М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного, страница 10

14, пунктирные линии). Отсюда следует, что в любой области х), которая не содержит замкнутых кривых, обходящих точку г = О, можно выделить бесчисленное множество непрерывных и однозначных ветвей многозначной функции и = Еп з, значения которых в «) К такому пониманию логарифма впервые пришел Л. Эйлер; свои идеи он наложил в работе !749 г. «О споре между Бернулли и Лейбницем о логарифмах отрицательных и мнимых чисел».

ав гл. !. основные понятия каждой фиксированной точке отличаются друг от друга слагаемыми 2йп!'. Каждая такая ветвь 1пв будет осуществлять взаимно однозначное отображение области 0 и, следовательно, по теореме о производной обратной функции будет обладать производной ! ! ! (!п г)' = (егг)' егг г ' Заметим, что производная одна и та же для всех ветвей.) аким образом, все такие ветви Епв будут аналитическими функциями. (13) — Х Рис. !4. откуда 1х -гх х ! -гх з1пх = .; сов х= 21 2 Учитывая это, примем и о о п р е д е л е н и 1о и для любого комплексного з е — е 1г -1г е +е гг, -1г з!из= .; созх = —,—. 2! ' 2 (!) Если же область !г содержит хотя бы одну замкнутую кривую, охватывающую точку з = О (например, если она содержит эту точку внутри себя), то в такой области ветви функции Еп г нельзя отделить друг от друга.

Точка е = О, в которой как бы соединяются все ветви Епе, называется точкой ветвления этой функции. 9. Тригонометрические и гиперболические функции в комплексной области просто выражаются через показательную функцию. Для действительного переменного х формула Эйлера (4) п.

8 дает: Е'х=СОЗХ+1З!ПХ, Е-ге=СОЗХ вЂ” 1З!ПХ, Э 3 элемг!!тканые Функ!я!н 37 'Гак определенные функции: 1) для действительных г = х совпала!от соответственно с обычными синусом и косинусом; 2) ваоду аналитнчны; 3) подчиняются обычным формулам дифференцирования: (3!и г)' = сов г, (соэ г)' = — яп г; 4) периоднчны с действительным периодом 2л; 5) япг — нечетная функция, созг — четная; 6) подчиняются обычным триго !ометрнческнм соотношениям: яп'г+ сов'г=1, яп2г=2япгсоэг и т. п.

Все эти утверждения вытекают нз определенля (!); чита!ель может убедиться в этом, проведя соответствующие вычнс,!ения. Изучим отображение, осуществляемое первой из этих функции. Полагая !3 зг =го е =гм гз — — — зг,= — '. (2) получим: !7 !! '1гз+ 1 = яп г. 2(, (3) !Чы видим, что наше отображение можно рассматривать как суперпозицию уже изученных отображений. Найдем прежде всего условия его однолнстности. Пусть область 0 при отображениях (2) переходит последовательно в О!, 0з и 0з.

Первое и третье из отображений (2) однолнстны всюду; для однолнстнос~и второго необходимо и достаточно, чтобы О, не содержала ни одной пары точек г,' и г,", для которых г' — г" = 2йлз, ! ! где А ~ Π— целое число (см. условие (7) предыдущего пунк- та]. Для однолистности отображения (3) необходимо и доста- точно, чтобы 0з не содержала ни одной пары точек г' и г", для которых гзгз = 1 (см. условие (2) п. 7).

Переходя с помощью формул (2) к плоскости г, получим, что для однолистности отображения из = = яп г в области 0 необходимо и достаточно„чтобы 0 не содержала ни одной пары точек г', г", для которых, с одной сто роны, -' — г"=2йи (й ~ Π— целое), н, с другой, е""'+." ! = — 1, или г'+ г" = (2й + ! ) и (й — целое), (б) ГЛ. Е ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 38 Этим условиям удовлетворяет, например, полуполоса — и ( ( х ( и, у > О. Последовательные этапы ее отображения изображены на рис.

15. Семейства лучей х = хо и отрезков у=у, переходят соответственно в семейства софокусных гипербол и эллипсов; вдвое более узкая полоса — —, < к < —;,, у > О преобразуется в верхнюю полуплоскость. !а 3У .! (, ;ф ) и г и е -1 -х~ Т -я~ Рис. 15. Мы видим, что з)п г в комплексной области неограничен; например, на лучах х = -ь — ', р > О он принимает действи- 2 ' тельные значения, по модулю ббльшие единицы и, вообще, сколь угодно большйе.

Отметим еще, что в (замкнутой) полуполосе — п(х =и, у > О функция з1пг принимает значение О лишь в точках г=О н г = -~п; учитывая нечетность и периодичность этой функции. отсюда можно заключить, что она обращается в О лишь на действительной оси в точках г=йп (А=О, -+1, .+2, ...). Для полноты мы приводим на рис. 16 поверхность»!Одуля, или «рельеф» функции 81п г, т. е.

поверхность в пространстве (х, р, и) с уравнением и = ~з)п г~1; это — поверхность периодическая с действительным периодом и. На ней нанесены две системы линий — это линии уровня 181п г~ и агдз1пг. Сечение поверхности вертикальной плоскостью, проходящей через ось х, е 3.

ЭЛЕМЕНТАРГ!ЫЕ ФРИКЦИГГ дасг график )з)пх)е). По мере удаления от этой оси поверхность сглаживается, а апликаты ее точек быстро возрастают— 1 по форме поверхность приближается к цилиндру и = — е1е). 2 Отображение, реализуемое функцией сов г, в силу соотношения соз е = з) и (е + — ',, ) огги!чается от только что рассмотренного лишь сдвигом. Ряс. 16. Функции )цг и с)дг определяются формулами соа г еге -)- е ыпе еге е — ге ' Функция )д г аналитична всюду, кроме точек, где соз л обращается в г), т. е., как видно из предыдущего исследования, и ') Сечение поверхности плоскостями х =ел н х=(2Е+!) — )Ге=о, 2 гь 1, ь 2, ...) дагот соответственно графики гинерболических функиий )акр) и )гп р), с которыми мы скоро ознакомимся.

На рис, !6 покааанй части таких сечений к = О и х =- Зн/2; впрочем, можно считать, что на атом рисунке имеются два начала координат — к началу 0 относятся графики а!п, и а!Ь а к О, — графики соа и сЬ. ГЛ. Ь ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ чо е!'ти! — е '!а+и! 1п(г+ и)— е +е 1~ г. $а — !» — е — е Отображение, осуществляемое функцией ш = (ц г, мы рассмотрим ниже, в п. 33. Здесь мы приведем лишь рельеф тапгенса, т. е. поверхность и =)(дг~ (рис. !7); это — поверхность Рис.

17. периодическая с действительным периодом л/2. Она имеет ярко выраженные пики над точками г = — +Фи (А=О, !-1, !-2, ...); ее сечение вертикальной плоскостью, проходящей через ось х, дает график )12'х)*), По мере удаления от этой оси поверхность становится все более плоской и приближается и ') Сечения иоверхиости плоскостяия х = ки и х = (2е + 1) —" (!! =О, 2 -!-1, ч-2, ...) ла!от соотвсгствсиио !рафики пи!ерболических функции (Ри р( и (сн! у( (си, ниже). всюду, кроме точек г„= — +Ап (А=О, .+1, !-2, ...); при приближении к этим точкам (дг неограниченно возрастает.

То же можно сказать о функции с(пг и точках гд = йн(й = О, ~1, ~2,...). Из формул (6) следует, что эти функции периодические с периодом и. В самом деле, например, 4 х элементкяные Функции 41 к плоскости и = 1. На поверхности нанесены линии уровня (!дг! и агн!дг. Гиперболические функе4ии в комплексной области оп редел я ю т с я равенствами ег е ее+ е 5!т г =, с)1 г = 2 * 2 (7) епе ег+е — г 5ЬŠŠ— Е и поэтому несущественно от них отличаются.

На рис. 1б и 17 !казаны сечения поверхностей модуля для 51пг и !дг, дающие графики гиперболических функций, Тригонометрические и гиперболические функции выражаются, как мы видели, через показательную функцию, поэтому обра~ные тригонометрические и обратные гиперболические функции можно выразить через логарифмы.

Получим такое выражение, например, для ш = агссоэг. По определению имеем: ье ! -Ре е = сов ж = 2 откуда е"е' — 2ес"е+ 1 = О, решая квадратное (относительно е'"') уравнение, находим е'" = г + )' ее — 1 и ге= агссоэ г = — 71п(а+ )г' — 1) (знаки -~ в формуле решения квадратного уравнения можно опустить, если понимать корень как двузначную функцию). Б силу. соотношения (е + у' а' — 1)(г — )/ ее — 1) = 1 изменение знака перед корнем сводится к изменению знака перед логарифмом, поэтому знак « — » в последней формуле можно не писать: ш = агссоа г =!!и(г+ )'ае — 1) (10) (по нашему условию корень все равно имеет два знака).

Опи весьма просто выражаются через тригонометрические функции 5Ье= — 15!п1е, сйа=соз!а, !11 г = — ! !и 1е, с!й а = К с!д Ег (9) ГЛ. 1. ОСНОВНЫЕ Поннтнв 42 пе Аналогичные формулы можно дать и для других функций: л агсз1п г = — — агссоз 2 (1 1) Все этн функции многозначны, ибо !п в правой части формул (1О) н (!1) может обозначать любое значение логарифма. Способы выделения их однозначных ветвей аналогичны рассмотренным выше; все такие ветви будут аналитическими функциями.