М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 4
Текст из файла (страница 4)
$2. Отображения близких областей 375 63. Области, близкие к кругу (375). 64. Области, близкие к данной (382). 65. Распространение результатов (385). $3. Приложения . 393 66. Пересчет подъемной силы (393). 67. Волны в тяжелой жидкости (398). 68. Обтекание со срывом струй (404). 69. Движение грунтовых вод (406). Литература к главе 1У 414 Глава У. Приложения теории функций к анализу .......... 415 $1. Разложение в рнды и бесконечные произведенив.........
4!5 70. Ряды Тейлора и Лорана (415). 71. Разложение мероморфных функций на простейшие дроби (425). 72. Разложение целык функций в бесконечные произведения (431). $2. Приложения теории вычетов 438 73. Вычисление интегралов (438). ?4. Вычисление интегралов (продолжение) (447). 75. Подсчет числа нулей. Вопросы устойчиности (454). $3. Методы асимптотических оценок 470 76.
Асимптатические разложения (470). 77. Метод перевала (477). 75. Метод произвадяших функций (486). Литература к главе Ч . 491 Глава РЛ Операционный метод и его приложения.......... 492 $ !. Основные понятия и методы . 494 79. Преобразование Лапласа (494). 80. Свойство преобразования Лапласа (504), 8!. Теоремы умножения (509). 82. Теоремы разложения (515). 83. Примеры.
Дополнения (520). $2. Приложении . 541 84. Обыкновенные диффереяцвальные уравнения и системы (541). 85. Расчет электрических контуров (548). 86. Уравненяя с ча- ОГЛАВЛЕНИЕ 727 728 стными производными (557). 8,. Расчет длинных линий (568). 88. Другие интегральные преобразования (574). Литература к главе Ч! 587 Глава )г7!. Специальные функции 588 6 1. Гамма-функция Эйлера 588 89. Определение и основные свойства (588) 90. Примеры. Дополнения (598). 6 2, Ортогопальные многочлены .. ..
.,, ...,,, 604 91. Ортогональные системы функций (604). 92. Ортогональные многочлены (610). 93. Выражение через вес. Производящие функции (616). 94. Примеры. Приложения (624). 6 3. Цилиндрические функции . . ....... . ...... 637 95. Цилиндрические функции первого рода (638). 96. Другие цилиндрические функции (648).
97. Асимптотические выражения для цилиндрических функций (657). 98. Графики цилиндрических функций, Распределение нулей (664). 99. Примеры. Приложения (670). 6 4. Эллиптические функции 682 100. Периодические функции (682). 101. Общие свойства эллиптических функций (688). 102. Эллиптические интегралы и функции Якоби (694). !03. Функции Вейерштрасса. Тэта-функции (703). !04. Примеры. Приложения (715). Литература к главе ч'!! .Предметный указатель . Из предисловия к первому изданию Имеющиеся в нашей литературе полные курсы теории функций комплексного переменного рассчитаны на читателей, избравших математику своей специальностью, другие же курсы обычно излагают лишь элементы теории.
Между тем за последнее время в физике и технике получают все более широкое распространение методы, требующие обстоятельного применения теории функций. Почерпнуть необходимые для этого сведения из математических курсов нсматематику трудно, а сведения излагаемые в элементарных курсах, недостаточны. Восполнение указанного пробела и является целью настоящей книги. Мы поставили своей задачей изложить в ней основные методы теории функцнй-комплексного переменного для лиц, интересующихся этой теорией ради ее приложений к физическим н техническим задачам. Книга может быть использована в качестве учебного пособия студентами механических отделений, физических и физико-технических факультетов университетов и аспирантами технических вузов с достаточной математической подготовкой.
Предполагается, что читатель знаком с основным курсом математического анализа в объеме двух первых томов книги В. И. Смирнова «Курс высшей математикиэ (Гостехиздат, 1949). Некоторые ссылки сделаны также на книгу Г. М. Фихтенгольца «Курс дифференциального н интегрального исчисления» (т. ! — !П, Гостехиздат, 1947 — 1949). В первой главе излагаются все основные понятия теории функций, так что книгу можно читать независимо от других курсов по этой дисциплине.
Однако по характеру изложения первая глава несколько отличается от остальных — ова написана более конспективно и с>като, При этом мы имели в виду, что по материалу первой главы имеется большое количество доступной литературы. Остальные главы посвящены отдельным методам теории функций комплексного переменного, имеющим наибольшее значение для приложений. Изложсвие сопровождается большим числом примеров. Если читатель овладел тем или иным методом, разобрав несколько примеров, то дальнейшие примеры ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ на этот метод можно не читать — лучше вернуться к ним по мере ссылок.
В книгу включено также большое число примеров приложения теории функций к различным физическим задачам. Не следует думать, что, скажем, электротехнические примеры интересны лишь электрикам, а гидромеханические — лишь механикам. На самом деле методы, иллюстрируемые на одной задаче, часто с успехом могут быть применены и к решению аналогичной задачи с другим физическим содержанием. Знакомство с основами приложения теории функций к различным областям физики поможет читателям в дальнейшей работе использовать для своей области методы, излагаемые в литературе по другим областям. Мы всюду стремились избежать усложняющих доказательства деталей, иногда умышленно допуская нестрогости в угоду наглядности изложения.
Для простоты некоторые предложения доказаны в более жестких условиях, чем это необходимо, а некоторые предложения приведены без доказательства. М. А. Лаврентьев Б. Б. Шабат Москва, ! 9о ! г. Из предисловия ко второму изданию А вторы Москва, май !957 г. В предлагаемом издании книги мы сохранили ее общее со.держание, распределение материала и характер изложения с упором на геометрическую наглядность и связи с проблемами теории уравнений математической физики и с приложениями. В это издание мы внесли ряд изменений и дополнений; отметим наиболее существенные из ннх. В третьей главе добавлены новые технические и теоретические применения, особенно развившиеся за последние годы: теория кумулятивных зарядов, некоторые задачи газовой динамики, изучение решений уравнений с частными производными методами теории функций.
В четвертой главе по-новому изложены выводы основных формул варнационного метода теории конформных отображений, к которому в последнее время усилился интерес как за рубежом, так и у нас в связи с новыми приложениямп этого метода в задачах механики. В пятой главе упрощено и дополнено изложение применений теории функций к проблеме устойчивости и по-новому изложены методы асимптотических оценок. В главе шестой добавлен пункт об интегральных преобразованиях, отличных от преобразования Лапласа. предисловие к четвеетоми нздлнню Предисловие к четвертому изданию В четвертом издании исправлены замеченные опечатки н неточности. В этой работе большую помощь нам оказали коллеги из Германской Демократической Республики У. Пирл,, Р. Кюнау и Л.
фон В ельферсдорф, которые очень тщательно подготовили немецкое издание нашей книги, В. Л. Вор и ч, просмотревший текст для ее французского издания, а также многочисленные читатели, сообщившие нам свои замечания. Всем нм мы выражаем свою глубокую благодарность. Кроме того, в ряде мест внесены некоторые изменения и дополнения.
Наиболее существенным нз них является дополнение в главе шестой, посвященное преобразованию Лапласа обобшенных функций. Новосибирск— Москва, июль !972 г. Глава 7 Основные понятия В этой главе вводятся все основные понятия теории функпнй комплексного переменного: понятие функции, ее производной, интеграла и др. Читатель увидит, что обычные, известные из анализа функций действительного переменного определения этих понятий остаются почти без изменений, но их содержание меняется весьма существенным образом. Так, отпадает обычная геометрическая иллюстрация функции с помощью кривой на плоскости и на ее место становится понятие о функции как об отображении плоских множеств (п.
4). Условие дифференцируемости функции комплексного переменного оказывается значительно более жестким, чем условие дифференцируемости функция действительного переменного (п. 5). Например, из условия дифференцируемости в комплексной области автоматически вытекает существование производных всех порядков (п. 17) и целый ряд свойств функций, совершенно необычных для действительного анализа (пп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
