М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного, страница 7

Линейное отображение (5) представляет собой суперпозицию описанных отображений (рис. 8). Отсюда следует, что отображение (5) взаимно однозна юо во всей плоскости и что оно преобразует прямые в прямые (причем углы между двумя прямыми сохраняются) и окружности — в окружности. Вгп ('(г) =ив+!О~=в . х'эхв Так как наше определение сводится к обычному определению предела действительных функций, то основные свойства предельного перехода сохраняются для функций комплексного переменного. В частности, имеем; )пп (( ч- д) =1)гп !' ~ д, !пп((у) =!Нп( ° 1)пт сг, 1пп — = . (1!гп д чь О). )пп ! (2) е нае Определение предела можно сформулировать также с помощью понятия окрестности: Вгп('(г) = шо тогда и только тогда, если х.э.

х для любого е 0 найдется б= 0 такое, что для всех точек нз б-окрестности го (кроме, быть может, самой г,) соответствующие точки тп лежат в е-окрестности тео', иными словами, если нз неравенств 0(1г го)Сб 1((г) — шо! С е. вытекает (4) Подчеркнем, что согласно нашему определению функция !(г) стремится к своему пределу независимо от способа приблизкенил точки г к го.

Иными словами, если предел существует, то при г, стремящемся к го по любому закону (например, по любой линии или любой последовательности), !"(г) будет приближаться к этому пределу. 5. Дифференцируемость и аналитичность. Пусть функция ((г) определена и однозначна в некоторой окрестности точки го = = хо+ !уо, кроме, быть может, самой точки го. Мы будем говорить, что существует предел функции !(г) лри г- го (обозначение: 1!гп )'(г)): если существуют пределы х '+ аз 1!гп и (х, у) = и, и 1пп и (х, у) = и,; при этом мы будем полагать х+хз х.+х, У'+Ув У+У 20 ГЛ Ь ОСНОВНЫГ ПОНЯТИЯ Функция 1(г) называется непрерывной в точке гм если она определена в некоторой окрестности г, (включая саму точку го) и )нп ) (г) = ~ (го). (5) а +аз Очевидно, что для непрерывности 1(г) в точке г, необходимо и достаточно, чтобы функции и(х,у) и п(х,у) были непрерывными в точке (хо,уо).

Функция 1(г) называется непрерьзвной в области О, если она непрерывна в каждой точке этой области. Полезно также понятие непрерывности функции на произ. вольном множестве. Пусть функция 1(г) определена на множестве А н го является предельной точкой этого множества. Предел )(г) при г- го по множеству А определяется, как и выше, только в (3) надо добавить условие, что г принадлежит А (г е= А). Функция 1'(г) называется непрерывной на мнолсестве А, если в каждой предельной точке г, ~А предел по множеству 11ш Иг) =иго). (б) а +та «мл Отметим без доказательства, что для функций, непрерывных на з а м к н у т ы х ограниченных множествах (в замкнутых ограниченных областях, на замкнутых линиях или на отрезках линяй, содержащих свои концы), остаются справедливыми Обычные свойства функций, непрерывных на замкнутых интервалах.

Именно, каждая функция )(г), непрерывная на замкнутом ограниченном множестве А: 1) ограничена на нем, т. е. существует такая постоянная М, что для всех г из А ) ) (г)1~:; М; 2) достигает своего наибольшего и своего наименьшего по модулю значений, т. е. в А существуют такие точки г' и г", что для всех г из А ~ ~(г') l~)!~(г) !~ 1)(г") !~(!)(г) l; 3) равномерно непрерывна, т. е. для произвольного е ) О найдется число б)О, зависящее лишь от е, такое, что для любой пары точек г~ и гд из А, удовлетворяющих неравенству 1г~ — га)(б, справедливо неравенство 11 (г~) — 1(га) ! ( е. Отметим еще также без доказательства *) одно предложение, которым будем неоднократно пользоваться в дальнейшем.

*) доказательстао этого предложения проводится топологическими методами. й 3. ФУНКПИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 21 4) Теорема. Если функция ш=((г) непрерывна в области П и реализует взаимно однозначное отображение этой области на некоторое множество Л в плоскости щ, то Л также является областью и обратная функция г=!р(гв) непрерывна в Ь.

Пусть функция )(г) определена в некоторой окрестности точки г. Будем говорить, что ((г) дифференцируема в точке г, если существует предел 1(гп (('+й) 1(а) =1'(г) и а Л (7) (условия Коши — Римана)а). а) Необходимость. Пусть существует ) (з + 6) ! (3) Л Воспользуемся замечанием о независимости предела от способа приближения к точке г. Предположим сначала, что точка г+ й приближается к г по прямой, параллельной действительной оси, т. е. что й = э- О, оставаясь действительным.

Тогда получим: и (х + з, у) — и (х, у) + .1. п (х + з, р) — и (х, у) а.+ о а 3 ьо = — +! —, (9) дн , до дх дх ' Найдем теперь тот же предел в предположении, что точка г+Л приближается к г по прямой, параллельной мнимой оси, т. е. ') Уравнення (8) получены в связи с гндропннамнчесннмн запачанн Даламбером (1752) н Эйлером (!755); в !777 г. Эйлер вновь получает зтн )равнения в связи с рассмотревнел! интегралов от функннн номйленспого переменного. Однако нх прннято навивать условиями Коше! — Рнмапа. Этот предел будем называть производной функции ((г) в точке г.

Условия дифференцируемости функции ((г) в терминах действительных функций и(х, у) и о(х, у) выражает Т е о р е м а. Пусть функция ( (г) = и (х, у) + (о (х, у) определена в некоторой окрестности точки г, причем в этой точке , функции и (х, у) и о(х, у) дифференцируемы. Тогда для дифференцируемости функции комплексного переменного )(г) в точке г необходимо и достаточно, чтобы в этой точке имели место соотношения: дн дп дх ду ' дн до ду дх ГЛ.

Е ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ что Ь = (1 и 1- О, Оставаясь действительным. Получим: и (х, у + 0 — и (х, у) . . о (х, у + 0 — о (х, у) (г) = пп ' , ' + 11!гп с-оо = — 1 —. + —. (10) .ди до ду ду' Сравнивая выражения (9) и (10) для.)'(г), будем иметь: ди . до до . ди — +1 — = — — 1 —, дх дх ду ду ' откуда и вытекают соотношения (8) (см. определение равенства комплексных чисел, п.

1). б) Д о с т а т о ч н о с т ь. По определению дифференциала функций двух действительных переменных имеют место равенства; и(х+ з, у+ 1) — и(х, у) = — з+ — !+ а! Ь ), о (х+ з, у+ г) — о (х, у) = д з+ д 1+ () ! й !. (11) где а и () стремятся к нулю вместе с й = з+ (й Тогда приращение функции )(г) принимает вид: )(.+Ь) — П.) — „.+ —,!+ ( —,х.+ —, )+П)й), где т) = а + !(). Используя равенства (8), это приращение можно переписать в виде !(г+й) — 1(г) =~ д +! д )(а+ Ю)+т)! Ь !=АЬ+т)! Ь!, (12) где А = — + ! — — вполне определенное число, не зависящее ди . до дх дх от Ь, а т) стремится к 0 вместе с й.

Поделив соотношение (12) ) (х+ а) 1 (х) на й, мы видим, что !!гп существует и равен А. и Теорема доказана. С учетом условий Коши — Римана производную функции((г) можно представить в следующих равносильных формах: Так как обычные свойства алгебраических действий и предельного перехода сохраняются при переходе к функциям комплексного переменного, то сохраняются и обычные правила ди . до до .

ди ди . ди до . до Г(г) = — +1 — = — — 1 — = — — ! — = — +1 —. (13) дх дх ду ду дх ду ду дх $ Х ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 23 дифференцирования, вывод которых основан лишь на упомя нутых свойствах: (1+а)'=Р'+а', (Н'=]'И+И'[. ф) = ~~ь,~~, )1 (14) (1 [Д (2)]) =[ [к (2)] Д (2), "'= '(-) (15) —, ..., — — производные от функций двух действительных ( д« д« дз ' '' ' д« переменных по соответствующим направлениям); вывод равенства (15) аналогичен выводу формул (9) и (!0). Подставляя ич = (з« и сравнивая в соотношении (15) действительные н мнимые части, получим: ди д« д« д« ддх д«' д«дз ' (16) Эти уравнения и есть обобщенные условия Коши — Римана, которые мы хотели отметить.

Полагая в них, в частности, з'=1, и' = й получим условия (8). Укажем еше условия Коши — Римана в полярных координатах (Г,~р). Пусть за — единичный вектор касательной к окружности [2] = Г, направленный против часовой стрелки, и и'— (в последней формуле 1 и ~р обозначают взаимно обратные функции, причем предполагается, что они осуществляют однолистные отображения соответственно окрестностей точек 2 н ш). Функция 1(2), дифференцируемая в каждой точке некоторой области Р, называется аналитической (нначе, регулярной или голоморфной) в этой области.

Подчеркнем, что наше определение аналитической функции предполагает ее о д н о з н а ч н о с т ь в области Р, ибо понятие предела и производной определены выше лишь для однозначных функций. В п. 25 мы обобщим понятие аналитичности, распространив его и на многозначные функции, но до этого под аналитической мы всегда будем понимать однозначную функцию. В заключение отметим одно обобщение условий Каши— Римана.

Пусть дана днфференцируемая в точке 2 функция ((2); зададимся произвольными направлениями, характеризуемыми единичными векторами аа и и~ (т. е. комплексными числами с модулем 1) и такими, что поворот от аа к и' совершается на прямой угол против часовой стрелки (т. е. и' = (аа). Пользуясь тем, что вычисление производной не зависит от направления, получим, беря производные один раз в направлении зч, а другой — в направлении и'.

ГЛ. Е ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ вектор внутренней нормали к окружности; тогда д д — = — — и условия (1б) принимают вид: ди ди ди ди — = — г —, г — = —. д~р дг ' дг д<р дг гдо (17) б. Функции э =ви и в= )гг», где а — любое целое положительное число, уже определены в и. ! для всех комплексных а. Первая из этих функций гв аи $ 3.

Элементарные функции Этот параграф посвящается элементарным функциям комплексного переменного и нх геометрическим иллюстрациям= отображениям, ими осуществляемым, Эти функции являются естественным распространением в комплексную область обычных для анализа элементарных функций. Однако при таком распространении функции приобретают иногда новые свойства„ например показательная функция комплексного переменного е* оказывается периодической, функции з!па и созг перестают быть ограниченными, приобретает смысл логарифм отрицательных чисел (и вообще любых комплексных чисел, отличных от нуля) и т.

п. Особый интерес представляет изучение в комплексной области многозначных функций, ибо только такое изучение позволяет выяснить природу их многозначности. Здесь мы ограничиваемся рассмотрением отдельных примеров многозначных функций и на этих примерах показываем возможность выделения однозначных ветвей, которые оказываются голоморфными функциями. Лишь в п. 25 мы введем общее понятие многозначной аналитической функции и тогда сможем рассматривать не только ветви, но и сами эти функции как аналитические. Теория элементарных функций комплексного переменного была в основном создана Леонардом Эйлером в его работах сороковых годов ХЧ111 в. Следует отметить, что этн работы Эйлера намного опережали эпоху; например, его теория логарифма была признана лишь с болыиим трудом и далеко не сразу.