU-файл А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций, страница 12 Математический анализ (2662): Книга - 4 семестрА.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций: Математический анализ - DJVU, страница 12 (2662) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 12 - страница

б4 гл. ш. элементленые егнкции и конеогмные отовглження Итак, при отображении чв = Р„(г) все углы с вершинами г в точках, в которых производная Р„(г) обращается в нуль, изменяются, а именно увеличиваютея в число раз, равное кратности соответствующего корня уравнения Р„(г) — Р„(гь) = О. 1 Используя преобразование ч = †, читатель легко убедится в том, что при и ) 1 конформность отображения нарушается также и в бесконечно удаленной точке. А именно углы с вершиной в бесконечно удаленной точке нри отображении ш = Р„(г) увеличиваются в и раз. 3.

Отображение вида ти = (г — а)". Рассмотрим, в частности, отображение вида тв =(г — а)" (и > 1). Оно отображает расширенную плоскость самое на себя так, что каждая точка ш имеет и прообразов в плоскости г. Исключение представляют точки тв = 0 и тв = оо, для которых прообразы сливаются в одну точку: а и оо соответственно.

Прообразы-г(Фа, +со) определяются из уравнения тв = (г — а)", так что г = а + ф тес= а + г' ~ы ~соз — + 1 51п — ) . + и и Очевидно, эти и точек располагаются в вершинах правильного и-угольника с центром в а. Отображение тв =(г — а)" является конформным во всех точках, за исключением точек г=а и я=со. Углы с вершинами в двух последних точках увеличиваются при данном отображении в и раз. Для того чтобы получить более отчетливое представление об этом отображении, заметим, что ! ш ! = 1г — а 1" и Аге'чв = и Ага(г — а).

Отсюда следует, что каждая окружность радиуса г с центром в точке я= а отображается на окру)кность радиуса г" с центром в точке тв = О. Если при этом точка г пробегает окружность 1г — а~ =г один раз в положительном направлении (т. е. Аге(г — а), непрерывно возрастая, увеличивается на 2к), то точка ш пробегает окружность 1ш(=г" в том же направлении и раз (т. е. Аге.чв, непрерывно возрастая, увеличивается на 2кп).

Заставим теперь точку г пробегать прямолинейный луч Агд(г — а)= ус+21гя от точки а до бесконечности. Наши формулы показывают, что соответствующая точка тв будет пробегать при этом прямолинейный луч Аге та= =пчьс+2тк от начала координат до бесконечности. Рассмотрим область д, представляющую внутренность угла рас2п тсораб, О(0~ —, с вершиной в точке а. Пусть этот угол огра- и ' 3. отозтьжвнив вида те =(г — а)" ничен прямолинейными лучами Агд (г — а) = грв+ 2йя Агя(г — а) = грг+ 2тп (р, — р.-О). Из сказанного следует, что образом области я в плоскости го является область й, представляющая угол раствора п0 с вершиной в начале координат, ограниченный прямолинейными лучами (черт. 10).

Соответ- Черт. 10. стане между й и й, устанавливаемое посредством функции тв = (» — а)", будет взаимно однозначным. Действительно, так как функция гэ=(г — а)" однозначна, то, чтобы проверить это утверждение, достаточно установить. что каждая точка гв из области й имеет лишь один прообраз в области й. Для этого заметим, что все и прообразов точки го располагаются в плоскости я в вершинах правильного и-угольника с центром в а, так что два из них могли бы попасть внутрь некоторого угла с вершиной в а лишь в том случае, когда раствор угла 2к 2я' больше чем †.

Но раствор угла й не превышает —, следовательно, и ' и углу й принадлежит лишь по одному прообразу каждой точки из а', чем и заканчивается доказательство нашего утверждения. Итак. функция го=(г — а)" отображает взаимно однозначно и конформно внутренность любого угла с прямолинейными сто- 2п ранами, вершиной в точке а и раствором О, О ( 0 ( —, на внутренность соответствуюигего угла также с прямолинейными сторонами, вершиной в начале координат и раствором п0.

Поэтому к рассматриваемой функции прибегают каждый раз, когда нужно отобразить один угол с,прямолинейными сторонами на другой угол, в несколько раз больший. Разумеется, было бы ошибочным думать, что при отображении ю = (г — а)" (и ) 1) всякая вообще прямая преобразуется в прямую, 56 гл. ш. злвмвнтлгныв етнкции и конеогмныв отовглжвния а всякая окружность — в окружность, Положим, например, а = О и и = 2. Тогда получим функцию пс = ле„ Рассмотрим, во что преобразуются посредством функции те = я' прямые, ие проходящие через начало и параллельные одной из координатных осей. Возьмем, например, прямую, параллельную мнимой оси: г = с+ сг, стыд, — оо ( с ( + со, В качестве образа получим линию пс = 1с + сй)з, или, полагая ш = и +Ы и отделяя действительные и мнимые части: и=с' — Р о=2сг 1 — со ( г ( + со).

Это и суть уравнения преобразованной линии, представленные в декартовых координатах в параметрической форме, Если исключить отсюда параметр г, то получим: па = 4с'1сз — и). Это --уравнение. параболы с осью, направленной по действительной оси в отрицательную сторону, с фокусом в начале координат Черт. 11. и с параметром р= 2с'. Совершенно так же обнаружим, что каждая прямая, параллельная действительной оси г = С +се', преобразуется в параболу о' = 4с' 1и+ с' ) с осью, направленной по действительной оси в полонсительную сторону, с фокусом в начале координат и с параметром р' = 2с'е. Итак, два семейства прямых, параллельных координатным осям, отображаютсп посредством функции тв = г' в два семейства 4.

гггпповыя свойствк дговно-линзйных пггозвлзовлний 57 будем рассматривать как одинаковые тогда и только тогда, когда ь!(г) ж !'.з(г) при всех значениях г. Для этого достаточно, чтобы соответствующие коэффициенты были пропорциональны между собой: аа —— Ла„ Ьз = ЛЬ„ ез = Ле„ йз = Лй! (Л чь 0). Этн же условия и необходимы. Действительно, если Ег(г) = Ез(з), то, в частности, 7-!(0) = ьз(0), (.г(1) = Ез(1) и Ег(со) = (.з(сю); это означает, что а! + Ь! аз + Ьз а! аз е! + й! ез + аз ' е, ез ! 2 парабол с общим фокусом в начале и с осями на дейслгвительной оси (черт.

11). Из того, что семейства прямых были взаимно 'ортогональны, а отображение конформное, вытекает, что и полученные семейства парабол взаимно ортогональны; это легко проверить и непосредственным подсчетом. Читатель должен помнить, конечно, что отображение всей плоскости г посредством функции ш = зз не является взаимно однозначным: каждая точка тв, отличная от нуля и от бесконечности, имеет два прообраза. В частности, прообразами параболы о' = 4сз(ее в и) являются две прямые, симметричные относительно мнимой оси! г = с+ 11 и з = — е+ 11; точно так же прообраайми параболы о' = 4с" (и+ с' ) являются две прямые, симметричные относительно действительной оси: г=1+1с' и г=1 — ге'.

Но если рассматривать только образ какой-нибудь полуплоскости а, ограниченной прямой, проходящей через начало координат (такая полуплоскость есть внутренность угла с вершиной в начале координат и раствором и), то по-предыдущему соответствие между 'и и ее образом а будет взаимно однозначным. й будет представлять здесь угол раствора 2п с вершиной в начале координат; обе стороны этого угла сливаются'"в один прямолинейный луч, выходящий из начала координат.

4. Групповые свойства дробно-линейных преобразований. В и. 10 главы П было показано, что дробно-линейная функция ае+ Ь в=1(е)=- —, для которой определитель ае( — Ье+-О, ег+й' взаимно однозначно и конформно отображает расширенную плоскость самое на себя. Изучим свойства этого отображения, называемого д р о б н о-л и н е й н ы и и являющегося наиболее простым и ча!це всего применяемым видом конформных отображений.

Мы будем изучать множество М всех дробно-линейн!4х отобра. женин (нлн преобразований) с определителями, отличными от нуля. Два отображения иге+ Ь! е,е+ й! 58 гл. иь элвмвнтлунын Функции и конфогмныв отовглжвния Подставляя Ьа = СЬ1Р Ьа= СЬзр аг=сЯ и аз= са~7 в среднее равенство, получим: С1с+ а,р сад+ пзр или (сфа — сас(г) ((7 — Р) = О.

аг Ь1 Но у+ р (иначе было бы — г= — ', т. е. аф,— Ь,с, =0 в противосг аг ' речии с предположением). Следовательно, сг сз аг пз ' Полученные соотношения можно переписать в виде аа Ьз са аа аа Ьа , са дг что и требовалось доказать. Из изложенного следует, что значение определителя дробно- линейного отображения само по себе не является характерным для этого отображения. В самом деле, при переходе от коэффициентов а„ Ь,, с, и с~, к коэффициентам Ла„ ЛЬ„ Лс, и Лс(, (Л чь 0) определитель помножается на Л'.

Но во всяком случае этот определитель, будучи отличным от нуля для каких-нибудь'значений коэффициентов, остается всегда отличным от нуля. Отображение У(г) =г, очевидно, принадлежащее множеству М, будем называть т о ж д еств енным или единичным отображением. Отображением, о б р а т н ы м по отношению к некоторому отображению г =Е(г) =— ал+ Ь сг+а ' мы назовем такое, при котором каждому г, в качестве образа ставится его прообраз г при данном отображении.

Обратным отображением служит: «сг — Ь г= — сг1+а' Мы будем обозначать отображение, обратное по отношению к Е, через Е Если г = Е(г) = — и г, = Е, (г,) =— ас+ Ь а1г,+Ьг сг+ а ссс1+ аа — два произвольных линейных отображения (Как всегда, с не равными нулю определителями). то отображение, получаемое, если выполнить 4. гггпповыи свойства дговно-линвйных пгвоввазовлний 59 их последовательно одно за другим в определенном порядке, пазы. вается яр о и з вед е н и ем данных отображений. Пусть мы производим сначала отображение г, =Л(г), а затем отображение ге= 1,1(г1). Тогда нх произведение обозначается через Е11.(г). Для него имеем: = 1(аа1+ сЬ,) г + (Ьа1 + 11Ь1)): 1(ас, + с!11) г+ (Ьс! + !Ы1)). Следовательно, гз =Л1Е(г) есть также дробно-линейное отображет!не; для его определителя получаем: (аа, + сЬ1) (Ьс, + сЫ1) — (Ьа, + йЬ1) (ас, + с!11) = = (ас( — Ьс)(а1а!1 — Ь,с,) ~ О.

Итак, отображение Е,Е(г) принадлежит множеству М. Очевидно, Ы '(г) =-1. '1.(г)= У(г). Заметим, что отображение г =!'.!'.1(г), получающееся, если сначала выполнить отображение г, = Ц (г), а затем отображение гз = Е(г1), вообще отличается от отображения 1.11'. (г). Так, например, если Е(г) = — и !'. (г)=— г г+1 г+1 ' г — 1' то Е1Е(г) = — 22 — 1. а Ы1(г) = г+1 Определенная нами операция умножения отображений ассоциа: тивна, т. е.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4980
Авторов
на СтудИзбе
471
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее